1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 現代控制理論試題B卷及答案一、1 系統能控的狀態變量個數是，能觀測的狀態變量個數是。 2試從高階微分方程求得系統的狀態方程和輸出方程（4分/個）解 1 能控的狀態變量個數是2，能觀測的狀態變量個數是1。狀態變量個數是2。.（4分）2選取狀態變量，可得 .（1分） .（1分）寫成 .（1分） .（1分）二、1給出線性定常系統能控的定義。（3分）2已知系統，判定該系統是否完全能觀？(5分)解 1答：若存在控制向量序列，時系統從第步的狀態開始，在第步達到零狀態，即，其中是大于0的有限數，那么就稱此系統在第步上是能控的。若對每一個，系統的所有狀態都是能控

2、的，就稱系統是狀態完全能控的，簡稱能控。.（3分） 2. .（1分）.（1分）.（1分），所以該系統不完全能觀.（2分）三、已知系統1、2的傳遞函數分別為求兩系統串聯后系統的最小實現。（8分）解 .（5分） 最小實現為 .（3分）四、將下列狀態方程化為能控標準形。(8分)解 .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統的穩定性。（8分）解 .（3分）特征根.（3分）均具有負實部，系統在原點附近一致漸近穩定.（2分）六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統是否為大范圍漸近穩定： （8分）解 .（1分）.（1分）.（1分） .（1分）

3、.（1分）正定，因此系統在原點處是大范圍漸近穩定的.（1分）七、已知系統傳遞函數陣為 試判斷該系統能否用狀態反饋和輸入變換實現解耦控制。（6分）解： - （2分）， - （2分） 非奇異，可實現解耦控制。- （2分）八、給定系統的狀態空間表達式為，設計一個具有特征值為-1， -1，-1的全維狀態觀測器。（8分）解：方法1 - 1分 - 2分又因為 - 1分列方程 - 2分 - 1分觀測器為 - 1分方法2 - 1分 -2分 -1分 -2分 1分觀測器為 - 1分九 解 ， .（1分） .（1分）.（1分）.（1分）.（2分）.（2分） 現代控制理論復習題1一、（10分，每小題2分）試判斷以下結

4、論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打。 （ ）1. 由一個狀態空間模型可以確定惟一一個傳遞函數。 （ ）2. 若一個對象的連續時間狀態空間模型是能控的，則其離散化狀態空間模型也一定是能控的。 （ ）3. 對一個給定的狀態空間模型，若它是狀態能控的，則也一定是輸出能控的。 （ ）4. 對系統，其Lyapunov意義下的漸近穩定性和矩陣A的特征值都具有負實部是一致的。 （ ）5. 根據線性二次型最優控制問題設計的最優控制系統一定是漸近穩定的。 二、（15分）考慮由下式確定的系統： 試求其狀態空間實現的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態變量圖。 解： 能

5、控標準形為 能觀測標準形為 對角標準形為 三、（10分）在線性控制系統的分析和設計中，系統的狀態轉移矩陣起著很重要的作用。對系統 求其狀態轉移矩陣。解：解法1。 容易得到系統狀態矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統的矩陣A可以對角化。矩陣A對應于特征值的特征向量是取變換矩陣 ， 則 因此， 從而， 解法2。拉普拉斯方法 由于 故 解法3。凱萊-哈密爾頓方法 將狀態轉移矩陣寫成 系統矩陣的特征值是-1和-2，故 解以上線性方程組，可得 因此， 四、（15分）已知對象的狀態空間模型,是完全能觀的，請畫出觀測器設計的框圖，并據此給出觀測器方程，觀測器設計方法。 解 觀測器設計的框圖： 觀測器

6、方程： 其中：是觀測器的維狀態，L是一個np維的待定觀測器增益矩陣。 觀測器設計方法： 由于 因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。 五、（15分）對于一個連續時間線性定常系統，試敘述Lyapunov穩定性定理，并舉一個二階系統例子說明該定理的應用。 解 連續時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理： 線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有惟一的對稱正定解P。 在具體問題分析中，可以選取Q = I。考慮二階線性時不變系統： 原點是系統的惟一平衡狀態。求解以下的李雅

7、普諾夫矩陣方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 進一步可得聯立方程組 從上式解出、和，從而可得矩陣 根據塞爾維斯特方法，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。 六、（10分）已知被控系統的傳遞函數是 試設計一個狀態反饋控制律，使得閉環系統的極點為-1 j。 解 系統的狀態空間模型是 將控制器 代入到所考慮系統的狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 該閉環系統的特征方程是 期望的閉環特征方程是 通過 可得 從上式可解出 因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器是 七、（10分）證明：等價的狀態空間模型具有相同的能控性。 證明 對狀態空

8、間模型 它的等價狀態空間模型具有形式 其中： T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關系式，等價狀態空間模型的能控性矩陣是 由于矩陣T是非奇異的，故矩陣，和具有相同的秩，從而等價的狀態空間模型具有相同的能控性。 八、（15分）在極點配置是控制系統設計中的一種有效方法，請問這種方法能改善控制系統的哪些性能？對系統性能是否也可能產生不利影響？如何解決？ 解： 極點配置可以改善系統的動態性能，如調節時間、峰值時間、振蕩幅度。 極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環無靜差的系統通過極點配置后，其閉環系統產生穩態誤差，從而使得系統的穩態性能變差。 改善的方法：針對階躍輸入的系統，通過引進一個

9、積分器來消除跟蹤誤差，其結構圖是 構建增廣系統，通過極點配置方法來設計增廣系統的狀態反饋控制器，從而使得閉環系統不僅保持期望的動態性能，而且避免了穩態誤差的出現。現代控制理論復習題2一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打。 （ ）1. 對一個系統，只能選取一組狀態變量； （ ）2. 由狀態轉移矩陣可以決定系統狀態方程的狀態矩陣，進而決定系統的動態特性； （ ）3. 若傳遞函數存在零極相消，則對應的狀態空間模型描述的系統是不能控不能觀的；（ ）4. 若一個系統是李雅普諾夫意義下穩定的，則該系統在任意平衡狀態處都是穩定的； （ ）5. 狀態反

10、饋不改變系統的能控性。 二、（20分）已知系統的傳遞函數為 （1） 采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖； （2） 采用并聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖。 答:（1）將G(s)寫成以下形式：這相當于兩個環節和串連，它們的狀態空間模型分別為： 和 由于，故可得給定傳遞函數的狀態空間實現是： 將其寫成矩陣向量的形式，可得： 對應的狀態變量圖為： 串連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖（2）將G (s)寫成以下形式： 它可以看成是兩個環節和的并聯，每一個環節的狀態空間模型分別為： 和 由此可得原傳遞函數的狀態空間實現： 進一步寫成狀態向量的形式，可得：

11、對應的狀態變量圖為： 并連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖三、（20分）試介紹求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法，并以一種方法和一個數值例子為例，求解線性定常系統的狀態轉移矩陣； 答：求解狀態轉移矩陣的方法有： 方法一 直接計算法： 根據狀態轉移矩陣的定義 來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。 方法二 通過線性變換計算狀態轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩陣A 變換成對角矩陣或約當矩陣，進而利用方法得到要求的狀態轉移矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法：。 方法四 凱萊-哈密爾頓方法 根據凱萊-哈密爾頓定理和，可導出具有以下形式： 其中的均是時間 t 的標量函數。根據矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的

12、情況，可以分別確定這些系數。 舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態矩陣 所確定的自治系統的狀態轉移矩陣。 由于 故 四、（10分）解釋狀態能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。 答：狀態能觀性的含義：狀態能觀性反映了通過系統的輸出對系統狀態的識別能力，對一個零輸入的系統，若它是能觀的，則可以通過一段時間內的測量輸出來估計之前某個時刻的系統狀態。 狀態能觀的判別方法： 對于n階系統 1. 若其能觀性矩陣列滿秩，則系統完全能觀2. 若系統的能觀格拉姆矩陣 非奇異，則系統完全能觀。 舉例： 對于系統 其能觀性矩陣 的秩為2，即是列滿秩的，故系統是能觀的。 五、（20分）對一個由狀態空間模型

13、描述的系統，試回答： （1） 能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是什么？ （2） 簡單敘述兩種極點配置狀態反饋控制器的設計方法； （3） 試通過數值例子說明極點配置狀態反饋控制器的設計。 答：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件：系統是能控的。 （2）極點配置狀態反饋控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。 直接法 驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。 設狀態反饋控制器u =Kx，相應的閉環矩陣是ABK，閉環系統的特征多項式為由期望極點可得期望的閉環特征多項式 通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置

14、狀態反饋的增益矩陣K。 變換法 驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。 將狀態空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態變換矩陣設期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為 所以，狀態反饋控制器增益矩陣是 （3） 采用直接法來說明極點配置狀態反饋控制器的設計 考慮以下系統 設計一個狀態反饋控制器，使閉環系統極點為2和3。 該狀態空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統能控。 設狀態反饋控制器將其代入系統狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 其特征多項式為 由期望的閉環極點 2和3，可得閉環特征多項式通過 可得 由此方程組得到 因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器 六、（20分）

15、給定系統狀態空間模型（1） 試問如何判斷該系統在李雅普諾夫意義下的穩定性？ （2） 試通過一個例子說明您給出的方法； （3） 給出李雅普諾夫穩定性定理的物理解釋。 答： （1）給定的系統狀態空間模型是一個線性時不變系統，根據線性時不變系統穩定性的李雅普諾夫定理，該系統漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程，若能得到一個對稱正定解矩陣P，則系統是穩定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統是不穩定的。一般的，可以選取Q = I。 （2）舉例：考慮由以下狀態方程描述的二階線性時不變系統： 原點是該系統的惟一平衡狀態。求解李雅普諾夫方

16、程：，其中的未知矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計算簡單，選取Q =2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統是漸近穩定的。 （3）李雅普諾夫穩定性定理的物理意義：針對一個動態系統和確定的平衡狀態，通過分析該系統運動過程中能量的變化來判斷系統的穩定性。具體地說，就是構造一個反映系統運動過程中能量變化的虛擬能量函數，沿系統的運動軌跡，通過該能量函數關于時間導數的取值來判斷系統能量在運動過程中是否減少，若該導數值都是小于零的，則表明系統能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統運動上，就是系統運動逐步趨向平緩，直至在

17、平衡狀態處穩定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩定性現代控制理論復習題3一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打。 （ ）1. 具有對角型狀態矩陣的狀態空間模型描述的系統可以看成是由多個一階環節串聯組成的系統； （ ）2. 要使得觀測器估計的狀態盡可能快地逼近系統的實際狀態，觀測器的極點應該比系統極點快10倍以上； （ ）3. 若傳遞函數存在零極相消，則對應狀態空間模型描述的系統是不能控的； （ ）4. 若線性系統是李雅普諾夫意義下穩定的，則它是大范圍漸近穩定的； （ ）5. 若線性二次型最優控制問題有解，則可以得到一個穩定化狀態反饋控制器。

18、 二、（20分）（1）如何由一個傳遞函數來給出其對應的狀態空間模型，試簡述其解決思路？ （2）給出一個二階傳遞函數的兩種狀態空間實現。 解：（1）單輸入單輸出線性時不變系統傳遞函數的一般形式是 若，則通過長除法，傳遞函數總可以轉化成將 分解成等效的兩個特殊環節的串聯： 可得一個狀態空間實現 串聯法 其思想是將一個n階的傳遞函數分解成若干低階傳遞函數的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數的狀態空間實現，最后利用串聯關系，寫出原來系統的狀態空間模型。并聯法 其的思路是把一個復雜的傳遞函數分解成若干低階傳遞函數的和，然后對每個低階傳遞函數確定其狀態空間實現，最后根據并聯關系給出原來傳遞函數的狀態空間實現。

19、 （2）方法一：將重新寫成下述形式：每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為， 所以 因此，若采用串聯分解方式，則系統的狀態空間模型為： 方法二：將重新寫成下述形式：每一個環節的狀態空間模型分別為： 又由于 因此，若采用并聯分解方式，則系統的狀態空間模型為： 方法三：將重新寫成下述形式： 則系統的狀態空間模型為： 評分標準：問題（1）10分，由一個傳遞函數轉換為狀態空間模型思路清晰，方法正確10分；問題（2）10分，兩種狀態空間實現方法各5分。 三、（20分）（1）試問狀態轉移矩陣的意義是什么？ （2）狀態轉移矩陣是否包含了對應自治系統的全部信息？ （3）介紹兩種求解線性定常系統狀態轉移矩陣的

20、方法； （4）計算系統的狀態轉移矩陣。 解：（1）狀態轉移矩陣的意義是決定狀態沿著軌線從初始狀態轉移到下一個狀態的規律，即初始狀態x0在狀態轉移矩陣(t,t 0)的作用下，t0時刻的初始狀態x0經過時間tt0后轉移到了時刻t的狀態x (t)。 （2）狀態轉移矩陣包含了對應自治系統的全部信息；對于自治系統（3）拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。 方法一 直接計算法 根據定義， 我們已經知道上式中的矩陣級數總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數的和來得到所要求的狀態轉移矩陣。 方法二 線性變換法 如果矩陣A是一個可對角化的矩陣，即存在一個非奇異矩陣T，使得 則 方法三 拉普拉

21、斯變換法 方法四 凱萊-哈密爾頓法 解一個線性方程組 其系數矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當1,2,L ,n互不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解0(t), 1 (t), L ,n1 (t) 。由可得狀態轉移矩陣。 （4）方法一：線性變換法， 容易得到系統狀態矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統的矩陣A可以對角化。矩陣A對應與特征值的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于 故 方法二：凱萊-哈密爾頓法 將狀態轉移矩陣寫成系統矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，評分標準：每個問題5分。問題（1）狀態轉移矩陣的意義敘述完整5分；問

22、題（2）判斷正確5分；問題（3）給出兩種求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法5分；問題（3）方法和結果正確5分。 四、（20分）（1）解釋系統狀態能控性的含義； （2）給出能控性的判別條件，并通過一個例子來說明該判別條件的應用； （3）若一個系統是能控的，則可以在任意短時間內將初始狀態轉移到任意指定的狀態，這一控制效果在實際中能實現嗎？為什么？ 解：（1）對一個能控的狀態，總存在一個控制律，使得在該控制律作用下，系統從此狀態出發，經有限時間后轉移到零狀態。 （2）通過檢驗能控性判別矩陣是否行滿秩來判別線性時不變系統的能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統是能控的。 試判別由以下狀態方程描述的

23、系統的能控性： 系統的能控性判別矩陣 由于 即矩陣cA, B不是滿秩的，該系統不是狀態完全能控的。 （3）若一個系統是能控的，則可以在任意短時間內將初始狀態轉移到任意指定的狀態，這一控制效果在實際中難以實現，T越小，則控制律的參數越大，從而導致控制信號的幅值很大，這要求執行器的調節幅度要很大，從而使得在有限時間內完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實際過程中，執行器的調節幅度總是有限的（如閥門的開度等），能量供應也是有限制的。 評分標準：問題（1）系統狀態能控性的含義敘述完整6分；問題(2) 能控性的判別條件4分，舉例3分；問題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。 五、（20分）（

24、1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是什么？ （2）已知被控對象的狀態空間模型為 設計狀態反饋控制器，使得閉環極點為4和5。 （3）極點配置是否會影響系統的穩態性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？ 解：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是系統狀態能控。 （2） 由于給出的狀態空間模型是能控標準形，因此，系統是能控的。根據所期望的閉環極點是4和5，可得期望的閉環特征多項式是 因此，所要設計的狀態反饋增益矩陣是 相應的閉環系統狀態矩陣是 閉環傳遞函數是 評分標準：問題（1）給出通過狀態反饋實現任意極點配置的條件6分；問題（2）狀態反饋控制器設計方法正確7分；問題（3）判斷正確3

25、分，敘述克服方法4分。 六、（10分）（1） 敘述線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理； （2） 利用李雅普諾夫穩定性定理判斷系統的穩定性。 解：（1）連續時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理；線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣方程 成立。 離散時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理；線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程存在對稱正定解矩陣P。 （2）原點是系統的惟一平衡狀態。求解以下的李雅普諾夫方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可

26、得 進一步將以上矩陣方程展開，可得聯立方程組 應用線性方程組的求解方法，可從上式解出p 11、p12和p22，從而可得矩陣P： 根據矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。 評分標準：問題（1）完整敘述線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理5分；問題（2）穩定性判斷方法和結果正確5分。現代控制理論復習題4一、（10分，每小題1分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打。 （ ）1. 相比于經典控制理論，現代控制理論的一個顯著優點是可以用時域法直接進行系統的分析和設計。 （ ）2. 傳遞函數的狀態空間實現

27、不唯一的一個主要原因是狀態變量選取不唯一。 （ ）3. 狀態變量是用于完全描述系統動態行為的一組變量，因此都是具有物理意義。 （ ）4. 輸出變量是狀態變量的部分信息，因此一個系統狀態能控意味著系統輸出能控。 （ ）5. 等價的狀態空間模型具有相同的傳遞函數。 （ ）6. 互為對偶的狀態空間模型具有相同的能控性。 （ ）7. 一個系統的平衡狀態可能有多個，因此系統的李雅普諾夫穩定性與系統受擾前所處的平衡位置無關。 （ ）8. 若一線性定常系統的平衡狀態是漸近穩定的，則從系統的任意一個狀態出發的狀態軌跡隨著時間的推移都將收斂到該平衡狀態。 （ ）9. 反饋控制可改變系統的穩定性、動態性能，但不改

28、變系統的能控性和能觀性。 （ ）10. 如果一個系統的李雅普諾夫函數確實不存在，那么我們就可以斷定該系統是不穩定的。 二、（15分）建立一個合理的系統模型是進行系統分析和設計的基礎。已知一單輸入單輸出線性定常系統的微分方程為： （1）采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖；（7分3分） （2）歸納總結上述的實現過程，試簡述由一個系統的n階微分方程建立系統狀態空間模型的思路。（5分） 解：（1）方法一： 由微分方程可得 令 每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因此，采用串聯分解方式可得系統的狀態空間模型為： 對應的狀態變量圖為： 方法二： 由微分方

29、程可得 每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因此，采用串聯分解方式可得系統的狀態空間模型為： 對應的狀態變量圖為 （2）單輸入單輸出線性時不變系統傳遞函數的一般形式是 若bn 0，則通過長除法，傳遞函數G(s)總可以轉化成將傳遞函數c(s)/a(s)分解成若干低階(1階)傳遞函數的乘積，然后根據能控標準型或能觀標準型寫出這些低階傳遞函數的狀態空間實現，最后利用串聯關系，寫出原來系統的狀態空間模型。 三、（10分）系統的狀態轉移矩陣不僅包含了對應自治系統的全部信息，而且在線性控制系統的分析、設計中具有重要的作用。已知系統的狀態轉移矩陣如下： （1）試給出對應自治系統的全

30、部信息；（5分） （2）試列舉狀態轉移矩陣的基本性質，并簡述其意義。（5分） 解：（1）一個自治系統的全部信息由其狀態矩陣A描述，可由狀態轉移矩陣(t)確定一線性定常系統的狀態矩陣A。 對任意的t，滿足，而 對等式取 t =0，并利用(0)=I，則可得狀態矩陣A （2）狀態轉移矩陣的基本性質： ，包含對應系統自由運動的全部信息； 對任意的t和s，滿足(t+s)= (t)(s)，即利用狀態轉移矩陣可以從任意指定的初始時刻t0的狀態x(t0)出發，以確定任意時刻t處的狀態x(t)； 對任意的t，滿足(t)-1= (-t)，即可以由當前的狀態信息確定以前的狀態信息。 四、（20分）實際被控系統通常是

31、連續時間系統，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對連續時間系統做離散化。那么請問 （1）一個能控能觀的連續時間系統，其離散化后的狀態空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2分） （2）以如下線性定常系統為例： 說明你的理由以支持你的觀點。（10分） （3）令采樣周期T=/2,初始狀態為，求u(k)，使得（2）中離散化狀態空間模型在第2個采樣時刻轉移到原點。（8分） 解：（1）不一定。 （2）連續系統的狀態空間模型是能控標準形，故系統是能控的。將狀態方程離散化，設采樣周期為T，系統的狀態轉移矩陣為 根據， 可得到離散化狀態方程，此時 因此，離散化狀態空間模型為 則離散化系統的能控

32、性矩陣為 所以，當sin2T=2sin T，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統是不能控的；當Tk (k=0,1,2)時，離散化系統是能控的。同理，離散化系統的能觀性矩陣為 L所以，sinT=0，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統是不能觀的；當Tk (k=0,1,2)時，離散化系統是能觀的。因此，一個能控能觀的連續時間系統，其離散化后的狀態空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期T的選擇。（3）當采樣周期T=/2時，離散化狀態空間模型為 可得 將式(a)代入式(b)得 即 整理可得 五、（10分）證明：狀態反饋不改變被控系統的能控性。 證明一：采用能控性定義

33、證明，具體見教材P125. 證明二：考慮被控系統（A, B, C, D），則狀態反饋后得到閉環系統SK，其狀態空間模型為 開環系統S0的能控性矩陣為閉環系統SK的能控性矩陣為 由于 以此類推，總可以寫成的線性組合。因此，存在一個適當非奇異的矩陣U，使得由此可得：若，即有n個線性無關的列向量，則也有n個線性無關的列向量，故，命題得證。 六、（20分）雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。假設倒立擺系統的一個平衡點線性化狀態空間模型如下： 其中，狀態變量，y是小車的位移，是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動力。試回答 （1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據倒

34、立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回到垂直面位置嗎？（2分） （2）如果不能，那么請你從控制學的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分） （3）請結合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。（4分） （4）在狀態反饋控制器設計中，需要用到系統的所有狀態信息，但根據倒立擺原理，可測量的狀態信息只有水平移動的位移y，那么你有什么方法可以實現這個狀態反饋控制器的設計？你所用方法的條件是什么？依據是什么？請結合倒立擺模型，給出你使用方法的實現過程。（10分） 答：（1）不能，因為倒立擺是一個開環不穩定系統； （2）對于給定的倒立擺模型，是

35、一線性時不變系統，因此可以用如下方法使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置（即穩定化控制器設計）：極點配置方法；基于李雅普諾夫穩定性理論的直接設計法；線性二次型最優控制器設計方法。 （3）當雙足直立機器人由于受初始擾動而稍稍偏離垂直面位置時，總可以通過對其施加一個適當的外力，使得將它推回到垂直面位置（將非零的初始狀態轉移到零狀態）。 （4）如果被控系統是狀態能觀的，那么通過設計（降維）狀態觀測器將不可測量狀態變量觀測輸出，再應用線性定常系統的分離性原理，實現狀態反饋控制器設計。結合倒立擺模型，則檢驗上述狀態空間模型的能觀性；系統完全能觀，則對系統設計狀態觀測器（或對不可測量子系統和設計

36、降維狀態觀測器）；應用線性定常系統的分離性原理，將狀態反饋控制器u = -Kx中的狀態x替換為觀測狀態從實現基于狀態觀測器的狀態反饋控制器設計。 使用方法的條件是：系統完全能觀或不可觀子系統是漸進穩定的； 使用方法的依據是：線性定常系統的分離性原理。 七、（15分）考慮線性定常系統和性能指標如下： 其中實數r0為性能指標可調參數。試回答 （1）當參數r固定時，求使得性能指標J最小化的最優狀態反饋控制器。（10分） （2）當參數r增大時，分析閉環系統性能的變化。（5分） 解：（1）系統性能指標J等價為 令正定對稱矩陣代入黎卡提矩陣方程 可得： 通過矩陣計算，得到： 進一步，可得下面三個代數方程：

37、 據此，可解得：（這里取正值，若取負值，則相應的矩陣P不是正定的），使得性能指標J最小化的最優狀態反饋控制器為：（2）將上述最優控制律代入系統，得最優閉環系統狀態矩陣 則閉環系統特征多項式為 可得最優閉環極點為 其中。隨著參數r的增大，閉環極點越來越靠近虛軸，從而系統的響應速度變慢。事實上，從性能指標也可以看出，參數r的增大表明控制能量約束的加權越來越大，希望用較小的能量來實現系統的控制，顯然由此導致的結果就是系統速度變慢。現代控制理論1.經典-現代控制區別:經典控制理論中,對一個線性定常系統,可用常微分方程或傳遞函數加以描述,可將某個單變量作為輸出,直接和輸入聯系起來;現代控制理論用狀態空間

38、法分析系統,系統的動態特性用狀態變量構成的一階微分方程組描述,不再局限于輸入量,輸出量,誤差量,為提高系統性能提供了有力的工具.可以應用于非線性,時變系統,多輸入-多輸出系統以及隨機過程.2.實現-描述由描述系統輸入-輸出動態關系的運動方程式或傳遞函數,建立系統的狀態空間表達式,這樣問題叫實現問題.實現是非唯一的.3.對偶原理系統=1(A1,B1,C1)和=2(A2,B2,C2)是互為對偶的兩個系統,則1的能控性等價于2的能觀性, 1的能觀性等價于2的能控性.或者說,若1是狀態完全能控的(完全能觀的),則2是狀態完全能觀的(完全能控的).對偶系統的傳遞函數矩陣互為轉置4.對線性定常系統0=(A

39、,B,C),狀態觀測器存在的充要條件是的不能觀子系統為漸近穩定第一章 控制系統的狀態空間表達式1.狀態方程:由系統狀態變量構成的一階微分方程組2.輸出方程:在指定系統輸出的情況下,該輸出與狀態變量間的函數關系式3.狀態空間表達式:狀態方程和輸出方程總合,構成對一個系統完整動態描述4.友矩陣:主對角線上方元素均為1:最后一行元素可取任意值;其余元素均為05.非奇異變換:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T為任意非奇異陣(變換矩陣),空間表達式非唯一6.同一系統,經非奇異變換后,特征值不變;特征多項式的系數為系統的不變量第二章 控制系統狀態空間表達式的解1.狀

40、態轉移矩陣:eAt,記作(t)2.線性定常非齊次方程的解:x(t)=(t)x(0)+t0(t-)Bu()d第三章 線性控制系統的能控能觀性1.能控:使系統由某一初始狀態x(t0),轉移到指定的任一終端狀態x(tf),稱此狀態是能控的.若系統的所有狀態都是能控的,稱系統是狀態完全能控2.系統的能控性,取決于狀態方程中系統矩陣A和控制矩陣b3.一般系統能控性充要條件:(1)在T-1B中對應于相同特征值的部分,它與每個約旦塊最后一行相對應的一行元素沒有全為0.(2)T-1B中對于互異特征值部分,它的各行元素沒有全為0的4.在系統矩陣為約旦標準型的情況下,系統能觀的充要條件是C中對應每個約旦塊開頭的一列的元素不全為05.約旦標準型對于狀態轉移矩陣的計算,可控可觀性分析方便;狀態反饋則化為能控標準型;狀態觀測器則化為能觀標準型6.最小實現問題:根據給定傳遞函數陣求對應的狀態空間表達式,其解無窮多,但其中維數最小的那個狀態空間表達式是最常用的.第五章 線性定常系統綜合1.狀態反饋:將系統的每一個狀態變量