1、第一章第一章 隨機事件與概率（一）隨機事件與概率（一）本章要點本章要點 了解概率論中的一些基本概念了解概率論中的一些基本概念: 隨機試驗隨機試驗, 樣本點樣本點, 樣本空間樣本空間. 事件的關系和運算事件的關系和運算. 了解概率的統(tǒng)計定義和了解概率的統(tǒng)計定義和古典概型古典概型. 了解概率的公理化定義及相關性質(zhì)了解概率的公理化定義及相關性質(zhì), 掌握古掌握古典概型中概率的計算方法典概型中概率的計算方法.一、隨機事件一、隨機事件 1.隨機試驗隨機試驗 滿足如下條件的試驗稱為滿足如下條件的試驗稱為隨機試驗隨機試驗, 簡稱為簡稱為試驗試驗: 可重復性可重復性; 結(jié)果的可預測性結(jié)果的可預測性; 結(jié)果的未知

2、性結(jié)果的未知性.例例1 投擲一枚均勻的骰子投擲一枚均勻的骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù).例例2 在某地區(qū)某時刻的雨量在某地區(qū)某時刻的雨量. 一般用大寫的英文字符一般用大寫的英文字符 來表示隨機試驗來表示隨機試驗.E例例3 從某廠生產(chǎn)的相同類型的燈泡中抽取一只從某廠生產(chǎn)的相同類型的燈泡中抽取一只, 測試其測試其壽命壽命. 2.樣本點與樣本空間樣本點與樣本空間 隨機試驗的一個基本結(jié)果稱為隨機試驗的一個基本結(jié)果稱為樣本點樣本點. 一般以一般以 來表來表例例4 在擲骰子試驗中在擲骰子試驗中, 以以 代表出現(xiàn)點數(shù)為代表出現(xiàn)點數(shù)為 則樣本則樣本i, i126,. 例例5 在一次射擊試驗中在一次射擊試

3、驗中, 若打靶的環(huán)數(shù)為若打靶的環(huán)數(shù)為0,1,2,10,01210,. 示示.點為點為則樣本點為則樣本點為 由樣本點的全體所構(gòu)成的集合稱為由樣本點的全體所構(gòu)成的集合稱為樣本空間樣本空間, 記為記為. 在前面兩個例中在前面兩個例中, 樣本空間分別為樣本空間分別為126,. 01210,. 在例在例3中中, 樣本空間為樣本空間為0,. 3.隨機事件隨機事件 由若干個樣本點構(gòu)成的集合稱為由若干個樣本點構(gòu)成的集合稱為事件事件. 一般用一般用, , ,A B C 例例6 在擲骰子試驗中在擲骰子試驗中, 擲出的為奇數(shù)的事件為擲出的為奇數(shù)的事件為135,.A 事件事件 發(fā)生發(fā)生意為事件意為事件 中的一個樣本點

4、的出現(xiàn)中的一個樣本點的出現(xiàn).AA來表達事件來表達事件. 在例在例6中中, 事件事件 發(fā)生發(fā)生, 即指擲出的點數(shù)為奇數(shù)即指擲出的點數(shù)為奇數(shù).A 在所有的事件中在所有的事件中, 有兩個特殊的事件有兩個特殊的事件, 分別稱為分別稱為必然必然必然事件必然事件不可能事件不可能事件事件和不可能事件事件和不可能事件. 為了用簡單的事件來表達較為復雜的事件為了用簡單的事件來表達較為復雜的事件, 有必要討有必要討 關系關系 若事件若事件 發(fā)生必然導致事件發(fā)生必然導致事件 發(fā)生發(fā)生, 則稱事件則稱事件 包含包含事事ABB件件 記為記為,A.AB 若事件若事件 包含在事件包含在事件 中中, 而事件而事件 又包含在事

5、件又包含在事件 中中,ABBA論事件間的關系和運算論事件間的關系和運算. 4.事件的關系和運算事件的關系和運算則稱事件則稱事件 與事件與事件 相等相等, 記為記為AB.AB 互斥事件互斥事件 若事件若事件 與事件與事件 不能在一次試驗中同時發(fā)不能在一次試驗中同時發(fā)AB例例7 在擲一次骰子試驗中在擲一次骰子試驗中, 135,A 246,B 46,.C 則則,CB且且 與與 是互斥的是互斥的.AC生生, 則稱事件是則稱事件是互斥互斥的（的（互不相容互不相容）. 關系間的圖示關系間的圖示AB.ABAB,A B互斥互斥 若事件若事件 滿足滿足: 事件事件 發(fā)生當且僅當發(fā)生當且僅當 不發(fā)生不發(fā)生, 則稱

6、則稱,A BABAA事件事件 為事件為事件 的的對立事件對立事件, 記為記為BA.A 對立事件往往又稱為對立事件往往又稱為逆事件逆事件（余事件余事件）. 運算運算 設設 為事件為事件, 定義下列事件定義下列事件.,A B|.ABAB 事件的并事件的并: 事件的交（積）事件的交（積）|.ABAB 事件的差事件的差|.ABAB ABABAB 由定義容易得到下列關系由定義容易得到下列關系:,A B是互斥事件是互斥事件.AB ,A B是對立事件是對立事件,.ABAB .ABAB 事件的運算滿足下面性質(zhì)事件的運算滿足下面性質(zhì): 交換律交換律,;ABBA ABBA 結(jié)合律結(jié)合律,;ABCABCABCABC

7、 分配律分配律,;ABCACBCABCACBC 逆律逆律,.ABAB ABAB例例8 一箱產(chǎn)品中有一箱產(chǎn)品中有95件正品和件正品和5件次品件次品, 從中取從中取4次次, 每每1.取到的都是正品取到的都是正品;2.取到的恰有一件是次品取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品取到的至少有一件是次品.解解 1.2.11234;BA A A A1,2,3,4iA i i次取一件次取一件, 以以 表示第表示第 次取到的是正品次取到的是正品, 試表達如下事件試表達如下事件:12342234134124123;BA A A AA A A AA A A AA A A A3.31234.BA A A A1

8、.第一幢樓房合格第一幢樓房合格;2.只有第一幢樓合格只有第一幢樓合格;3.恰有一幢樓合格恰有一幢樓合格; 幢樓房驗收合格幢樓房驗收合格”1,2,3.i i試用試用 表達如下事件表達如下事件:iA4.至少有一幢樓合格至少有一幢樓合格;5.至多有一幢樓合格至多有一幢樓合格.例例9 某工程隊承包修建了某工程隊承包修建了 幢樓房幢樓房, 設事件設事件 表示表示“第第iA3解解 1.2.11;BA2123;BA A A3.3123123123;BA A AA A AA A A4.4123;BAAA5.5123123123123.BA A AA A AA A AA A A二、等可能概型二、等可能概型刻畫刻

9、畫, 這個數(shù)就稱為概率這個數(shù)就稱為概率.記作記作 在一次試驗后在一次試驗后, 隨機事件隨機事件 可能發(fā)生可能發(fā)生, 也可能也可能 不發(fā)生不發(fā)生.A隨機事件發(fā)生的可能性的大小用區(qū)間隨機事件發(fā)生的可能性的大小用區(qū)間 中的一個數(shù)來中的一個數(shù)來0,1事件事件 的概率分別的概率分別, ,A B C ,.P AP BP C 自然有自然有: 1,0.PP 1.古典型概率古典型概率 設設 是隨機試驗是隨機試驗, 是相應的樣本空間是相應的樣本空間, 若滿足若滿足:E 中僅含有限個樣本點中僅含有限個樣本點, 記記 每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的, 即即則稱此試驗為則稱此試驗為古典概型

10、古典概型.12,;n 12.nPPP用這種方法得到的概率稱為用這種方法得到的概率稱為古典型概率古典型概率. .AnP An 在古典概型中在古典概型中, 若事件若事件 中包含中包含 個樣本點個樣本點, 規(guī)定規(guī)定AAn解解 由所設容易得到由所設容易得到這是一個古典概型這是一個古典概型, 且且例例10 把一枚硬幣連拋兩次把一枚硬幣連拋兩次, 設事件設事件 表示表示“出現(xiàn)出現(xiàn) 正面正面”A2事件事件 表示表示“出現(xiàn)出現(xiàn) 個相同的面?zhèn)€相同的面”, 試求試求B2 ,.P AP B 正正正正, 正反正反, 反正反正, 反反反反.4.n 又又 A 正正正正,所以所以 1.4P A 1,An 因此因此同理同理,

11、 1.2P B 下分別求出兩只晶體管中恰有下分別求出兩只晶體管中恰有 只是不合格品的概率只是不合格品的概率:1例例11 一個盒子中有一個盒子中有 個晶體管個晶體管, 其中其中 只是不合格品只是不合格品. 103從這個盒子中依次隨機地取從這個盒子中依次隨機地取 只晶體管只晶體管, 在下列兩種情況在下列兩種情況2有放回抽樣有放回抽樣 第一次取出第一次取出 只晶體管只晶體管, 作測試后放回盒子作測試后放回盒子1中中, 第二次再從盒子中取第二次再從盒子中取 只晶體管只晶體管;1第二次再從盒子中取第二次再從盒子中取 只晶體管只晶體管.1A解解 設事件設事件 表示表示“ 只晶體管中恰有一只是不合格只晶體管

12、中恰有一只是不合格品品”.2從盒子中依次取出從盒子中依次取出 只晶體管只晶體管. 每一種取法視為一個基每一種取法視為一個基2無放回抽樣無放回抽樣 第一次取出第一次取出 只晶體管只晶體管, 作測試后不放回作測試后不放回,1本事件本事件, 此為一個古典概型此為一個古典概型.第一次有第一次有 種取法種取法, 放回后放回后, 第二次還是有第二次還是有 種取法種取法.1010所以所以10 10.n 第一次取正品第一次取正品, 第二次取次品的取法共第二次取次品的取法共 種種; 第一次第一次7 3取次品第二次再取正品的取法共有取次品第二次再取正品的取法共有 種種,3 7所以所以7 33 7.An 由此得由此

13、得 7 33 70.42.100AnP An 所以所以10 9.n 第一次有第一次有 種取法種取法, 不放回后不放回后, 第二次有第二次有 種取法種取法.109第一次取正品第一次取正品, 第二次取次品的取法共第二次取次品的取法共 種種; 第一次第一次7 3取次品第二次再取正品的取法共有取次品第二次再取正品的取法共有 種種,3 7所以所以7 33 7.Bn 由此得由此得 7 33 70.47.90BnP Bn 此類型的題目也可以用組合的方法計算出相應的概率此類型的題目也可以用組合的方法計算出相應的概率.例例12 一批產(chǎn)品共有一批產(chǎn)品共有100件件, 其中其中95件為正品件為正品, 5件是次件是次

14、從中任取一件從中任取一件, 取到的是次品的概率取到的是次品的概率;從中取出從中取出4件件, 取到的產(chǎn)品中有一件是次品的概率取到的產(chǎn)品中有一件是次品的概率;從中取出從中取出4件件, 取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品的概率取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品的概率.解解 從從100件產(chǎn)品中取一件的取法為件產(chǎn)品中取一件的取法為 而取次品的而取次品的1100,C品品, 求求: 15,CA取法是取法是 設事件為設事件為 , 故概率為故概率為 15110051.10020CP AC 100件產(chǎn)品中取件產(chǎn)品中取4件產(chǎn)品的取法數(shù)為件產(chǎn)品的取法數(shù)為 而恰好取到而恰好取到4100,C 3195541006920750.176

15、5.3921225C CP BC 取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品的取法數(shù)為取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品的取法數(shù)為31955,C C,B的有一件是次品的取法數(shù)為的有一件是次品的取法數(shù)為 設事件為設事件為 則則4410095,CC.C 設事件為設事件為 則則 4441009595441001001CCCP CCC 1 0.81190.1881. 例例13 某市的電話號碼由某市的電話號碼由8位數(shù)組成位數(shù)組成, 每位可以是每位可以是0,1,2,解解 所有有效的電話號碼共有所有有效的電話號碼共有 個個. 而每位數(shù)各不而每位數(shù)各不79 1077997790.0061.9 1010PPp, 9中的任一數(shù)（但首

16、位不能取中的任一數(shù)（但首位不能取0）, 現(xiàn)隨機取一個電現(xiàn)隨機取一個電話號碼話號碼, 問取到的是由不同的數(shù)組成的概率問取到的是由不同的數(shù)組成的概率.799P相同的電話號碼有相同的電話號碼有 個個, 故相應的概率為故相應的概率為例例14 總經(jīng)理有總經(jīng)理有5位秘書位秘書, 其中有兩位精通英語其中有兩位精通英語, 偶遇其偶遇其其中有一位精通英語其中有一位精通英語;其中有二位精通英語其中有二位精通英語;其中有人精通英語其中有人精通英語.解解 設設 為為5個秘書中取個秘書中取3位的可能取法位的可能取法, 則取法總數(shù)為則取法總數(shù)為: 3510.C 中中3位位, 求下列概率求下列概率: 以以 表示遇到的有一位

17、精通英語表示遇到的有一位精通英語, 另外兩位不是精通另外兩位不是精通A21326,ACC故故 0.6.AP A 以以 表示遇到的其中恰有二位精通英語表示遇到的其中恰有二位精通英語, 另外一位不另外一位不B21233,BCC英語這一事件英語這一事件, 則則是精通英語這一事件是精通英語這一事件, 則則 故故: 0.3.BP B 以以 表示其中有人精通英語這一事件表示其中有人精通英語這一事件, 則則 C,CAB 0.9.CP C ,CAB且且 故有故有求求 個人住不同房的概率個人住不同房的概率. n例例15 （分房問題）設有（分房問題）設有 個人入住個人入住 個房間個房間, nN nN解解 設設 為

18、為 個人的所有可能的入住方法個人的所有可能的入住方法, 則則 若若 n.nN !.nNnCnPN應用應用 生日問題生日問題: 設一個班有設一個班有 個人，則個人，則 個人的生日互個人的生日互nnAn以以 表示指定的表示指定的 個房間中各住一個人的所有可能的住個房間中各住一個人的所有可能的住!.AnNn法法, 則則 而從而從 個房間中選出個房間中選出 個房間的選法總數(shù)個房間的選法總數(shù),nNC為為 故所求問題的概率為故所求問題的概率為 不相同的概率就可以從上面的公式中得以計算不相同的概率就可以從上面的公式中得以計算.此時取此時取365!.365nnCnP下表給出了當下表給出了當 取不同值時的概率分

19、布情況取不同值時的概率分布情況:n反之反之, 班中至少有兩個人同一天生日的概率為班中至少有兩個人同一天生日的概率為 365!1.365nnCnP 365,N 相應的概率為相應的概率為0.999990.9970.9700.8910.7060.4411006450403020nP 古典概型中要求樣本空間中的元素只有有限多個古典概型中要求樣本空間中的元素只有有限多個. 在在 設設 是隨機試驗是隨機試驗, 樣本空間樣本空間 是某個區(qū)域（一維情形是某個區(qū)域（一維情形E有些隨機試驗中有些隨機試驗中, 其可能的結(jié)果可能有無限多個其可能的結(jié)果可能有無限多個, 例如例如某地區(qū)某個時間段中的降雨量的取值就可能是取

20、無限多某地區(qū)某個時間段中的降雨量的取值就可能是取無限多個值個值. 本段中本段中, 我們考慮樣本空間中有無限多個元素的我們考慮樣本空間中有無限多個元素的情形情形. 這樣的情形就稱為這樣的情形就稱為幾何概型幾何概型. 可能是一個區(qū)間可能是一個區(qū)間, 二維及三維可能是一個區(qū)域）二維及三維可能是一個區(qū)域）, 并假并假 2.幾何概率幾何概率設設 是可度量的（區(qū)間有長度是可度量的（區(qū)間有長度, 平面情形具有面積平面情形具有面積, 空空可能性是相同的可能性是相同的. 事件事件 是是 的一個子區(qū)域的一個子區(qū)域, 并且并且 也也AA是可以度量的是可以度量的, 其度量仍以其度量仍以 來表示來表示, 則事件則事件

21、發(fā)發(fā), AA .AP A 間情形具有體積）間情形具有體積）, 并進一步地假定每個樣本點出現(xiàn)的并進一步地假定每個樣本點出現(xiàn)的生的概率為生的概率為:例例16 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7點起點起, 每隔每隔15分鐘來一趟分鐘來一趟該乘客等候不超過該乘客等候不超過5分鐘乘上車的概率分鐘乘上車的概率;該乘客等候時間超過該乘客等候時間超過10分鐘才乘上車的概率分鐘才乘上車的概率. 解解 用用 表達乘客到達車站的時間表達乘客到達車站的時間, 則則 的取值范圍就是的取值范圍就是TT ,7:10 7:157:25 7:30A所以所以 相應的概率為相應的概率為10,A車車, 一乘客在一乘客在7:00到

22、到7:30之間內(nèi)隨機地到達該車站之間內(nèi)隨機地到達該車站. 求求 30 樣本空間的取值范圍樣本空間的取值范圍. 由題意得由題意得: （以分鐘為單（以分鐘為單A位）位）. 設設 表示等候時間不超過表示等候時間不超過5分鐘這一事件分鐘這一事件, 則則 .101303P A 再設再設 表示等待時間超過表示等待時間超過10分鐘的事件分鐘的事件, 則則 B,7:00 7:057:15 7:20B 所以所以 相應的概率為相應的概率為10,B .101303P B 例例17 某碼頭只能停靠一只船某碼頭只能停靠一只船, 現(xiàn)已知某日會有兩只船現(xiàn)已知某日會有兩只船解解 設甲船到達時間為設甲船到達時間為 停靠停靠4小

23、時小時, 乙船乙船,0,24 ,x x情形情形: 乙船先到乙船先到, 甲船等待甲船等待, 則則 滿足滿足 , x y,6,xy xy,4,xy yx0,24到達且到達時間是在到達且到達時間是在 中任一時刻中任一時刻, 已知一船需要已知一船需要停停4小時小時, 另一只需要停另一只需要停6小時小時, 求一船需等待的概率求一船需等待的概率.,0,24 ,y y到達時間為到達時間為 停靠停靠6小時小時. 情形情形: 甲船先到甲船先到, 乙船等待乙船等待, 則則 滿足滿足 , x y相應的區(qū)域如圖所示相應的區(qū)域如圖所示: 81624816246xy4xy Dxy所以所以 若以若以 表示某船等待另一船這表

24、示某船等待另一船這2424576, A一事件一事件, 則則 即為圖中區(qū)域即為圖中區(qū)域 的面積的面積, 容易得到容易得到:AD1157620 2018 1822A 214,從而從而, 事件事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為A 2140.3715.576P A 三、頻率與概率三、頻率與概率 設設 是隨機試驗是隨機試驗, 是樣本空間是樣本空間, 是事件是事件, 設在設在 次試次試E.AnAnn稱為事件稱為事件 在在 次試驗中出現(xiàn)的次試驗中出現(xiàn)的頻率頻率, 記為記為 即即An ,nfA .AnnfAn 1.頻率頻率驗中驗中, 事件事件 出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為 次次, 數(shù)數(shù)AnA 歷史上歷史上, 有很多學

25、者為了考察某些問題的概率而做了有很多學者為了考察某些問題的概率而做了試驗者試驗者試驗次數(shù)試驗次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率頻率蒲豐蒲豐404020480.5069K.皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜皮爾遜24000120120.5005大量的試驗大量的試驗, 以觀察一些問題的實質(zhì)以觀察一些問題的實質(zhì). 例如在拋硬幣試例如在拋硬幣試驗中驗中, 有這樣三組數(shù)據(jù)有這樣三組數(shù)據(jù): 通過這一組數(shù)據(jù)可以看到通過這一組數(shù)據(jù)可以看到:當試驗的次數(shù)越大當試驗的次數(shù)越大, 則事件則事件在在 次試驗中出現(xiàn)的頻率越接近某一個常數(shù)次試驗中出現(xiàn)的頻率越接近某一個常數(shù), 它反映了它反映了n事件在大量重

26、復試驗中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性事件在大量重復試驗中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性. 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義 對于任何一個事件對于任何一個事件 若事件若事件 在在 次重復試驗中事次重復試驗中事,AAN( ).P AN發(fā)生的頻率隨著發(fā)生的頻率隨著 的增大將穩(wěn)定到某個常數(shù)的增大將穩(wěn)定到某個常數(shù), 就稱該常就稱該常數(shù)為事件發(fā)生的數(shù)為事件發(fā)生的概率概率, 記為記為例例18 在拋硬幣試驗中在拋硬幣試驗中, 以以 表示出現(xiàn)正面朝上這一事件表示出現(xiàn)正面朝上這一事件,A 1.2P A A則由上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到事件則由上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 例例19 為了設計某路口向左拐彎的汽車侯車道

27、為了設計某路口向左拐彎的汽車侯車道. 在每天交在每天交1頻率頻率601231420164等候天數(shù)等候天數(shù)總和總和6543210等候車輛數(shù)等候車輛數(shù)460166020601460360260160通最繁忙的時間（上午通最繁忙的時間（上午9時）在該路口觀察候車數(shù)時）在該路口觀察候車數(shù), 共觀共觀察了察了60天天, 得數(shù)據(jù)如下得數(shù)據(jù)如下:試求某天上午試求某天上午9時在該路口至少有時在該路口至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎解解 設事件設事件 表示表示“至少有至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎”這這一一A 602110.05,6020fA故可近似地認為至少有故可近似地認為至少有5輛

28、汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為 0.05.P A 的概率的概率.事件事件, 在在60次觀察中次觀察中, 事件發(fā)生的頻率事件發(fā)生的頻率四、概率的公理化定義與性質(zhì)四、概率的公理化定義與性質(zhì) 經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn), 無論是古典概率還是幾何概率或是概無論是古典概率還是幾何概率或是概非負性非負性規(guī)范性規(guī)范性可加性可加性 率的統(tǒng)計定義率的統(tǒng)計定義, 都具有下列都具有下列 條基本性質(zhì)條基本性質(zhì):3對任意一個事件對任意一個事件,A 0;P A 1;P 當事件當事件 互不相容時互不相容時, 有有,A B .P ABP AP B 就古典概型驗證上述性質(zhì)就古典概型驗證上述性質(zhì). 事實上事實上

29、, 由古典型概率的意義由古典型概率的意義, 非負性和規(guī)范性是顯非負性和規(guī)范性是顯ABnnP ABn而易見的而易見的. 再看可加性再看可加性, 設事件設事件 中包含中包含 個元素個元素, 事事AAn件件 中包含中包含 個元素個元素, 由于事件是互不相容的由于事件是互不相容的, 所以所以BBn事件事件 包含包含 個元素個元素, 所以所以ABABnn .ABnnP AP Bnn 將這些性質(zhì)抽象出來將這些性質(zhì)抽象出來, 引出了概率的一般定義引出了概率的一般定義. 設設 為隨機試驗為隨機試驗, 為相應的樣本空間為相應的樣本空間, 若對每一個事若對每一個事E公理公理1 0;P A 公理公理21;P 公理公

30、理3 對任意一列兩兩互斥事件對任意一列兩兩互斥事件 有有12,nA AA121,niiP AAAP A則稱則稱 為事件為事件 的的概率概率. P AAA P A件件 , 能惟一確定實數(shù)能惟一確定實數(shù) 與之對應與之對應, 且滿足如下公理且滿足如下公理: 由定義由定義, 不難得到如下性質(zhì)不難得到如下性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 0.P 證證 在公理在公理3中中, 取取,1,2,iAi則有則有111,iiiiiPPAP AP 因因0P 0.P 性質(zhì)性質(zhì)2 設設 為互不相容事件組為互不相容事件組, 則有則有 12,nA AA121.nniiP AAAP A證證 在公理在公理 中中, 令令3,1,2,iAinn則由

31、可列可加性得則由可列可加性得1211niiiiP AAAPAP A111.nniiii niP APP A ,1PAP A 證證 在性質(zhì)在性質(zhì)2中中, 取取,AA 1PP AAP AP A 性質(zhì)性質(zhì)3 對任一事件對任一事件 有有,A122,nAA AA則有則有 及及,AA由此得由此得 1.P AP A 性質(zhì)性質(zhì)4 若若 則則,AB ,.P AP BP BAP BP A證證 在性質(zhì)在性質(zhì)2中中, 取取122,nAA ABA則有則有 ,BAA及及,BAAB再由有限可加性得再由有限可加性得 BPP AP BA .P BP BAP A再由公理再由公理2知知所以所以0,P BA .P AP B性質(zhì)性質(zhì)5 設設 為任意一事件為任意一事件, 則則 A 1.