1、用心愛心專心課 題：241 平面向量數量積的物理背景及其含義教學目的：1 掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2 掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3.了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4 掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用授課類型：新授課課時安排：1 課時教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：本節學習的關鍵是啟發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數量積的認識.主要知識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量

2、數量積的 5 個重要性質；平面向量數量積的運算律 教學過程：一、復習引入：1 平面向量的坐標運算若2 =(Xi, yj,b =(X2，y2)，則a b = (xiX2, yiy2),- b = (Xi- x?, yi- y?),a = ( X,y) 若A(xi, yj,B(X2, y?)，則ABhX2-為小- yi-*2.ab(b 0)的充要條件是 Xiy2-X2yi=0二、講解新課：i .力做的功： W = |F| |s|COST，堤F與s的夾角2.兩個非零向量夾角的概念b的夾角-說明：(1)當 蘭0 =0時，a與b同向；(2)當蘭0=n時，a與b反向；(3)當兀蘭0=時，2a與b垂直，記a

3、丄b；(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍 0w rW180已知非零向量a與b，作OA=a,OB=b，則/AOB=0用心愛心專心2 平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是0，則數量|a|b|cos叫a與b的數量積，記作a b，即有a b= |a|b|COST(0 0n).并規定 0 與任何向量的數量積為 0.探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別(1 )兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由COSV 的符號所決定.(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成a b； 今后要學到兩個向量的外積aXb，而a b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區

4、分+符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替.-4-(3) 在實數中，若a=0,且a b=0，貝U b=0;但是在數量積中，若a = 0，且ab=0,不能推出 b =0因為其中COST有可能為 0.(4) 已知實數a、b、c(b=0)，貝U ab=bc= a=c- -彳 - 彳 但是ab=bc= a=C如右圖：a b= |a|b|COS-= |b|OA| ,bC=|b|C|COS：= |b|OA|N N 呻N 北 呻在實數中，有(a a)c=a(ac)，但是(ab)c = a(b C)顯然，這是因為左端是與C共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與C不共 線+投影也

5、是一個數量，不是向量；當動銳角時投影為正值；當 洶鈍角時投影為負值；當 為 直角時投影為 0；當二=0 時投影為|b| ；當 71 = 180 時投影為b定義:|b|cosr 叫做向量b在a方向上的投影用心愛心專心4數量積的幾何意義： 數量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b| coi 的乘積一5 .探究：設a、b為兩個非零向量.1a _ b = a b= 02 當a與b同向時，a b= |a|b| ；當a與b反向時，a b= -|a|b|.特別的a a= |a|2或丨a丨=aa3|a b| 0,(a)b= Ta|b|cos v, (a b) |a|b|cos v,a b)= |a|b|

6、cos乙若 0, ( a)b=| a|b|cos(二-r) =1a|b|( cosr) = |a|b|cos (a b)= |a|b|cos 二a( b) =|a|b|cos(二七)= |a|b|cos n3 .分配律：(a+b)c=ac+bc在平面內取一點 O,作OA=a,AB=b,/a+b（即OB）在c方向上的投影等于oc=c,a、b在c方向上的投影和,用心愛心專心即 |a+b| cos二=|a| cos r + |b| cos立4-H -4.|c| |a+b| cos =|c| |a| cos 3 + |c| |b| cos nI -4 -4 - 4- 4- 4.c(a+b) =c a+

7、c b即: (a+b)c=a c+b c用心愛心專心說明：(1 )一般地，(ab)c豐a(bc)(2)ac=bc,c豐0罕a=b(3)有如下常用性質：a2=IaI2,(a+b) (c+d) =ac+ad+bc+bd2 - 2 2(a+b)=a+ 2ab+b三、講解范例：例 1 已知 | a|=5b|=4 , a 與 b 的夾角0=120。，求 a b.解：a b = |a| |b |cos0= 54 Xcos120=54x(-1/2)= -10例 2 已知丨aI =3,|b丨=6，當a/b，a丄b，a與b的夾角是 60時, 分別求ab .解：當a/b時，若a與b同向，則它們的夾角0=0,ab=

8、 |aI IbIcosO =3X6X1=18；若a與b反向，則它們的夾角0= 180,ab= |aI IbIcos180 =3X6X(-1)=-18；當a丄b時，它們的夾角0= 90,.ab=0；當a與b的夾角是 60時，有- 一 - 一1ab= IaI IbIcos60 =3X6X = 92例 3 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.T T T T T 千 T 解：如圖： ABCD 中，AB = DC,AD= BC,AC=ABAD2 22 2用心愛心專心|AC|2=|AB AD |2二 AB AD 2AB ADIBD|2=|AB-AD2AB AD -2AB ADIAC|2+ |BD|2= 2A