1、第四章微分法:)?()( xF積分法:)()?(xf互逆運算不定積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質三、不定積分的性質 一、一、 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念第一節不定積分的概念與性質 第四四章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念引例引例: 一個質量為 m 的質點,的作tAFsin下沿直線運動 ,).(tv因此問題轉化為: 已知,sin)(tmAtv求?)(tv在變力試求質點的運動速度根據牛頓第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 . 若在區間 I 上定義的兩個函

2、數 F (x) 及 f (x)滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區間 I 上的一個原函數 .則稱 F (x) 為f (x) 如引例中, tmAsin的原函數有 ,cos tmA, 3cos tmA目錄 上頁 下頁 返回 結束 問題問題: 1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?2. 若原函數存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續在區間若函數Ixf上在則Ixf)( 存在原函數 .(下章證明下章證明)初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數初等函數在定義區間上有原函數目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)()(的一個原函數是若xfxF定理定理 2. 的所有則

3、)(xf原函數都在函數族CxF)( C 為任意常數 ) 內 .證證: 1)的原函數是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數是設)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個常數C它屬于函數族.)(CxF即目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義 2. )(xf在區間 I 上的原函數全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號積分號;)(xf 被積函數被積函數;xxfd)( 被積表達式被積表達式.x 積分變量積分變量;(P185)若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)(

4、C 為任意常數 )C 稱為積分常數積分常數,不可丟不可丟 !例如,xxdeCxexx d2Cx 331xxdsinCx cos記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族.yxO0 x的積分曲線積分曲線 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設曲線通過點(1, 2), 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點 (1, 2) , 故有C2121C因此所求曲線為12 xyyx)2 , 1 (O目錄 上頁 下頁

5、 返回 結束 例例2. 質點在距地面0 x處以初速0v力, 求它的運動規律. 解解: 取質點運動軌跡為坐標軸, 原點在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質點拋出時刻為,0t此時質點位置為初速為,0 x設時刻 t 質點所在位置為, )(txx 則)(ddtvtx(運動速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上拋 , 不計阻 先由此求)(tv 再由此求)(txxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 先求. )(tv,ddgtv由知tgtvd)()(1Ctg ,)0(0vv由,01vC 得0)(vtgtv再求. )(txtvtgtxd)()(020221Ctvtg,)0(0 xx由,

6、02xC 得于是所求運動規律為00221)(xtvtgtx由)(ddtvtx,0vtg 知故)0(0 xx )(txx xO目錄 上頁 下頁 返回 結束 xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本積分表基本積分表 (P188)從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時0 x) 1( )ln()ln(xxx1目錄 上頁 下頁 返回 結束 21d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xx

7、dsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求求.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例4. 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、不定積分的性質三、不定積分的性質xxfkd)

8、(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若, )()(1xfkxfinii則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 求.d)5(e2xxx解解: 原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln目錄 上頁

9、下頁 返回 結束 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 不定積分的概念 原函數與不定積分的定義 不定積分的性質 基本積分表 (見P188)2. 直接積分法:利用恒等變形恒等變形, 及 基本積分公式基本積分公式進行積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數公式 ,積分性質積分性質目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 證明 xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.

10、12的原函數都是xx2. 若則的原函數是,)(exfx d)(ln2xxfx(P193題7)提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1Cx 221目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 若)(xf是xe的原函數 , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導函數為,sin x則)(xf的一個原函數是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數為xxfd)(21sinCxCx目錄 上頁 下頁 返回 結束 5. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x目錄 上頁 下頁 返回 結束 6. 求不定積分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee212目錄 上頁 下頁 返回 結束 7.