1、精選文檔人教版高中數學必修五培優輔導拔高講義第一章解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則占a有sinsin2R.sinC2、正弦定理的變形公式:2Rsin2Rsin,c2RsinC；sin3)sina.一,sin2RabcsinsinCbc,sinC2R2Raba:b:csin:sin:sinC；sinsinsinCc（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳

2、角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡與AD有無交點：1.當無交點則B無解、2.當有一個交點則B有一解、3.當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：1.當a<bsinA,則B無解2.當bsinA<a<b,則B有兩解3.當a=bsinA或a>b時，B有一解注：當A為鈍角或是直角時以此類推既可。D4、余弦定理：在SC1.一bcsin21,1-absinC-acsin22C中，有a2b222c2bccos,b3、三角形面積公式:2a2accos,c2a2b22abcosC.5、余弦定理的推論：cosb22c2

3、bccos2c2acb2,cosC2,2ab2ab（余弦定理主要解決的問題:1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角）6、如何判斷三角形的形狀：設C的角C的對邊,則：若a2b2c2,則C90°若a2b290°若a2b2CD7.正余弦定理的綜合應用：如圖所示：隔河看兩目標A、B,但不能到達，在岸邊選取相距J3千米的C、D兩點，并測得/ACB=75O,/BCD=45O,/ADC=30O,/ADB=45°(A、B、C、D在同平面內）,求兩目標A、B之間的距離。8.三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點內心：三角形三內角

4、的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.第二章數列1、數列：按照一定順序排列的一列數.2、數列的項：數列中的每一個數.3、有窮數列：項數有限的數列.4、無窮數列：項數無限的數列.5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：a+i>an）.6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：a+i<an）.7、常數列：各項相等的數列（即：an+i=an）.8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.9、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式.10、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項

5、an1（或前幾項）間的關系的公式.11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差.符號表示：an1and。注：看數列是不是等差數列有以下三種方法:稱為a與b的等差中項.D%1d(n2,d為常數)2anan1an1(n2)anknb(n,k為常數)12、由三個數a,b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則ac一bac,則稱b為a與c的等差中項.213、若等差數列an的首項是a1,公差是d,則sna114、通項公式的變形：斗 am nmd； a1 d；ana1an a)n1；ddanam15、若an是等差數列，且m n p

6、P、則amapal；若 an旦 TH差數列，且2n pp、q),則 2alap16、的前n項和的公式：Sn a1Snna)an17、等差數列的前n項和的性質：若項數為 2n nn斗不1 ,且S禺S nd,an.若項數為2n 1 nan 1S奇n 一，則 S2nl2n 1 an,且 S奇 G禺 an, (其中S禺 n 1na n , S偶n 1 an ) 18、如果一個數列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比.符號表示:an 1anq （注：等比數列中不會出現值為0的項；同號位上的值同號）注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：a

7、n an 1q(n 2,q為常數，且 0)anan1an1（n2,anan冏10）ancqn（Gq為非零常數）.正數列an成等比的充要條件是數列logxan（x1）成等比數列.G2則稱G為a與b的等比中項.（注：由G2 ab不能彳#出a, G,b成等比,G2ab)19、在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項.若20、21、通項公式的變形： ann amqanqan"；qa1am22、若an是等比數列，且mq（ m、),則anapaq ；若an數列，且 2 n p q （ n、p、),則2anap aq23、等比數列 an的前n項和的公式:Snna

8、q 1a1 1 qna.s!24、對任意的數列 an 的前n項和Sn與通項an的關系：anS1a1(n1)/注:sn Sn 1(n 2) L an a1 n 1 d nd a1d （ d可為零也可不為零一為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）一若d不為0,則是等差數列充分條件）.等差 an前n項和Sn An2 Bn-n2 a1 - n色可以為零也222可不為零一為等差的充要條件一若d為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件. 非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）25、幾種常見的數列的思想方法：等差數列的前n項和為Sn ,在d 0

9、時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an0, an1。，成立的n值；二是由Sn，n2（a1"2）n利用二若等比數列an的首項是a1，公比是q,則anaqn1o次函數圖像是條直線，則口9工-用分析：因為是等差數列，所以“也是關于n的一次函數，27、等差數列瓦中，町=25 ,前n項和為如，若的二見7 , n為何值時知最大?分析：等差數列前n項和工可以看成關于n的二次函數d 3 z d.S 可松 +再一 心匕=,d J +q d區與）是拋物線J=22上的離散點，根據題意，/=/（"）次函數的性質求n的值數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下:數列通

10、項公式對應函數等差數列"理二口1+（晁-l）d="用+（曰-d）y-dx+b（H黃口時為一次函數）等比數列n-1口1n卜花二總10二一V4尸一典（指數型函數）數列前n項和公式對應函數等差數列-1）,d<d、州二盟呵+24=2用+（叼_2M2v=也jt+6工（鼻*Q時為二次函數）等比數列一皿上=_衛4+8_1-（71一4y-aqx+b（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。26、等差數列U中，/二用器二甩，（想E同）則/他=（n,m）,（m,n）,（m+n,“如招

11、）三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即=o（圖像如上），這里利用等差數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。則因為欲求工最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為E最大。28、遞增數列"J對任意正整數n,%=用恒成立，求義10構造一次函數，由數列/遞增得到：即+1一%口。對于一切於后短恒成立，即2抖1+九>°恒成立，所以'>一加+D對一切依eM,恒成立，設/00=一（2并+1）,則只需求出/的最大值即可，顯然丁伊）有最大值,（D二-3,所以兄的取值范圍是：>-3o2構造二次函數，%二同工十助看成函數/二八汨，它的定

12、義域是工1"三產），因為是遞增數列，即函數了幻"/一”工為遞增函數，單調增區間為U'*0）,拋物線對稱軸2,因為函數f（x）月X=為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區間的位置。從對應圖像上看，對稱軸2在工=L5以3<的左側也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，£2,得用,一三如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前1 11n項和的推倒導萬法：錯位相減求和.例如：1,3,.（2n1）,2 42n兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是

13、兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.29.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：（1）定義法：對于n>2的任意自然數，驗證,an2anan1（）為同一常數（2）通項公式法。（3）中項公式法：驗證2an1anan2（an1anSn2）nN都an1成立。am0,，一一一30.在等差數列an中，有關S的取值問題：當a1>0,d<0時，滿足的項數m使得sm取最am10大值.（2）當a1<0,d>0時，滿足的項數m使得Sm取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。二、數列求和的常用方法1 .公式法：適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列

14、。c2 .裂項相消法：適用于其中an是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的anan1數列等。3 .錯位相減法：適用于anbn其中an是等差數列，bn是各項不為0的等比數列。4 .倒序相加法：類似于等差數列前n項和公式的推導方法.2)1+3+5+.+(2n-1)=5 .常用結論1):1+2+3+.+n=n(n"23) 13 2322 n(n 1)4)122231 n(n 1)(2n61)n(n 2)2 n6)pq(p q)c； a b, c 0ac bc, ab,c0 ac bc a b, c3、acabbd an,n 1 ； a b,n元二次不等式：只含有一個未知數

15、,并且未知數的最高次數是2的不等式.第三章不等式1、ab02、不等式的性質:4、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸5.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點分段法）求解不等式：a0Xn a1Xn 1 a2Xn 2an 0( 0)(a00)X的系數化“ +”；（為了統一方便解法：將不等式化為a0（X-X1）（X-X2）（X-Xm）0（0）形式，并將各因式（自右向次根穿而不過，奇次根一穿而過），經過數軸上表示各根的點（為什么？）；若不等式（X的系數化I求根，并將根按從小到大的在數軸上從左到右的表示出來；由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶,兀一次方程ax2bxc0a0的根后兩相異實根

16、xi,x2(xx2)后兩相等實根bxix22a無實根ax2bxc0(a0)的解集xxx1或xx2xbx2aRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2對于a<0的不等式可以先把a化為正后用上表來做即可。f(x)-f(x)f(x)-f(x)"一2.分式不等式的解法1)標準化：移項通分化為>0(或<0);>0(或&0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)(2)轉化為整式不等式(組)論)0g(x)f(x)g(x)0;-f-(x；0g(x)f(x)g(x)0g(x)03.含絕對值不等式的解法：基本形式：型如:|x|<a(a>0)的不等式的解集為

17、：x|axa型如|x|>a(a>0)的不等式的解集為x|xa,或xa變型|ax b| c(c 0)型的不等式的解集可以由x|caxbc解得。其中-c<ax+b<c等價于不等式組axbcaxbc在解-c<ax+b<c得注意a的符號。axbc(c0)型的不等式的解法可以由x|axbc,或axbc來解。對于含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式：用“零點分區間法”f(0)0若兩根有一根小于0根大于0,0,則有f(0)若兩根在兩實數m,n之間，即則有mf(m)f(n)b一n2a0若兩個根在三個實數之間，即f(m)0則有f(t)0f(n)0常由根的分布情況來求解出現在a、

18、b、c位置上的參數5、二兀次不等式：含有兩個未知數,并且未知數的次數是1的不等式.2a6、二兀次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組.7、二兀次不等式（組）的解集：滿足次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y的有序數對X,y構成的集合.8、在平面直角坐標系中，已知直線0,坐標平面內的點X0,y。若0,x0y0C0,則點X0,V。在直線0的上方.若0,x0y0C0,則點%，V。在直線0的下方.9、在平面直角坐標系中，已知直線0.（一）由B確定：若0,則xyC0表示直線0上方的區域;表示直線xyC0下方的區域.若0,則xyC0表不直線x0下方的區域；xyC0表示直線xyC0上方的區域.（

19、二）由A的符號來確定：先把x的系數A化為正后，看不等號方向：若是“>”號，則所表示的區域為直線l:xyC0的右邊部分。若是“”號，則xyC0所表示的區域為直線l:xyC0的左邊部分。（三）確定不等式組所表示區域的步驟：畫線：畫出不等式所對應的方程所表示的直線定測：由上面（一）（二）來確定求交：取出滿足各個不等式所表示的區域的公共部分。10、線性約束條件：由x,y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x,y的線性約束條件.目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x,y的解析式.線性目標函數：目標函數為x,y的一次解析式.線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行

20、解：滿足線性約束條件的解x, y .可行域：所有可行解組成的集合.最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解.11、設a、b是兩個正數，則ab稱為正數a、b的算術平均數，而稱為正數a、b的幾何平均數.2ab12、均值不等式定理：若a0,b0,則ab2而，即一Vab.222.2ab13、常用的基本不等式：ab2aba,bR；aba,bR；2.22.2.2,ababababa0,b0；a,bR.22214、極值定理：設x、y都為正數，則有：若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值2亍.若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2jp.第1講正弦定理和余弦定理知識梳理1.內角和定

21、理：在 ABC中，A B C；sin(A B) sin C ； cos(A B) cosccos-B sin C 221 ,.八2.面積公式6 ABe absin C2一 bcsin A 2一 casin B 23.正弦定理：在一個三角形中 ，各邊和它的所對角的正弦的比相等.公式為:asin Absin BcsinC4.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍2,2222222,2公式為：abc2bccosAbca2cacosBcab2abcosC,22222,22,22bcacababc變形為：cosA；cosB；cosC2bc2ca2ab重難

22、點突破1 .重點：熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，利用內角和定理實現三內角之間的轉換，解題時應注意四大定理的正用、逆用和變形用2 .難點：根據已知條件，確定邊角轉換.3 .重難點：通過正弦定理和余弦定理將已知條件中的角化為邊或邊化為角后，再實施三角變換的轉化過程以及解三角形中的分類討論問題.(1)已知兩邊和其中一對角，求另一邊的對角時要注意分類討論問題1：在ABC中，A、B的對邊分別是a、b,且A30o,a2J3,b4,那么滿足條件ABC()A、有一個解B、有兩個解C、無解D、不能確定問題2:已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB2,BC6,CDDA4,求四邊形ABCD的AB，ODC熱

23、點考點題型探析考點1：運用正、余弦定理求角或邊題型1.求三角形中的某些元素例1.已知：A、B、C是ABC的內角，a,b,c分別是其對邊長，向量m(6,cosA1),n(cos(A),1),mn.(i)求角A的大小；(n)若a2,2c3cosB,求b的長.3題型2判斷三角形形狀例2在ABC中，bcosAacosB,試判斷三角形的形狀考點2：三角形中的三角變換題型:利用正、余弦定理和三角函數的恒等變換，進行邊角互換，結合三角函數的圖象與性質進行化簡求值.例1.設ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A60o,c3b。求：（i）三的值；（1）ccotBcotC的值.考點3與三角形的面積相關

24、的題題型1:已知條件求面積53.例1：在ABC中，cosA一，cosB-.（I）求sinC的值；（n）設BC5,求ABC的面135積.題型2:已知面積求線段長或角5一433例2.在ABC中，cosB,cosC.求sinA的值；設ABC的面積SABC，求BC的1352長.第2講解三角形應用舉例知識梳理1 .已知兩角和一邊（如A,B,c）,由ABC求C,由正弦定理求a,b.2 .已知兩邊和夾角（如a,b,C）,應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用ABC,求另一角.3 .已知兩邊和其中一邊的對角（如a,b,A）,應用正弦定理求B,由ABC求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊，

25、要注意解可能有多種情況.4 .已知三邊a,b,c,應用余弦定理求A,B,C,再由ABC，求角C.5 .方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，偏西XX度6 .俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中OD,OE是視線，DOC是仰角，EOC是俯角.7 .關于三角形面積問題- SABC=1aha=1bhb=Ichc（ha、hb、hc分別表示ab、c上的高）；。卮222 SABC=1absinC=1bcsi

26、nA=1acsinB；SABC=2R2sinAsinBsinC（R為外接圓半徑）E222abc1 SABC=；SABC=qs（sa）（sb）（sc）,s（abc）；4R2Sabc=-s,（r為ABC內切圓的半徑）重難點突破1.重點：熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，結合幾何性質建模解決生活中的應用問題2難點：實際問題向數學問題轉化思路的確定3 .重難點：熟練掌握解斜三角形的方法.，熟悉實際問題向數學問題的轉化的方法；（1）解三角函數應用題要通過審題領會其中的數的本質，將問題中的邊角關系與三角形聯系起來，確定以什么樣的三角形為模型，需要哪些定理或邊角關系列出等量或不等量關系的解題思路，然后尋

27、求變量之間的關系，也即抽象出數學問題。問題1.如圖，為了計算北江岸邊兩景點B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個測量點，現測得ADCD,AD10km,AB14km,BDA60,BCD135,求兩景點B與C的距離（假設A,B,C,D在同一平面內，測量結果保留整數；參考數據：4 1.414,731,732,752.236）問題2.用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是和，已知B,D間的距離為a,測角儀的高度是b,求氣球的高度熱點考點題型探析考點1:測量問題題型:運用正、余弦定理解決測量問題例1.如圖4-4-12,甲船以每小時304

28、2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于Ai處時，乙船位于甲船的北偏西105o方向的Bi處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10J2海里，問乙船每小時航行多少海里?例2.如圖，某住宅小區白平面圖呈扇形AOC.小區的兩個出入口設置在點A及點C處，小區里有兩條筆直的小路AD,DC,且拐彎處的轉角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）.1200【新題導練】1.為了立一塊廣告

29、牌，要制造一個三角形的支架,三角形支架形狀如圖，要求ACB60°,BC的AC的長度越短越好，求 AC最短為長度大于1米，且AC比AB長0.5米一為了廣告牌穩固，要求多少米？且當AC最短時，BC長度為多少米？熱點考點題型探析考點1：測量問題題型:運用正、余弦定理解決測量問題例1（2007山東）如圖4-4-12,甲船以每小時30，2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達4處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10J2海里，問乙

30、船每小時航行多少海里？【新題導練】1 .甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60°方向行駛，問經過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？2 .在奧運會壘球比賽前，C國教練布置戰術時，要求擊球手以與連結本壘及游擊手的直線成15。的方向把球擊出，根據經驗及測速儀的顯示，通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣的布置，游擊手能不能接著球？（如圖所示）于，-打“親與w例2（08上海高考）如圖，某住宅小區的平面圖呈扇形AOC.小區的兩個出入口設置在點A及點C處,小區里有兩條筆直的小路AD,DC

31、,且拐彎處的轉角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘,從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）.【新題導練】1.如圖，貨輪在海上以35公里/小時的速度沿方位角（從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角）為152°的方向航行.為了確定船位，在B點處觀測到燈塔A的方位角為122°.半小時后，貨輪到達C點處，觀測到燈塔A的方位角為32°.求此時貨輪與燈塔之間的距離.CBC長度為多少米?ACBDArhR才能使桌子h=某市電力部門在今年的抗雪救災的某項重建工程中A3問施工單位至少應該準備多長的電線?

32、ABD 05.( 15年韶關市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區內的時間為C. 1.5小時r的平方成反比D . 2小時AC最:C的平分線CD把三角形面積分成 3: 2兩部分4A測得山頂上一建筑物頂端 C對于山坡的斜度為 151.臺風中心從 A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的A -33.如圖山頂前進100m后，又從點B測得斜度為45 ，假設建筑物高 50m,設山對于地平面的斜度B. 1小時A: B 1:2,C 3ADB 45o高壓電線，因地理條件限制，不能直接測量 A、B兩地距離.現測量人員在相距 J3 km的C、D兩地75 /45C 一地區為危險區，A. 0

33、.5小時2.在ABC中 cosA (1cos =.4.如右圖，在半徑為 R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子1B -2在斜度一定的山坡上的一點C/30 kmsinI= k 2 r測得/ ACB 75°, BCD 45°, ADC 30o40 kmB2.(汕頭市金山中學 2015屆高三數學期中考試) 為了立一塊廣告牌， 要制造一個三角形的支架, 三角形 支架形狀如圖，要求ACB 600 , BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米為了廣告牌穩固，6 .在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P,上午11時，測得一輪船在島北30。東,俯

34、角為30°的B處，至IJ11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。（1）求船的航行速度是每小時多少千米；（2）又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？7 .在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD：AB的值8 .在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15。角，速度為2.5km/h,同時岸邊有一人，從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為

35、2km/h.問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少?第3講等差數列知識梳理1 .等差數列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數d,這個數列叫做等差數列，常數d稱為等差數列的公差.2 .通項公式與前n項和公式通項公式ana1（n1）d,a1為首項，d為公差.前n項和公式Snn（1一an）或Snnai1n（n1）d.223 .等差中項如果a,A,b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項.即：A是a與b的等差中項2Aaba,A,b成等差數列.4 .等差數列的判定方法定義法：an1and（nN,d是常數）an是等差數列；中項法：2an1anan2

36、（nN）an是等差數列.通項公式法：anknb（k,b是常數）an是等差數列;2_前n項和公式法：SnAnBn（A,B是常數，A0）an是等差數列5.等差數列的常用性質數列an是等差數列，則數列anp、pan（p是常數）都是等差數列；在等差數列an中，等距離取出若干項也構成一個等差數列，即an,ank,an2k,an3k,為等差數列，公差為kd.2anam（nm）d；ananb（a,b是常數）；Snanbn（a,b是吊數，a0）若mnpq（m,n,p,qN）,則amanapaq；S若等差數列an的前n項和Sn,則是等差數列；當項數為2n（nN）,則nan,S禺Swnd,包吐；當項數為2n1（n

37、N）,則S奇S偶SWan重難點突破1.重點：理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式、前n項和公式并能解決實際問題；理解等差中項的概念，掌握等差數列的性質.2難點：利用等差數列的性質解決實際問題.3.重難點：正確理解等差數列的概念，靈活運用等差數列的性質解題求等差數列的公差、求項、求值、求和、求Sn最值等通常運用等差數列的有關公式及其性質問題1：已知mn,且m,a1,a2,a3,n和m,bhb2,b3,b4,n都是等差數列，則a3一a1b3b2412問題2：已知函數f(x)T.則f(ff(-)243312f()f()20092009誓2009熱點考點題型探析考點1等差數列的通項與前n項和題型

38、1已知等差數列的某些項，求某項【例1】已知an為等差數列，a158,a6020,則a75題型2已知前n項和Sn及其某項，求項數【例2】已知Sn為等差數列an的前n項和，a49,a96,Sn63,求n；若一個等差數列的前4項和為36,后4項和為124,且所有項的和為780,求這個數列的項數2【例3】已知Sn為等差數列an的前n項和，Sn12nn.ala2a3；求a1a2a3a10；求a1a2a3an【新題導練】1 .已知an為等差數列，amp,anq（m,n,k互不相等），求ak.2 .已知Sn為等差數列an的前n項和，a11,a47,Sn100,則n3 .已知5個數成等差數列，它們的和為5,平

39、方和為165,求這5個數.4 .已知Sn為等差數列an的前n項和，S10100,Sio010,求S110.考點2證明數列是等差數列【例4】已知Sn為等差數列an的前n項和，bn殳(nN).求證：數列bn是等差數列n【新題導練】5設Sn為數列an的前n項和，Snpnan(nN),aia2.求常數p的值；求證：數列an是等差數列.考點3等差數列的性質【例5】已知Sn為等差數列an的前n項和，a6100,則Sii;知Sn為等差數列an的前n項和，Snm,Smn(nm),則Smn【新題導練】6.含2n1個項的等差數列其奇數項的和與偶數項的和之比為()2n1-n1A.B.-nnC.UnD.U2n考點4等

40、差數列與其它知識的綜合【例6】已知Sn為數列an的前n項和,Sn1211一一，一，-n2n;數列bn滿足：b311,bn22bn122其前9項和為153.求數列anbn的通項公式；設Tn為數列Cn的前n項和，Cn(2an11)(2bn1),求使不等式Tnk對nN都成立的最大正整數k的值.57【新題導練】2an(n 2).求數列an的通項公式；數列an8.已知Sn為數列an的前n項和，a13,SnSn1ak 1對任意不小于k的正整數都成立？若存在， 求最小的正整數k ,中是否存在正整數k,使得不等式ak若不存在，說明理由.搶分頻道1.（2014廣雅中學）設數列an基礎鞏固訓練是等差數列，且a28

41、,如5,Sn是數列an的前n項和，則（）A.S10§1B.S10S11C.S9S10D.S9S102.在等差數列an中，a5120,則a2a4a6a83數列an中，an2n49,當數列an的前n項和Sn取得最小值時,4.已知等差數列an共有10項，其奇數項之和為10,偶數項之和為30,則其公差是5.設數列4中，a12,an1ann1,則通項an6.從正整數數列1,2,3,4,5,中刪去所有的平方數，得到一個新數列，則這個新數列的第1964項是7.（2013廣雅中學）已知等差數列an中，a220,a1a928.求數列an的通項公式;若數列bn滿足anlog2bn,設TnbbLbn,且T

42、n1,求n的值.8.已知Sn為等差數列an的前n項和,a125,a416.當n為何值時，Sn取得最大值;求a?a4a6a8a2。的值;求數列an的前n項和Tn.9.（2015執信中學）已知數列an滿足ai*.一1a3,an23an12an(nN).證明：數列an1an是等比數列；求數列 an的通項公式；若數列bn滿足4b114b214bn1(an1)bn(nN*),證明bn是等差數列.,2、，一、10.(2008北東)數列an滿足ai1,ani(nn)an(n1,2,),是常數.當a21時，求及a3的值；數列an是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；求的取值范圍，使

43、得存在正整數m,當nm時總有an0.第4講等比數列知識梳理q(q 0),這個數列叫做等比數1等比數列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數列，常數q稱為等比數列的公正2 .通項公式與前n項和公式通項公式：anaqn1,a1為首項，q為公比前n項和公式：當q 1時，Sn na1當q 1時，g電g國.1 q 1 q3 .等比中項如果a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等差中項a,A,2b成等差數列G2ab.4.等比數列的判定方法定義法:2中項法：an 1 an an 2(nan 1q (n N , q 0是常數)NN an0 an是等比數列a

44、n是等比數列;5.等比數列的常用性質數列an是等比數列，則數列pan、pan(q0是常數)都是等比數列;等比數列an中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an,ank,an2k,an3k,為等比數列,公比為qk.anamqnm(n,mN)mnpq(m,n,p,qN),則amanapaq；等比數列an的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比數列.等比數列的判定方法：a一一定義法：q(nN,q0是常數)an是等比數列；an2中項法：an1anan2(nN)且2口0an是等比數列.重難點突破1 .重點：理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式、前n項和公式并能解決實

45、際問題；理解等比中項的概念，掌握等比數列的性質.2 .難點：禾1J用等比數列的性質解決實際問題.3 .重難點：正確理解等比數列的概念，靈活運用等比數列的性質解題求等比數列的公比、求值、判定等比數列等通常運用等比數列的概念、公式及其性質問題1：已知等比數列an的前n項和Snpn1(p是非零常數，則數列an是()A.等差數列B.等比數列C.等差數列或等比數列D.非等差數列問題2：若實數數列1,a1,a2,a3,4是等比數列，則a?.熱點考點題型探析考點1等比數列的通項與前n項和題型1已知等比數列的某些項，求某項【例1】已知an為等比數列，a22,a6162,則a1。【例2】已知Sn為等比數列an前

46、n項和，Sn93,an48,公比q2,則項數n.已知四個實數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，首末兩數之和為37,中間兩數之和為36,求這四個數.題型3求等比數列前n項和【例3】等比數列1,2,4,8,中從第5項到第10項的和.【例4】已知Sn為等比數列an前n項和，an1332333n1,求Sn【例5】已知Sn為等比數列an前n項和，an(2n1)3n，求Sn.【新題導練】1 .已知an為等比數列，a1a2a33,a6a7a86,求a11a12a13的值.2 .如果將20,50,100依次加上同一個常數后組成一個等比數列，則這個等比數列的公比為.3 .已知Sn為等比數列an的前n項和

47、，a23,a6243,Sn364,則n;4 .已知等比數列an中，a21,則其前3項的和&的取值范圍是.5 .已知Sn為等比數列an前n項和，an0,Sn80,S2n6560,前n項中的數值最大的項為54,求S100.考點2證明數列是等比數列2 .n.【例6】已知數列an和bn滿足：a1,an1-ann4,bn(1)(an3n21),其中為3實數，nN.對任意實數，證明數列an不是等比數列；試判斷數列bn是否為等比數列，并證明你白結論.【新題導練】26.已知數列an的首項a1- , an 132a1一n-,n1,2,3，.證明：數列一1是等比數列;an1an考點3等比數列的性質【例7】

48、已知Sn為等比數列an前n項和，Sn54 , S2n 60 ,則 S3n【新題導練】7.已知等比數列an中，an0,(2a4a2a6)a436,貝Ua3a5n 1b 1 Sn證明：當b 2時，an n 2 是考點4等比數列與其它知識的綜合【例8】設Sn為數列an的前n項和，已知ban2n等比數列；求an的通項公式【新題導練】nn8設Sn為數列an的前n項和，aia,an1Sn3,nN.設bnSn3,求數列bn的通項公式；若an1an（nN）,求a的取值范圍.搶分頻道拔高鞏固訓練1.設an是公比為正數的等比數列，若ai1,a516,則數列an前7項的和為（）A. 63B. 642 .設等比數列

49、an的公比q 2 ,A. 2B. 43 .已知等比數列an滿足a1 a2A. 64B. 81C.127前n項和為Sn ,C.” 23, a? a3 6,C.128D. 128S4 則(a2則a7c 17 D.2()D. 2434.已知等比數列an的前三項依次為a1,a1,a4,則anA. 4B. 4C. 4D. 45.已知an是等比數列,a22, a5 一,則 a1a2a2a34anan 1=()A. 16(1 4 n)B. 16(1 2 n) C(1 4 n) D.(1 2 n) 336.（2014廣雅中學）在等比數列中，已知a9aoa(a°) , a19a20b ,貝U a99a

50、100 an前20項的和S20 .7.（2015執信中學）等差數列an中，a410且a3,a6,ao成笠比數列，求數列1.8.（2009金山中學）已知數列an的前n項和為Sn,Sn-（an1）nN；求a1，a2的值;3證明數列an是等比數列，并求Sn.、.一，、一一一一.2,，.n,一9.(2014湖北)已知數列an和bn滿足：a1,an1-ann4,bn(1)(an3n21),3其中為實數，nN.對任意實數，證明數列an不是等比數列；證明：當18,數列bn是等比數列；設Sn為數列bn的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n,都有Sn12?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.第4講數列的通項的求法知識梳理1.數列通項的常用方法：利用觀察法求數列的通項.，、丁S(n1)利用公式法求數列的通項：an;an等差、等比數列an公式.&Sm(n2)應用迭加(迭乘、迭代)法求數列的通項：an1anf(n);an1anf(n).