1、2 3 總體特征數的估計2 3.1 平均數及其估計1.了解樣本平均數的意義和作用2.理解用樣本平均數估計總體平均數的思想3掌握樣本平均數的求法1.平均數、， 一1 1n般地，如果有 n 個數 Xi, X2,，Xn,那么 X = _(X1+ X2+ Xn) = - Xi叫做這 n 個i=1數的平均數或均值，記作 設一組實驗數據的“最理想”近似值 x,它與 n 個實驗數據 Xi, X2, X3，Xn的離差分別為 X Xi, X X2, X X3,，X Xn.當 X 取 X 時，離差的平方和(X-X1)2+( X X2)2+.+( X Xn)2最小.2. 平均數的運算性質(1)若給定一組數據 X1,

2、 X2,，Xn的平均數為 X，則數據 aX1, ax2,，axn的平均 數為 a.(2)若給定一組數據 X1, X2，Xn的平均數為-，則數據 ax1+ b, aX2+ b,，axn+ b 的平均數為 a+ b.3. 加權平均數一般地，若取值為 X1, X2,，Xn的頻率分別為 P1, P2,，pn，則其平均數為 X = X1p1n+ X2p2+ Xnpn=Xipi.i=11.某人 5 次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為 8, 12 , 10, 11, 9，估計此人每 次上班途中平均花費的時間為（）A . 9 分鐘B. 10 分鐘C. 11 分鐘D. 12 分鐘解析：選 B.依題意，估計

3、此人每次上班途中平均花費的時間為8 + 12+ 10+ 11+ 95=10分鐘.2.已知一組數據為 20, 30, 40, 50, 50, 60, 70, 80.其中平均數、中位數和眾數的大小關系是解析：平均數、中位數、眾數皆為50.答案：眾數=中位數=平均數3.期中考試以后，班長算出了全班 40 個人數學成績的平均分為M,如果把 M 當成一個同學的分數，與原來的40 個分數一起，算出這 41 個分數的平均值為 N,那么 M : N 為解析：40M + MN =41= M，所以 M : N = 1.答案： 1平均數的計算某班 45 名同學的年齡 （單位：歲）如下：14 15 14 16 15

4、17 16 15 16 16 15 15171314151616151415151415161716151515161513161515171415161615141515求全班的平均年齡.【解】 法一：利用平均數的公式計算.1x = 45(14 + 15+ + 15)1=丄乂 684= 15.2(歲). 45法二：利用加權平均數的公式計算.=45（13X2+14X7+15X20+16X12+17X4）1=丄乂 684= 15.2（歲）.45法三：如果將已知各數都減去 a,計算出所得各數的平均數 X,則已知各數的平均數 x=x，+ a, 即取 a= 15,將已知各數減去15, 得10 1 10

5、2 10 11 0022 10 11 0 100 1 01 2100 01 02 1 002 1 01 101 0 0 1 1x= 45（ 1+ 0+ 0） = 45X9 = 0.2（歲）.=+ a = 0.2 + 15= 15.2（歲）.即全班的平均年齡是15.2 歲.方搭歸納平均數的計算方法X1+ X2+ X3+ + Xnn(1)定義法：已知 X1, X2, X3,，xn為某樣本的n 個數據，則這n 個數據的平均數為:(2)加減常數法數據 X1, X2,，Xn都比較大或比較小，且X1, X2, ，Xn在固定常數附近波動,X1+ X2+ + Xna 為接近x的常數，則X1a,X2a,，Xna

6、 的平均數為x土a.加權平均數：樣本中，數據xi有 mi個，X2有 m2個，xk有 mk個，則x=mixi+ m2X2+ + mkxkmi+ m2+ + mk1.xi, X2,，xio的平均數為 a, xii,X12,，X50的平均數為 b,貝 U xi, x2,，X50的平均數是 _ .解析：由題意知前 10 個數的總和為 10a,后 40 個數的總和為 40b,又總個數為 50,所以Xi，X2,X50的平均數為10a+ 40b50a + 4b5答案:a + 4b5眾數、中位數、平均數的應用某小區廣場上有甲、乙兩群市民正在 進行晨練，兩群市民的年齡如下（單位：歲）：甲群：13，13，14，1

7、5，15，15，15，16，17, 17；乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.（1）甲群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？（2）乙群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？【解】（1）甲群市民年齡的平均數為13+ 13+ 14+ 15+ 15+ 15+ 15 + 16+ 17+ 1710=15（歲），中位數為 15 歲，眾數為 15 歲.平均數、中位數和眾數相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.（2）乙群市民年齡的平均數為54 + 3+ 4+ 4 + 5+ 6+ 6+

8、6 + 6+ 56 石=15（歲），中位數為 6 歲，眾數為 6 歲.由于乙群市民大多數是兒童，所以中位數和眾數能較好地反映乙群市民的年齡特征，平均數的可靠性較差.同囲園回理解并掌握平均數、 眾數和中位數的概念，平均數、眾數和中位數可能相同，也可能不同注意某幾個數據的平均數就是這些數的算術平均數,在實際問題中，計算時應按照實際要求進行計算.2.下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表:老板大廚二廚采購員雜工服務生會計3 000 元450 元350 元400 元320 元320 元410 元(1)計算所有人員的周平均收入；(2) 這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(3) 去掉

9、老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？解：周平均收入x1= 1(3 000 + 450 + 350+ 400 + 320 + 320 + 410) = 750(元)(2) 這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產生了較大的影響，并且他不是打工人員.(3) 去掉老板的收入后的周平均收入x2= 1(450 + 350 + 400+ 320 + 320 + 410) = 375(元),這能代表打工人員的周收入水平.樣本平頻率分布與數字特征的綜合應用從高三抽出 50 名學生參加數學競賽，由

10、成績得到如下的頻率分布直方圖由于一些數據丟失，試利用頻率分布直方圖求：這 50 名學生成績的眾數與中位數；這 50 名學生的平均成績.【解】(1)由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數應為75.由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等.因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標所對應的成績即為所求.因為 0.004X10+ 0.006X10+ 0.02X10=0.04+ 0.06 + 0.2= 0.3

11、,所以前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03X10= 0.3,0.3 + 0.3 0.5,所以中位數應約位于第四個小矩形內.設其底邊為 x,高為 0.03,所以令 0.03x= 0.2,得 x 6.7,故中位數應約為 70 + 6.7= 76.7.樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，即每個小矩形底邊的中點的橫坐標乘以每個小矩形的面積求和即可.所以平均成績為45X(0.004X10)+ 55X(0.006X10) + 65X(0.02X10)+ 75X(0.03X10)+85X(0.024X10)+95X(0.016X10)=76.2.眾數、中位數、平

12、均數與頻率分布表、頻率分布直方圖的關系(1) 眾數：眾數一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來顯示，即在樣本數據 的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標.(2) 中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.(3) 平均數：平均數在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.注意因為頻率分布直方圖不能體現樣本數據，因此由頻率分布直方圖得到的中位數不一定在樣本數據中出現.3.下面是 60 名男生每分鐘脈搏跳動的次數：72 70 66 74 81 70 74 53 57 62 58 9272 67 62 91 73 64 65 80 78 67 75 8083 6

13、1 72 72 69 70 76 74 65 84 79 8076 72 68 65 82 79 71 86 77 69 72 5670 62 76 56 86 63 73 70 75 73 89 64(1) 作出上述數據的頻率分布直方圖；(2)根據直方圖的各組中值估計總體平均數，并將所得結果與實際的總體平均數相比較 計算誤差.解：(1)最大值與最小值的差為92- 53= 39,取組距為 6由于39=氐 所以分 7 組，分組如下：51.5 , 57.5), 57.5 , 63.5), 63.5 , 69.5), 69.5, 75.5), 75.5 , 81.5), 81.5 , 87.5),

14、87.5 ,93.5.列表:分組頻數頻率頻率/組距51.5, 57.5)40.0670.01157.5, 63.5)60.10.01763.5, 69.5)110.1830.03169.5, 75.5)200.3330.05675.5, 81.5)110.1830.03181.5, 87.5)50.0830.01487.5, 93.530.050.008頻率分布直方圖如圖所示:(2)由直方圖的各組中值估計平均數為：(54.5X4+60.5X6+66.5X11+72.5X20+78.5X11+84.5X5+90.5X3) -60=72,實際的總體平均數約為71.97,誤差約為 72 71.97=

15、 0.03.1平均數受樣本中的每一個數據的影響， “越離群”的數據， 對平均數的影響也越大 與 眾數和中位數相比， 平均數代表了數據更多的信息 當樣本數據質量比較差時， 使用平均數 描述數據的中心位置可能與實際情況產生較大的誤差 可以利用計算機模擬樣本， 向學生展 示錯誤數據對樣本平均數的影響程度在體育、文藝等各種比賽的評分中，使用的是平均 數計分過程中采用“去掉一個最高分， 去掉一個最低分”的方法， 就是為了防止個別裁判 的人為因素而給出過高或過低的分數對選手的得分造成較大的影響， 從而降低誤差， 盡量保 證公平性2如果樣本平均數大于樣本中位數，說明數據中存在許多較大的極端值；反之，說明 數

16、據中存在許多較小的極端值 在實際應用中， 如果同時知道樣本中位數和樣本平均數， 可 以使我們了解樣本數據中極端數據的信息，幫助我們作出決策某校在一次學生身體素質調查中，在甲、乙兩班中隨機抽 10 名男生檢測 100 m 短跑，測得成績如下（單位：s）:甲15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5乙15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2求甲、乙兩班 10 名同學的平均成績，試估計甲、乙兩班男生的短跑水平.【解】兩組數據均在 14.5 附近波動，均減 14.5 后得兩組新數據：0. 6 0.3 0.4 0.1 0.80

17、.3 0.4 0.2 0.700. 5 0.5 0.3 0 1.6 0.7 0.30.4 0.6 0.7則第一組新數據的平均數為：0.6 + 0.3 0.4 + 0.1 + 0.8 + 0.3 + 0.4+ 0.2 + 0.7 + 0=0.3.第二組新數據的平均數為：0.5 + 0.5 0.3 + 0 + 1.6 + 0.7+ 0.3 + 0.4 + 0.6 + 0.7=0.5.所以 x甲=14.5+ 0.3 = 14.8(s),x乙=14.5 + 0.5= 15.0(s).由此可估計甲班男生的短跑水平可能更高一些.10A1B2(1)平均數在一定程度上能顯示數據的集中趨勢，故可以由平均數估計總

18、體的規律特征(2)平均數與每一個樣本數據有關，這是平均數的特點1對于數據 3，3， 2，3，6，3， 10，3， 6，3，2，有下列結論：1這組數據的眾數是 3；2這組數據的眾數與中位數的數值不相等；3這組數據的中位數與平均數的數值相等；4這組數據的平均數與眾數的數值相等其中正確的結論的個數為 ( )C. 3D. 42X2+3X6+6X2+10 x = 4.故只有正確.2數 a, b, c 的平均數是3.數據 3, 4, X1, X2的平均數為 9，貝 U X1+ X2=3 + 4+ X1+ X2解析：4= 9,解得 X1+ X2= 29.答案：294._一組觀察值 3, 4, 6 出現的次數

19、分別為 4, 3, 2,則樣本平均值是 _=4.答案：4A 基礎達標1.在一次知識競賽中，抽取 20 名選手，成績分布如下:成績678910人數分布12467則選手的平均成績是（）解析：選 A.在這 11 個數中，數 3 出現了6 次，頻率最高，故眾數是3;將這 11 個數按從小到大順序排列得2，2，3，3，3，3，3，3， 6， 6，10，中而平均數答案:a + b+ c3解析：由已知得樣本數據為3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6 , 6 ,故平均值為3X4+4X3+6X29A. 8B. 8.82.數據 1 ,2,3,X1,X2,X3的平均數是 8,那么 X1,X2,X3的平均數是

20、（）A. 8B. 10C. 12D. 143.某鞋店試銷一種新女鞋，銷售情況如下表:鞋號3435363738394041數量/雙259169532如果你是鞋店經理，最關心的是哪種鞋號的鞋銷量最大，那么下列統計量中對你來說最重要的是（）A .平均數C.中位數解析：選 B.鞋店經理最關心的是哪種鞋號的鞋銷量最大，即數據的眾數.由表可知,鞋號為 37 的鞋銷量最大，共銷售了16 雙，所以這組數據的眾數為37.4.某幾架飛機的最大飛行速度分別是（單位：米/秒）:422423410431 418417425428413441則這些飛機的平均最大飛行速度為（精確到 1 米/秒）（）A. 420B. 423

21、解析：1X6+2X7+4X8+6X9+7X10選 B. X 20 8.8.C. 9D. 9.8解析：選 D.由題意1+2+3+：+ X2+X3= 8,6X1+ X2+ X3所以 X1+ X2+ X3= 42, 所以=14.B.眾數D.方差A. 8B. 8.8C. 426D. 429解析：選 B.觀察這 10 個數據，它們都在 420 左右波動，將它們同時減去420 得一組新數據：23 1011 2 3 58 721求得新數據的平均數約為3，所以這些飛機的平均最大飛行速度約為：420 + 3= 423（米/秒）.5.在一次京劇表演比賽中，11 位評委現場給每一個演員評分，并將的平均數作為該演員的

22、實際得分.對于某個演員的表演，4 位評委給他評11 位評委的評分10 分，7 位評委給他評 9 分,那么這個演員的實際得分是分.(精確到小數點后兩位)4X10+7X9解析：實際得分為117.36(分).答案：9.366 為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了 20 位工人某天生產該產品的數量得到頻率分布直方圖如圖，則(1) 這 20 名工人中一天生產該產品數量在 55, 75)的人數是 _ 這 20 名工人中一天生產該產品數量的中位數為 _ 這 20 名工人中一天生產該產品數量的平均數為 _ 解析：(1)(0.040X10 + 0.025X10)X20= 13.(2) 設中位數為 X,

23、則 0.2+ (x- 55)X0.04= 0.5, x = 62.5.(3) 0.2X50+0.4X60+0.25X70+0.1X80+0.05X90=64.答案：(1)13(2)62.5(3)647為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30 名學生參加環保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設得分值的中位數為me,眾數為 mo,平均值為 x,則 me, mo, x的大小關系是_5+ 6解析：30 個數中第 15 個數是 5,第 16 個數是 6,所以中位數 me= = 5.5，眾數 mo為 5,平均數x=3X2+4X3+5X10+6X6+7X3+8X2+9X2+10X230_ 179

24、=30，所以 mome x .答案： mme x&從一批機器零件毛坯中取出20 件，稱得它們的質量如下（單位：千克）:210208 220205202218206214215207195207 218192202216185227187215求這 20 件零件的平均質量（精確到 1 千克）.解：各數據同時減 200,得到新數據：10, 8, 20, 5, 2, 18, 6, 14, 15, 7, 5, 7, 18, 8, 2, 16, 15, 27, 13,15,經計算新數據的平均數為 7.45 ,所以原數據的平均數為200 + 7.45= 207.45 207（千克）.即這 20 件

25、零件的平均質量為 207 千克.9高一年級甲、乙兩班各 50 名同學，在一次數學測驗中， 成績分組及各組的頻數如下：40, 50），2，3 ； 50, 60）, 3，5 ； 60, 70），10，11； 70，80）, 15，12； 80, 90），12， 10； 90，100, 8, 9（第一個頻數為甲班，第二個頻數為乙班）.根據以上數據估計各班的平均成績并加以比較.解：甲班的平均成績為50（45X2+55X3+65X10+75X15+85X12+95X8）=76.2（分）,乙班的平均成績為50（45X3+55X5+65X11+75X12+85X10+95X9）=74.6（分）,由于甲班的平

26、均成績高于乙班的平均成績，所以甲班的成績好一些.B 能力提升1在總體中抽取了一個樣本，為了便于統計，將樣本中的每個數據乘以100 后進行分析，得出新樣本的平均數為3，則估計總體的平均數為 _ .解析：一組數據乘以 100 后得到的新的平均數3 應是原平均數的 100 倍，所以原來樣本平均數為 0.03，因此估計總體平均數為0.03.答案：0.032.樣本（X1, X2,，Xn）的平均數為X,樣本（y1, y2,，ym）的平均數為y（x My）.若1樣本（X1,X2,，Xn,y1, y2,，ym）的平均數 z =ax + （1xa）y，其中0vaV2則 n,m 的大小關系為_ .X1+ X2+ + Xn解析：X =n，一 y1+ y2+ + ymy= m ，一 X1+ X2+ + Xn+ y1+ y2+ + ymz =,m+ nn m X+ y . m+n m + nn 1nvm.的工資額與大多數人的工資額差