1、3.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式L考綱解讀1,用胖同角三如瞞數(shù)的尊本盂慕式:*恤旨丹曲3=|、器=抽1昭 并能烈練曲川同勿三和闍數(shù)戔痕迥行工能利用單位岡叩的三和函加珈制煜址吐啲正眩、余眩.正切的誘導(dǎo)公式.理解 6 癥他不考綱dLFSC求變一符號(hào)希象1紂的存丈.片能和用誘導(dǎo)公式進(jìn)行比簡(jiǎn)一探從近三仲高粉況來(lái)肯.本講內(nèi)容花高垮中一融不單獨(dú)命題電它是三角確ft的基Btt.關(guān)考向預(yù)測(cè)年高號(hào)將以涌錚公式為圻朗內(nèi)棄.站合同陽(yáng)三巾碉數(shù)誥條式及三介恒鄒啞換進(jìn)行號(hào)卉.誠(chéng)題且卷觀題r力主*菲度丿卜、直有一宦前技巧性.JE基礎(chǔ)知識(shí)適關(guān)知識(shí)梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：Sin2a+ COS?a=

2、1.sinancosa=tana a豐7+kn，2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(2)商數(shù)關(guān)系:2一三四五八2左JT+U7TTT角兀+aaJia* LK a22正弦Sina sinasinaSinerCOSaeosa余弦cosaco saco sacosasinasina正切tanatanalanalay3故tana= 3.故選 B.口訣函數(shù)名不變*符號(hào)看象限函數(shù)名改變.符號(hào)看象限診斷自測(cè)1 概念思辨若 sin(a , 3 ,使 sin1+sin3 =1.()37 ) = 3,貝ycos(a+ 53 ) = 3.()若 sin(kna) = 1(k Z)，貝ysina= 3.()(4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中

3、“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指nn的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化；其中的“符號(hào)”答案(1)V(2)V(3)XV2.教材衍化a的大小無(wú)關(guān).(1)(必修 A4P29B 組 T2)已知 cos jn+a=3，且ak2J5tanaA.44B. 4 C - 4 D 答案 B解析因?yàn)?cos=5,所以 sina= |.顯然55a在第三象限，所以 cos45,(2)(必修 A4PiT0設(shè)函數(shù)f(x)=1 + sinx1 sinx1sin x且f(1 + sinx為第二3象限角，則 tana的值(111AB;C.- D .2234答案 B解析T函數(shù)f(X)=1 + sinx，-1 s

4、inx、/需 I，且f(a)=1,a為第二象限角1+sina1sina1sina1+sina1=2tana =1，tana =故選 B.1+sinacosa3 小題熱身(1)(2018 石家莊一模)已知f(a)=sinn a coscos1 1A2B- 22 tan二 D2 225n7tC.答案 ASinaCOsa)=cosa ,cosa tana25n=cos25n31sinacosa=cos 8n+3 = cosn= 2.故選 A.7t(2017 桂林模擬)若 sin1 小n43,則cos7+a7171解析 COS +a= COS sin=sina養(yǎng)=-3.題型 1 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)

5、用1+sina1sinaCOSaCOSaE經(jīng)典題型1*關(guān)|多角探究典例 (2017 杭州模擬)已知一/x0, sinx+ cosx=十(1)求 sinx cosx的值；求 tan x ；1求 cos2x-Sin2x的值ICW法點(diǎn)撥】I本題可采用方程組法、平方法、“1”的巧用，切弦51(1)Tsinx+ cosx=-,52 2 2 (sinx cosx) = sinx 2sinxcosx+ cosxn又Tx0，-sinx0,/ sinx cosx0.由可知 sinx cosx= 7.5由已知條件及(1)可知1sinx+ cosx= ,5sinx cosx= 7r .3sinx= 5,解得4cos

6、x= 5,由可得12: T=cosx sinxcosx+ sinxcosx sinx125=1 =亍X55125二2才=.cosx sinx7結(jié)論探究 1在本典例條件下，求 sinx2cosx的值.4sinx+ cosx解 sinx-2沖=旦 J4sinx+ cosx4tanx+ 1結(jié)論探究 2在本典例條件下，求sin2x+ sinxcosx的值.方法技巧同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法22sina1 .利用 sina+ cosa= 1 可實(shí)現(xiàn)a的正弦、余弦的互化，利用=tana可以互化.1+2sin xCOsx= 25,2sinxcosx=2425.-tanx=34.=1 2sin,24 49

7、_1+25=25.324113 + 1 = 8.2 ,.2sinx+ sinxcosxsinx+ sinxcosx=:22sinx+ cosx, 2 ,tanx+ tanx2tanx+ 19 31649+ 125.(sinx+ cosx)2=6實(shí)cosa7現(xiàn)角a的弦切互化.見(jiàn)典例（1）.2由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論.3. sina, COSa的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sina, COSa的齊次式，2 2或含有 Sina, COSa及 S

8、inaCOSa的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，禾 U用“sin2a+ COS2a= 1”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解見(jiàn)結(jié)論探究2.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1.第 24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的如右圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為 1，大正方形的面積為 25,直角三角形中較大的銳角為0，那么 tan i0+寸=答案7解析依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是5,1 ,于是有 5sin05COS0 1 000, COSa0,所以COSa1|COSa|COSa9. cosx0,即卩 sinx cosx0,sin1a|

9、sin-=1 + 1 = 0，即原式等于 0.題型角度誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用化簡(jiǎn)與求值多角探究典例（2017 東平月考） （1） 化簡(jiǎn):2cos0 + nsin0 +3n“-3cos n 0tan0 +4ntann + 0求值：小2sin10c。匹cos101cos 170【方法點(diǎn)祓】（1）切化弦、轉(zhuǎn)化法.（2）配方法，根式化簡(jiǎn).2解(1)cos0+nsin0+ 芋冗_(dá)vtan (0 +4njan(n + 0pos( n 02=(cos0sin0=1tan0tan0( cos30)J12sin10cos10 ._2cos101cos 170寸(cos10sin10j cos10s

10、in10=1=：=cos10sin 10=.cos10sin10角度 2 sina+ cosa、sinacosa、sina cosa三者之間的關(guān)系問(wèn)題典例（2018 葫蘆島模擬1)(1) 已知 sinx cosx=-，求 sin4x+ cos4x的值;已知 sinx+ cosx= 2(0 xn)，求 cosx 2sinx的值. 13【方法點(diǎn)撥】I轉(zhuǎn)化法、平方法.1解(1)將 sinx cosx= 3,兩邊平方得:3(sinxcosx)2=112sinxcosx=9,4 sinxcosx= 9,4422、2貝 U sinx+ cosx= (sinx+ cosx) 2sin2 2xcosx2249

11、=12sin xcosx=81Xn),(2) / sinx+cosx=10sinx+ cosx 池方法技巧化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解策略2 21.知弦求弦問(wèn)題， 利用誘導(dǎo)公式及同角的平方關(guān)系sina+ cosa= 1 求解.sina2.知切求弦問(wèn)題，利用同角的商數(shù)關(guān)系=tana化為 sina= cosa tana的形cosa式，再結(jié)合平方關(guān)系求解.3 .知弦求切問(wèn)題，結(jié)合平方關(guān)系，三個(gè)關(guān)系式sina+ cosa, sina cosa,sina cosa可進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，此時(shí)要注意弘=tana的靈活運(yùn)用.見(jiàn)角度 2 典例.cosannn提醒：巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程.常見(jiàn)的互余關(guān)系有 a

12、與-+a；- +363a與夕a；y+a與號(hào)一a等，常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有 號(hào)+0與2-0； 占+0與芋 64433440等.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1. (2017 衡水模擬)已知 COSi +a=1，且一na 專，貝 COS 令a等于( )2 2 1 1 22A.1B. C；D . -3333答案 D兩邊平方得1 + 2sinxcosx=49面，120即 2sinxcosx= 9，2/ (sinx cosx) = 12sinxcosx=289169，即 sinx cosx=1713,聯(lián)立，解得5sin x=話cosx=1213,22cosx2sin x=石.11解析因?yàn)檎?qǐng)冗+a+ 12-a=亍,641 D.2

13、52512所以 sin52 +a=1 COS2；+a32所以 cosna12sin5nsin12+a.因?yàn)橐籲a2，所以一 i2a5nn0,所以一亍a+5n n12 12,2. (2017 啟東市校級(jí)期中)已知a0，且f(a)=COSa1sinaF sina1 + sin1cos1+COsa化簡(jiǎn) f(a)；3若f(a) = 5，求sinaCOSa .1 + cosa+1 + sina的值.a (0,1),a =2sin(X 一 cosa兩邊平方可得sina1+cosaa一 cosa ,75,1+2sinacosacosa1+sina1+sina +cosa1+Sina +cosa +Sinac

14、osa4925,解得 Sinacosa1225,sina1+sina +COSa1+COSa1+COSa1+sina7121+7+2256真題模擬聞I關(guān).故選 D.cos sina (0,1), I f(a)=cosa1sina1+sina+sincosa = cosa+cosasina=1sina +1cosf(a)=641 D.2525131. (2016 全國(guó)卷川)若 tana= 4,貝 cosa+ 2sin2a=()A. B.4828 C.1614答案 A32解析 當(dāng) tana= 4 時(shí)，原式=cosa+ 4sina cosa2cosa +4sinacosa1+4tana2 2Sina

15、 +cosa31+4X4 64tan2a+1 巧=25.故選A.花+12. （2017 湖南衡陽(yáng)二模）已知冗2,n且 sin0 +cos0 =a,其中a (0,1)則 tan0的可能取值是（A. 3B.C.D.3 或一答案解析sin0 +cos0=a,兩邊平方可得2sin0 cosa21,由a (0,1)sin0 cos00,/ sin00 知 |sin0|sin12sin0cos0 =|sin0 cos04. (2018 湖南模擬)已知2答案解析(sin已知等式兩邊平方得+2cosa)2=sin22、2sinaCOSasin2a+：,sinSinacosa2 2a +cosa整理得(.2ta

16、na 1)2= 0,sin10.故選 B.a+ .2cosa =3,貝 y tana|=cos02-sin2sin (n+ 0sin2- 0 J+2 ,2sinacosa +2cos2a =3, +2cos?atan J+2,：2tana+23tan2a +1,1516E課后作業(yè)有關(guān)基礎(chǔ)送分提速狂刷練、選擇題1. (2017 鄭州期末)若 tan(5n+a) =m則答案 A解析由 tan(5n+a)=m得 tana=m十sinacosasina +cosatana +1m+1原式=-sina+cosasina cosatana1m1故選 A.2. -j1 + 2sin| n3 cosn+ 3

17、化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A. sin3 cos3B. cos3 sin3C. 土 (sin3 cos3)D.以上都不對(duì)答案 A解析 / sin(n 3) = sin3 , cos(n+ 3)=cos3 ,原式= 71 2sin3 cos3= 寸(sin3 cos3 j = |sin3 cos3|.n/ y30,cos30.原式=sin3 cos3.選 A.3. （2017 梅州模擬）已知a為銳角，且 tan（na） + 3= 0,則 sina的值是（ ）C疝D(zhuǎn)座C. 7 D. 5答案解得 tan韋.sin |a3n +COSn aCOSn + a的值為（A.n+ 1m- 1B.m- 1m+ 1A.3B

18、.鬻310解析由 tan(sinana) + 3= 0 得 tana= 3，即 =3, sinacosa=3cosa，所以 sin2a=9(1 sin. 2),10sina =9,29sina=五又因?yàn)閍為銳角，所以sina警故選 B.104. （2017 化德縣校級(jí)期末A.込m)設(shè) cos( 80 ) =m那么 tan 100等于（B.D._m_1m17答案 B解析/ cos( 80 ) =m18 cos80=msin80 tan 100 = tan80=1COS28O=Im. 一害故選B.5.1 2sin101 2A B. C.2 2sin401 + cos80cos10+ sin10.2

19、 D. 3的值為（）答案 Bsin40 1 +cos80解析 1 2sin10 cos10+ sin10sin40 2cos40cos10 sin10 + sin10#si n80cos10.故選 B.6. (2017 雅安模擬）已知4sin0 +cos0 =3,30 j0,才，貝 U sin0 cos0的值為B.答案解析(sin0 + cos0)2= 916,1+2sin0cos160= 6, 2si n0cos0由（sin2720 cos0) = 1 2sin0cos0= 1 - = 9 可得 sincos0= 彳.又T 0 0,sin0cos0cos0彳故選 C.7. (2018 安徽江

20、南十校聯(lián)考)已知 tana3 心4則sina(sina cosa)=(21A.25B.254521 C. 5 4答案解析2sina (sina cosa)=sinasina cosa.2 .sina sina cos: 2 2Sina +cosa丄2tana tanatan2a +1，將 tana= 4 代入，得原式=322132_25 故選 A*4+12 2 2 2& cos 1+ cos 2+ cos 3+ cos 90=()A. 90 B . 45 C . 44.5 D . 44答案 C222222解析 原式=(cos 1 + cos 89 ) + (cos 2+ cos 88

21、) + (cos 44+ cos 46) + cos245+cos2901920答案42 2 2 2=(cos21+ sin21、z2)+ (cos 2 2+ sin 22)+ (cos 44+ sin244故選 C.9.已知 sin0 =5A. 125 亠3C.口12 或4答案A解析已知 sinsin01仆44+ 2+0=你.0=亦m- 34 2m,；nm+，cos0=韋+5，其中0*IT，m-34 2m0=吊，cos0=m+5題意，tanm- 34 2m故選 A.10 .已知 3cos2a+ 4si ncosa+ 1 = 0,，則 tan0的值為（）5B.12D.與 m 的值有關(guān)所以）+冷

22、詈=1所以m= 8滿足.44sina cosan2:sina sinacosa答案 D2解析 / 3cosa+ 4sinacosa+ 1 = 0 ,2 2 4cosa +4sinacosa +sina =0,2 (sina+ 2cosa) = 0,二 tana= 2.sina cosasina cosasina +cosa11t,(=1 +=-.故選 D.tana20+ 3cos0=1,貝 U tan0=sinasina cosasinasina cosa二、填空題11. (2018 福建泉州質(zhì)檢)已知0為第四象限角,sinasin21解析 由(sin0+ 3cos0) = 1 = sin0+ cos0,得 6sin0cos0= 8cos0,又因?yàn)?0為第四象限角，所以 cos0工 0,所以 6sin0= 8cos0，所以 tan0= 3.12. (2017 福建漳州二模)已知0是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin0, cos0是關(guān)于x的方程4X2+px 2 = 0 的兩根，貝U 0等于_.3n答案 4解析 由題意知 sin0 cos0= 1，聯(lián)立22A= - 2sin