1、1高中立體幾何證明垂直的 練習立體幾何中證明線面 垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線 垂直一般有以下的一些方法:(1)通過“平移”。(2)利用等腰三角形底邊上的中線的性質。(3)利用勾股定理。(4)利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。通過“平移”，根據若ab,且b平面,則a平面1 1.在四棱錐P-ABCD中，PBC為正三角形，E 為 PD 中點.求證：AE!平面PDC.分析：取PC的中點F,易證AE/BF，易證BF丄平面PDC22如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD，/PDA=45。，點E為棱AB的中點. 求證：平面PCE丄平面P

2、CD;分析：取 PCPC 的中點 G G，易證 EG/AFEG/AF，又易證 AFAF 丄平面 PDCPDC 于是 EGEG 丄平面 PCPCD D則平面PCE丄平面PCDAB 平面 PAD, AB/CD , PD AD , E是PB的中點,1DF AB, PH為PAD中AD邊上的高。 2(1)證明：PH 平面 ABCD ;(2)若 PH 1, AD . 2，FC 1,求三棱錐(3) 證明：EF 平面 PAB.分析：要證 EF 平面 PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點G,易證EF/GD,易證DG丄平面PAB如圖所示在四棱錐P ABCD中F是CD上的點，且P(第 2 2 題圖)E3

3、(2)利用等腰三角形底邊上的中線的性質5、在三棱錐P ABC中，AC BC 2,(I)求證：PC AB;(U)求二面角B AP C的大小；ACB 90,AP BP AB , PC AC.6、如圖 ,在三棱錐PABC中， /PAB證明：AB丄PC因為PAB是等邊三角形，PACPBC所以Rt PBC RtPAC, ,可得ACBC。如圖，取AB中點D，連結PD, ,CD5則PDAB, ,CDAB, ,所以AB平面PDC, ,所以ABPC。90, ,是等邊三角形，/PAC=ZPBC=90 o49 9、如圖，四面體ABCDABCD 中，0 0、E E 分別是 BDBD、BCBC 的中點,CA CBCDB

4、D 2, AB AD .2.(1 1)求證：AO平面 BCDBCD ;(2 2)求異面直線ABAB 與 CDCD 所成角的大小；(1(1)證明：連結 0C0CQ BO DO, AB AD, AOBD.Q BO DO,BC CD, COBD.(3)利用勾股定理18 8、如圖 1 1,在直角梯形ABCD中，AB/CD，AB AD，且AB AD CD 1.2現以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖 2 2.(1) 求證：AM/平面BEC;(2) 求證：BC平面BDE;7 7、如圖，四棱錐P ABCD的底面是邊長為

5、求證：PA平面ABCD；1 1 的正方形，PA CD,PA 1,PD ,2.C5在AOC中，由已知可得AO 1,CO .3.而AC2,AO2CO2AC2,AOC 90o,即AOOC.Q BD IOCO,AO平面BCD1010、如圖，四棱錐S ABCD中，AB BC, ,BCCD，側面SAB為等邊三角形,AB BC2,CDSD 1(I)證明：SD平面 SAB(n)求AB與平面SBC所成角的大小.6解法一：(I I)取 ABAB 中點 E E,連結 DEDE，則四邊形 BCDEBCDE 為矩形，DE=CB=2DE=CB=2，連結 SESE，則SEAB,SE .3.又 SD=1SD=1，故ED2SE

6、2SD2，所以DSE為直角。由AB DE, AB SE,DE I SE E得AB平面 SDESDE，所以AB SD。SDSD 與兩條相交直線 ABAB、SESE 都垂直。所以SD平面 SABSAB。D(4) 利用三角形全等或三角行相似1111.正方體 ABCDABCDA AiB BiC CiD Di中 0 0 為正方形 ABCDABCD 的中心，求證：D DiO O 丄平面 MAC.MAC.分析：法一：取 ABAB 的中點 E E,連 A AiE,OE,E,OE,易證 ABABA AiA A于是 AMAM A AiE,E,又I0E0E 丄平面 ABBA.ABBA. OELAM,OELAM, A

7、MLAML 平面 OEADOEAD. AMAMLDODO法二：連 OM,OM,易證 D DiDOOBMDOOBM 于是 DODOLOMOMi2i2 .如圖，正三棱柱 ABCABC A AiB BiC Ci的所有棱長都為 2 2 ,D D 為 CCCCi中點. .求證：ABABi丄平面 A AiBDBD ;分析： 取 BCBC 的中點 E E,連 AE,BAE,BiE,E,易證 DCBDCBAEBBEBBi,從而 BDBDLEBiEBii3i3、如圖，已知正四棱柱 ABCDABCD A AiB BiC CiD Di中， 過點 B B 作 B BiC C 的垂線交側棱 CCCCi于點 E E,交 B BiC C 于點 F F, 求證：A AiC CL平面 BDEBDE ;M M 為 BBBBi的中點,AB8(5)利用直徑所對的圓周角是直角14、如圖，AB是圓0的直徑，C是圓周上一點，FA丄平面ABC.(1) 求證：平面FAC丄平面PBC;(2)若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互 相垂直的各對平面.1616、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA中點0為球心、BD為直徑的球面交PD于點M.求證：平面ABM丄平面PCD;證：依題設，M在以ED為直徑的球面上