1、一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題第一章概率論的基本概念第一章概率論的基本概念習(xí)習(xí) 題題 課課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn) 1.重點(diǎn)重點(diǎn) 隨機(jī)事件的概念隨機(jī)事件的概念 古典概型的概率計(jì)算方法古典概型的概率計(jì)算方法 概率的加法公式概率的加法公式 條件概率和乘法公式的應(yīng)用條件概率和乘法公式的應(yīng)用 全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用 2.難點(diǎn)難點(diǎn) 古典概型的概率計(jì)算全概率公式的應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算全概率公式的應(yīng)用 二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象隨機(jī)隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn)事件的事件的獨(dú)立性獨(dú)立性隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件基本事件基本事件必然

2、事件必然事件對(duì)立事件對(duì)立事件概概 率率古典古典概型概型幾何幾何概率概率乘法乘法定理定理事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式性質(zhì)性質(zhì)定義定義條件條件概率概率不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)

3、結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn). 在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) o1o2o3 樣本空間的元素樣本空間的元素 ,即試驗(yàn)即試驗(yàn)E 的每一個(gè)結(jié)果的每一個(gè)結(jié)果, 稱為稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱的所有可能結(jié)果組成的集合稱為為樣本空間樣本空間,記為記為 S. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱為的子集稱為 E 的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱事件事件. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 o1o2o3不可能事件不可能事件 隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果. 必然事件的對(duì)立

4、面是不可能事件必然事件的對(duì)立面是不可能事件,不可能事件不可能事件的對(duì)立面是必然事件的對(duì)立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對(duì)立事件對(duì)立事件. 基本事件基本事件 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集. 必然事件必然事件 隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果. 重要的隨機(jī)事件重要的隨機(jī)事件 事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算 .), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)SkABASEk (1) 包含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件 B 出現(xiàn)，則稱出現(xiàn)，則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A，記作，記作.B

5、AAB 或或圖示圖示 B 包含包含 A . SBA(2) A等于等于B (3) 事件事件A與與B的并的并(和事件和事件) .和和事事件件的的事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B的并的并. SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A, 則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等,記作記作 A=B. (4) 事件事件A與與B的積事件的積事件 圖示事件圖示事件A與與B的積事件的積事件. .積事件的的事事件件與與稱稱為為事事件件且且事事件件BABxAxxBA SBA圖中圖中A和和B重疊部分重疊部分

6、.(5) 事件事件A與與B互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn) , B 出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A 與與 B互不相互不相容容,即即 . ABBA圖示圖示 A 與與 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） . SAB (6) 事件事件A與與B的差的差 由事件由事件A出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件為事件A與與B的差的差.記作記作 A- B. 圖示圖示 A 與與 B 的差的差. SABSABAB AB BA BA 設(shè)設(shè) A 表示表示 “事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)”

7、 , 則則 “事件事件A不出不出現(xiàn)現(xiàn)” 稱為事件稱為事件 A 的對(duì)立事件或逆事件的對(duì)立事件或逆事件. 記作記作 .A圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立 . SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆, 則有則有 . ABSBA且且A (7) 事件事件A的對(duì)立事件的對(duì)立事件 說(shuō)明說(shuō)明對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別 SSABABA A，B 對(duì)立對(duì)立 A，B 互斥互斥 . ABSBA且且 AB互斥互斥 對(duì)立對(duì)立 事件運(yùn)算的性質(zhì)事件運(yùn)算的性質(zhì) .,1oBAABABBA 交換律交換律. )()(, )()(2oBCACABCBACBA 結(jié)結(jié)合合律律. )()()()(,)()()(3oCB

8、CACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:4oBABABABA 摩摩根根律律德德則有則有為事件為事件設(shè)設(shè),CBA. )(,.,AfAnnAnAnnnAA并記成并記成發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率稱為事件稱為事件比值比值頻數(shù)頻數(shù)發(fā)生的發(fā)生的稱為事件稱為事件發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件試驗(yàn)中試驗(yàn)中次次在這在這次試驗(yàn)次試驗(yàn)進(jìn)行了進(jìn)行了在相同的條件下在相同的條件下(1)頻率的定義頻率的定義 頻率頻率 設(shè)設(shè) A 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn) E 的任一事件的任一事件, 則則 ;1)(010 Afn;0)(, 1)(20 fSf. )()()()(,32121210knnnkkAfAfAfAAAfAAA

9、 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若(2)頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì) :)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數(shù)如果集合函數(shù)的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)每一事件每一事件的的對(duì)于對(duì)于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) PAAPAESE概率的定義概率的定義 ;0)(,:10 APA 有有對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)事事件件非非負(fù)負(fù)性性;1)(,:20 SPS 有有對(duì)于必然事件對(duì)于必然事件規(guī)范性規(guī)范性則則有有即即對(duì)對(duì)于于件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事設(shè)設(shè)可可列列可可加加性性, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji )(

10、)()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性 .0)(10 P概率的有限可加性概率的有限可加性則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,2210nAAA. )()()()(2121nnAPAPAPAAAP . )()()(, )()(,30APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè).1)(,40 APA對(duì)于任一事件對(duì)于任一事件概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) . )(1)(,50APA PAA 則則的的對(duì)對(duì)立立事事件件是是設(shè)設(shè). )()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件加法公式加法公式n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和

11、的情況 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP .)2(;)1(概概型型典典驗(yàn)驗(yàn)稱稱為為等等可可能能概概型型或或古古具具有有以以上上兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗(yàn)驗(yàn)中中每每個(gè)個(gè)基基本本事事件件發(fā)發(fā)有有限限個(gè)個(gè)元元素素試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間只只包包含含定義定義 等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型) 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成, A為為E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件,且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), 則事件則事件 A 出現(xiàn)的概率記為

12、出現(xiàn)的概率記為: 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式 ,)(樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)AnmAP 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. .)(SSAPA 幾何概型幾何概型 .,幾何概型幾何概型定的概率稱為定的概率稱為量來(lái)合理規(guī)量來(lái)合理規(guī)這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度區(qū)域的度量區(qū)域的度量的子的子是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中ASSA當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意并且任意一點(diǎn)落在度量一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度長(zhǎng)度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)域是相同的子區(qū)域是

13、等可能的等可能的,則事件則事件A的概率可定義為的概率可定義為 條件概率條件概率 ,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為在事件為在事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率. .)()()(,0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA (1) 條件概率的定義條件概率的定義 ; )()()()(32121210BAAPBAPBAPBAAP ;)(1)(40BAPBAP ;0)(,1)(:20 BPBSP規(guī)規(guī)范范性性則則有有是是兩兩兩兩不不相相容容的的事

14、事件件設(shè)設(shè)可可加加可可列列性性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP;0)(:10 ABP非負(fù)性非負(fù)性(2) 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) ,0)(121 nAAAP且且個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)推推廣廣,2,21 nnAAAn則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè),0)(, ABPCBA. )()()()(APABPABCPABCP . )()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn . )()()(,0)(APABPABPAP 則則有有設(shè)設(shè)乘法定理乘法定理 則則有有.,.2;, 2 , 1,1,21210021的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為樣本空間為樣本空

15、間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗(yàn)為試驗(yàn)設(shè)設(shè)定義定義SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 樣本空間的劃分樣本空間的劃分 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 1B2B3B1 nBnB.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121稱稱為為全全概概率率公公式式則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 全概率公式全概率公式 A1B2B3B1 nBnB說(shuō)明說(shuō)明 全概率公式的主要用處在于它可以將全概率公式的主要用處在于

16、它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果最終結(jié)果. A1B2B3BnB1 nB貝葉斯公式貝葉斯公式 稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式. ., 2 , 1,)()()()()(,), 2 , 1(0)(,0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理., )()()(,獨(dú)立獨(dú)立簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事

17、件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立是指事件相互獨(dú)立是指事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率與事件與事件 B 是否出現(xiàn)無(wú)關(guān)是否出現(xiàn)無(wú)關(guān). 說(shuō)明說(shuō)明 事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性 (1)兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立 (2)三事件兩兩相互獨(dú)立三事件兩兩相互獨(dú)立 ., )()()(, )()()(, )()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立 三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互

18、獨(dú)立 (3)三事件相互獨(dú)立三事件相互獨(dú)立 .,),()()()(, )()()(, )()()(, )()()(,相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是三三個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA , )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的事事件件則則稱稱nAAAn 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立 n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 有有等等式式具具任任意意意意如如果果對(duì)對(duì)于于任任個(gè)個(gè)事事件件是是設(shè)設(shè)推推廣廣,1,)1(,2121niiinkknAAAkn . )(

19、)(,. 0)(,反反之之亦亦然然則則立立相相互互獨(dú)獨(dú)若若且且是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BPABPBAAPBA 重要定理及結(jié)論重要定理及結(jié)論 定理一定理一.,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與事件事件則下列各對(duì)則下列各對(duì)是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件若若BABABABA定理二定理二兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論 .,)2(,)2(2121個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的事事件件們們的的對(duì)對(duì)立立中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立個(gè)個(gè)事事件件若若nAAAnAAAnnn .)2(,)2(,)1(21個(gè)個(gè)事事件件也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立其其中中任任意意則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立

20、若若事事件件nkknAAAn ;)()1(1B品品只有第一個(gè)零件是合格只有第一個(gè)零件是合格;)()2(2B件件是是合合格格品品三三個(gè)個(gè)零零件件中中只只有有一一個(gè)個(gè)零零;)(,)3(3B個(gè)次品個(gè)次品一一但后兩個(gè)零件中至少有但后兩個(gè)零件中至少有第一個(gè)是合格品第一個(gè)是合格品三、典型例題三、典型例題 :)3 , 2 , 1(, )3 , 2 , 1(,3表表示示下下列列事事件件試試用用個(gè)個(gè)零零件件是是合合格格品品生生產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他以以事事件件個(gè)個(gè)零零件件一一個(gè)個(gè)工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了 iAiiAii例例1解解 ;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB ;)()

21、3(3213AAAB ,)4(3214AAAB ;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或說(shuō)明說(shuō)明 一個(gè)事件往往有多個(gè)等價(jià)的表達(dá)方式一個(gè)事件往往有多個(gè)等價(jià)的表達(dá)方式. . )()5(5B三三個(gè)個(gè)零零件件都都是是次次品品;)()4(4B個(gè)合格品個(gè)合格品三個(gè)零件中最多只有兩三個(gè)零件中最多只有兩.:.,ABBCACBACABCCBA 證明證明滿足滿足設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件證明證明 ,BAC 由由于于,BAC 故故BBABC)( 從從而而,BA BABCBCA ,BC ,ABABCACB )(BBACAC 故故BACACB .ABBC 例例2 . 6 . 0, 7 . 0

22、率率少少有有一一次次命命中中目目標(biāo)標(biāo)的的概概試試求求兩兩次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊至至擊擊程程內(nèi)內(nèi)將將連連續(xù)續(xù)對(duì)對(duì)其其進(jìn)進(jìn)行行射射如如果果目目標(biāo)標(biāo)一一旦旦進(jìn)進(jìn)入入射射射射擊擊命命中中目目標(biāo)標(biāo)的的概概率率為為這這時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)的的概概率率為為假假設(shè)設(shè)目目標(biāo)標(biāo)出出現(xiàn)現(xiàn)在在射射程程之之思路思路 引進(jìn)事件引進(jìn)事件 ;目標(biāo)進(jìn)入射程目標(biāo)進(jìn)入射程 A. 2 , 1, iiBi次射擊命中目標(biāo)次射擊命中目標(biāo)第第.21的的概概率率事事件件為為能能命命中中目目標(biāo)標(biāo)，所所求求概概率率目目標(biāo)標(biāo)不不在在射射程程之之內(nèi)內(nèi)不不可可BBB 例例3 解解 由題意知由題意知 )2, 1(,6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi,0)

23、( BAPA，則，則表示目標(biāo)不在射程之內(nèi)表示目標(biāo)不在射程之內(nèi)由于由于因此有因此有)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP , )()(21ABBPAP )()()(21ABBPAPBP 故故84. 07 . 0 .588. 0 )()()(2121ABPABPABBP .36. 06 . 06 . 0 ,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與BB)()()(2121ABBPABPABP )(21ABBP而而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 .,573,251510兩份兩份從中先后抽出從中先后抽出名表名表隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)份份份和份和份份為為其中女生的報(bào)名表

24、分別其中女生的報(bào)名表分別生的報(bào)名表生的報(bào)名表名考名考名和名和名名設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各、;)1(p表表的的概概率率求求先先抽抽到到的的一一份份是是女女生生.,)2(q的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是思路思路 由于抽到的表與來(lái)自哪個(gè)地區(qū)有關(guān)由于抽到的表與來(lái)自哪個(gè)地區(qū)有關(guān),故此故此題要用全概率公式來(lái)討論題要用全概率公式來(lái)討論. 例例4 解解 ;3, 2, 1, iHi抽到地區(qū)考生的報(bào)名表抽到地區(qū)考生的報(bào)名表記記, 2, 1, jjAj次次抽抽到到報(bào)報(bào)名名表表是是男男生生的的第第;107)(;)3 , 2 , 1(31)(11 HAPiHPi則則有有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概率公式知由全