1、第二節 整數的性質及其應用（1）基礎知識整數的性質有很多，這里我們著重討論整數的整除性、整數的奇偶性，質數與合數、完全平方數及整數的尾數等幾個方面的應用。1整除的概念及其性質在高中數學競賽中如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所采用的字母也表示整數。定義：設是給定的數，若存在整數，使得則稱整除，記作，并稱是的一個約數(因子)，稱是的一個倍數，如果不存在上述，則稱不能整除記作 。由整除的定義，容易推出以下性質：(1)若且，則(傳遞性質)；(2)若且，則即為某一整數倍數的整數之集關于加、減運算封閉。若反復運用這一性質，易知及，則對于任意的整數有。更一般，若都是的倍數，則。或著，則其中；(3)

2、若，則或者，或者，因此若且，則；(4)互質，若，則；(5)是質數，若，則能整除中的某一個；特別地，若是質數，若，則；(6)(帶余除法)設為整數，則存在整數和，使得，其中，并且和由上述條件唯一確定；整數被稱為被除得的(不完全)商，數稱為被除得的余數。注意：共有種可能的取值：0,1，。若，即為被整除的情形；易知，帶余除法中的商實際上為（不超過的最大整數），而帶余除法的核心是關于余數的不等式：。證明的基本手法是將分解為與一個整數之積，在較為初級的問題中，這種數的分解常通過在一些代數式的分解中取特殊值而產生，下面兩個分解式在這類論證中應用很多，見例1、例2。若是正整數，則；若是正奇數，則；（在上式中用

3、代）(7)如果在等式中取去某一項外，其余各項均為的倍數，則這一項也是的倍數；(8)n個連續整數中，有且只有一個是n的倍數；(9)任何n個連續的整數之積一定是n!的倍數，特別地，三個連續的正整數之積能被6整除；2奇數、偶數有如下性質：(1)奇數奇數=偶數，偶數偶數偶數，奇數偶數奇數，偶數偶數偶數，奇數偶數偶數，奇數奇數奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差仍為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數，奇數與偶數的和為奇數，和為偶數；（2）奇數的平方都可以表示成的形式，偶數的平方可以表示為或的形式；（3）任何一個正整數，都可以寫成的形式，其中為負整數，為奇數。（4）若有限個整數之積為奇

4、數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；偶數的平方根若是整數，它必為偶數。3完全平方數及其性質能表示為某整數的平方的數稱為完全平方數，簡稱平方數。平方數有以下性質與結論：（1）平方數的個位數字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除余1，即任何平方數被4除的余數只有可能是0或1；（3）奇數平方的十位數字是偶數；（4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6；（5）不能被3整除的數的平方被3除余1，能被3整數的數的平方能被3整除。因而，平方數被9也合乎的余數為0,1，4,7，且此平方

5、數的各位數字的和被9除的余數也只能是0,1，4,7；（6）平方數的約數的個數為奇數；（7）任何四個連續整數的乘積加1，必定是一個平方數。（8）設正整數之積是一個正整數的次方冪（），若（）1，則都是整數的次方冪。一般地，設正整數之積是一個正整數的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數的k次方冪。4整數的尾數及其性質整數的個位數也稱為整數的尾數，并記為。也稱為尾數函數，尾數函數具有以下性質：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則；（6）；（7）；（8）5整數整除性的一些數碼特征（即常見結論）（1）若一個整數的未位數字能被2（或5）整除，則這個數能被2（或5）整除，否則不能；（2）一個整數的數碼

6、之和能被3（或9）整除，則這個數能被3（或9）整除，否則不能；（3）若一個整數的未兩位數字能被4（或25）整除，則這個數能被4（或25）整除，否則不能；（4）若一個整數的未三位數字能被8（或125）整除，則這個數能被8（或125）整除，否則不能；（5）若一個整數的奇位上的數碼之和與偶位上的數碼之和的差是11的倍數，則這個數能被11整除，否則不能。6質數與合數及其性質1正整數分為三類：（1）單位數1；（2）質數（素數）：一個大于1的正整數，如果它的因數只有1和它本身，則稱為質（素）數；（3）如果一個自然數包含有大于1而小于其本身的因子，則稱這個自然數為合數。2有關質（素）數的一些性質（1）若，則

7、的除1以外的最小正因數是一個質（素）數。如果，則；（2）若是質（素）數，為任一整數，則必有或（）1；（3）設為個整數，為質（素）數，且，則必整除某個（）；（4）（算術基本定理）任何一個大于1的正整數，能唯一地表示成質（素）因數的乘積（不計較因數的排列順序）；（5）任何大于1的整數能唯一地寫成的形式，其中為質（素）數（）。上式叫做整數的標準分解式；（6）若的標準分解式為，的正因數的個數記為，則。典例分析例1證明：被1001整除。證明：所以整除。例2對正整數，記為的十進制表示中數碼之和。證明：的充要條件是。證明：設（這里，且），則，于是有對于，知，故式右端個加項中的每一個都是9的倍數，從而由整除的

8、性質可知它們的和也能被9整除，即。由此可易推出結論的兩個方面。例3設是一個奇數，證明L對于任意正整數，數不能被整除。證明：時，結論顯然成立。設，記所說的和為A，則：。由k是正奇數，從而結于每一個，數被整除，故被除得余數為2，從而A不可能被整除（注意）。例4設是正整數，證明：（）（）。證明：首先，當時，易知結論成立。事實上，時，結論平凡；當時，結果可由推出來（注意）。最后，的情形可化為上述特殊情形：由帶余除法而，由于，從而由若是正整數，則知；而，故由上面證明了的結論知（注意時結論平凡），從而當時，也有（）（）。這就證明了本題的結論。 例5設正整數滿足，證明：不是質（素）數。證法一：由，可設其中。

9、由意味著有理數的分子、分母約去了某個正整數后得既約分數，因此，同理，存在正整數使得因此，是兩個大于1的整數之積，從而不是素數。注：若正整數適合，則可分解為及的形式，這一結果在某些問題的解決中很有作用。證法二：由，得，因此，因為是整數，故也是整數。若它是一個素數，設為，則由可見整除，從而素數整除或。不妨設，則，結合推出，而這是不可能的（因為）。例6求出有序整數對（）的個數，其中，是完全平方數。（1999年美國數學邀請賽試題）解：由于，可得：。又，于是若是完全平方數，則必有。然而，于是必有，即，此時，。所以所求的有序整數對（）共有98對：。例7證明：若正整數滿足，則和都是完全平方數。（2006年山

10、東省第二屆夏令營試題）證法一：已知關系式即為（）（）若（或者說中有一個為0時），結論顯然。不妨設且，令，則，從而，將其代入得因為，所以，從而；而式又可寫成；因為且，所以所以，從而。所以，所以，從而為完全平方數。所以也是完全平方數。證法二：已知關系式即為（）（）論證的關鍵是證明正整數與互素。記（，）。若，則有素因子，從而由知。因為是素數，故，結合知，從而由得1，這是不可能的。故，從而由推知正整數與都是完全平方數。例8證明不存在正整數，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方數。證明：假設存在這樣的正整數，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方數，那么（2n2+1）（3n2+1）

11、（6n2+1）也必定是完全平方數。而（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）36n6+36n4+11n2+1；36n6+36n4+9n2；36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1；所以（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）與（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）為完全平方數矛盾。例9數列的通項公式為，記，求所有的正整數，使得能被8整除（2005年上海競賽試題）解：記注意到，可得因此，Sn+2除以8的余數，完全由Sn+1、Sn除以8的余數確定，故由(*)式可以算出各項除以8的余數依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是一個以6為周期的數列，從而故當且僅當練習題1證明：如果和都是

12、大于3的素數，則6是的因子。證明：因為是奇數，所以2是的因子。又因為，除以3的余數各不相同，而與都不能被3整數。于是6是的因子。2設，證明：；解：由，故（）。又因為，從而，于是由整除的性質知。3證明：對于任意正整數，數不能被整除。證明：只需證2（）2（）即可。因為若是正整數，則；若是正奇數，則；故；， 所以2（）。又因為，所以2，所以2（）2即（）2（）命題得證。4已知為正奇數，求證：。證明：因為若是正整數，則；若是正奇數，則；所以，從而；，從而；，從而；又且，所以。5設a、b、c為滿足不等式1abc的整數，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能數組（a，b，c）.（1989年上海競賽試題）解  （ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-1）