1、掌握圓的標準方程與一般方程，能根據給定的點、圓的方程，判斷直線和掌握圓的標準方程與一般方程，能根據給定的點、圓的方程，判斷直線和圓的位置關系，能用代數方法處理幾何問題的思想圓的位置關系，能用代數方法處理幾何問題的思想【命題預測【命題預測】 圓的方程是歷年來高考的一個考點，利用定義和性質，結合代數、解析幾圓的方程是歷年來高考的一個考點，利用定義和性質，結合代數、解析幾何的基本思想，將所給的條件進行轉化后求解，是今后高考命題的方向何的基本思想，將所給的條件進行轉化后求解，是今后高考命題的方向第第3 3課時課時 圓的方程圓的方程【應試對策【應試對策】 1圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了

2、圓，所以，只要圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且三個量確定了且r0，圓的方程就給定了，這就是說要確定圓的方程，必須具圓的方程就給定了，這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件注意，確定備三個獨立的條件注意，確定a，b，r可以根據條件，利用待定系數法來求可以根據條件，利用待定系數法來求出當二元二次方程出當二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0具有以下條件時，它才具有以下條件時，它才表示圓：表示圓：(1)x2和和y2的系數相同，不等于零，即的系數相同，不等于零，即AC0；(2)沒有沒有xy項項，即即B0；(3)D2E24AF0.條件條件(

3、3)通過將方程兩邊同除以通過將方程兩邊同除以A或或C并配方不難得出并配方不難得出2一般來說，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、一般來說，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，往往設圓的一般方程圓的一般方程中要加限制條件都無直接關系，往往設圓的一般方程圓的一般方程中要加限制條件D2E24F0.用待定系數法求圓的方程的步驟：用待定系數法求圓的方程的步驟：(1)根據題意設所求圓的方程為標根據題意設所求圓的方程為標準式

4、或一般式；準式或一般式；(2)根據條件列出關于根據條件列出關于a，b，r或或D，E，F的方程；的方程；(3)解方程解方程組，求出組，求出a，b，r或或D，E，F的值，代入所設方程，就得到要求的方程的值，代入所設方程，就得到要求的方程3根據條件選擇圓方程的適當形式，并會利用待定系數法進行圓的方程的求根據條件選擇圓方程的適當形式，并會利用待定系數法進行圓的方程的求 解，解，同時，解答圓的問題時應注意數形結合，充分運用圓的平面幾何性同時，解答圓的問題時應注意數形結合，充分運用圓的平面幾何性 質，簡化計算質，簡化計算【知識拓展【知識拓展】 1圓系方程圓系方程(1)同心圓系同心圓系：圓心為圓心為(x0，

5、y0)的圓系方程為的圓系方程為：(xx0)2(yy0)2r2(r0)(2)過兩圓過兩圓C1：x2y2D1xE1yF10及及C2：x2y2D2xE2yF20的公的公共點的圓系方程為共點的圓系方程為：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0其其中若中若1，則此方程表示過兩圓則此方程表示過兩圓C1與與C2的交點的圓的交點的圓；當當1，則此方程表則此方程表示過兩圓示過兩圓C1與與C2交點的直線交點的直線(3)過直線過直線l：AxByC0與圓與圓C：x2y2DxEyF0的交點的圓系方的交點的圓系方程為：程為：x2y2DxEyF(AxByC)0. 利用圓系可以站在較高的角度來把握有些問題利用

6、圓系可以站在較高的角度來把握有些問題1圓的標準方程圓的標準方程方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)叫做以點叫做以點 為圓心為圓心， 為半徑的圓的標準方程為半徑的圓的標準方程2圓的一般方程圓的一般方程方程方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫做叫做 其圓心為其圓心為 ，半徑為半徑為 .(a，b)圓的一般方程圓的一般方程r3確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟為確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟為：(1) ；(2) ；(3) 根據題意，選擇標準方程或一般方程根據題意，選擇標準方程或一般方程根據條件列出關于根據條件列出關于a

7、、b、r或或D、E、F的方程組的方程組解出解出a、b、r或或D、E、F代入標準方程或一般方程代入標準方程或一般方程探究：探究：用待定系數法求圓的方程，如何根據已知條件選擇圓的方程？用待定系數法求圓的方程，如何根據已知條件選擇圓的方程？提示：提示：當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般式，通過解三元一當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般式，通過解三元一次方程組求相應系數；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某條直線上、次方程組求相應系數；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式，對于有些題，設哪種形圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式，對

8、于有些題，設哪種形式都可以，這就要求根據條件具體問題具體分析式都可以，這就要求根據條件具體問題具體分析4點與圓的位置關系點與圓的位置關系點點P(x0，y0)與圓與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關系的位置關系：(1)當當(x0a)2(y0b)2r2時時，則則 ；(2)當當(x0a)2(y0b)2r2時時，則則 ；(3)當當(x0a)2(y0b)2r2時，則時，則 點點P在圓外在圓外點點P在圓上在圓上點點P在圓內在圓內1已知已知A(4，5)、B(6，1)，則以線段，則以線段AB為直徑的圓的方程是為直徑的圓的方程是_解析：解析：所求圓的圓心是所求圓的圓心是(1，3)，半徑是，半徑是 .圓的

9、方程是圓的方程是(x1)2(y3)229.答案：答案：(x1)2(y3)2292點點P(5a1,12a)在圓在圓(x1)2y21的內部，則的內部，則a的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：P在圓的內部，在圓的內部，P到圓心的距離小于半徑，到圓心的距離小于半徑， 1. a .答案：答案： a0，解得，解得k k4或或k k4或或k k0)，由三個條件得到關于，由三個條件得到關于D、E、F的一個三元一的一個三元一次方程組，解方程組確定次方程組，解方程組確定D、E、F的值的值【例【例1】 求與求與x軸相切軸相切，圓心在直線圓心在直線3xy0上上，且被直線且被直線xy0截得的弦長為截得的弦長為 2 的

10、圓的方程的圓的方程 思路點撥：思路點撥：因題中涉及圓心及切線，故設標準形式解題較簡單因題中涉及圓心及切線，故設標準形式解題較簡單 解：解：設所求的圓的方程是設所求的圓的方程是(xa)2(yb)2r2，則圓心則圓心(a，b)到直線到直線xy 0的距離為的距離為 ， r2( )2( )2，即即2r2(ab)214 由于所求的圓與由于所求的圓與x軸相切，軸相切，r2b2 又因為所求圓心在直線又因為所求圓心在直線3xy0上，上，3ab0 聯立聯立，解得，解得a1，b3，r29或或a1，b3，r29.故所求的圓的方程是故所求的圓的方程是(x1)2(y3)29或或(x1)2(y3)29.變式變式1：根據下

11、列條件求圓的方程根據下列條件求圓的方程：(1)經過坐標原點和點經過坐標原點和點P(1,1)，并且圓心在直線并且圓心在直線2x3y10上上；(2)已知一圓過已知一圓過P(4，2)，Q(1,3)兩點兩點，且在且在y軸上截得的線段長為軸上截得的線段長為4，求求圓的方程圓的方程解：解：(1)顯然，所求圓的圓心在顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程的垂直平分線方程 為為： ，即即xy10. 解方程組解方程組 ，得圓心，得圓心C的坐標為的坐標為(4，3)又圓的半徑又圓的半徑r|OC|5， 以所求圓的方程為以所求圓的方程為(x4)2(y3)225.(2)設圓的方程為設圓

12、的方程為x2y2DxEyF0 將將P、Q點的坐標分別代入點的坐標分別代入得得令令中的中的x0，得，得y2EyF0 由已知由已知|y1y2|4，其中，其中y1、y2是方程是方程的兩根，的兩根，所以所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48 解解組成的方程組得組成的方程組得D2，E0，F12或或D10，E8，F4，故所求圓的方程為故所求圓的方程為x2y22x120或或x2y210 x8y40.1求與圓有關的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數式的幾何意義進行轉求與圓有關的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數式的幾何意義進行轉化如化如(1)形如形如m 的最值問題，可轉化為動直線斜率的

13、最值問題；的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形形如如taxby的最值問題，可轉化為直線在的最值問題，可轉化為直線在y(或或x)軸上的截距的最值問題；軸上的截距的最值問題；(3)形如形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉化為兩點間的距離平方的最值問題的最值問題，可轉化為兩點間的距離平方的最值問題2特別要注意下面兩個代數式的幾何意義：特別要注意下面兩個代數式的幾何意義： 表示點表示點(x，y)與原點與原點(0,0)連線的直線斜率，連線的直線斜率， 表示點表示點(x，y)與原點與原點(0,0)的的 距離距離【例【例2】 已知實數已知實數x、y滿足方程滿足方程x2y24x10. (1

14、)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值；(2)求求yx的最大值和最小值的最大值和最小值；(3)求求x2y2的最的最 大值和最小值大值和最小值解：解：原方程化為原方程化為(x2)2y23，表示以點表示以點(2,0)為圓心為圓心，以以 為半徑的圓為半徑的圓，(1)設設 k k，即即ykx，當直線當直線yk kx與圓相切時與圓相切時，斜率斜率k k取最大值和最小值取最大值和最小值，此此時時 ，解之得解之得k k .故故 的最大值為的最大值為 ，最小值為最小值為 .(2)設設yxb，即即yxb，當當yxb與圓相切時，縱截距與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值取得最大值和最小值，此時此時 ，即，即b

15、2 .故故yx的最大值為的最大值為2 ，最小值為最小值為2 .(3)x2y2表示圓上點與原點距離的平方，由平面幾何知識知它在原點與圓心表示圓上點與原點距離的平方，由平面幾何知識知它在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為2，故，故(x2y2)max(2 )274 ，(x2y2)min(2 )274 .變式變式2：已知點已知點P(x，y)是圓是圓(x2)2y21上任意一點上任意一點(1)求求P點到直線點到直線3x4y120的距離的最大值和最小值的距離的最大值和最小值；(2)求求x2y的最大值和最小值的最大值和

16、最小值；(3)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值解：解：(1)圓心圓心C(2,0)到直線到直線3x4y120的距離為的距離為d P點到直線點到直線3x4y120的距離的最大值為的距離的最大值為dr 1 ，最小值為最小值為dr 1 .(2)設設tx2y，則直線，則直線x2yt0與圓與圓(x2)2y21有公共點，有公共點， 1. 2t 2，tmax 2，tmin2 .故故x2y的最大值為的最大值為 2，最小值為，最小值為2 .(3)設設k k ，則直線，則直線kxyk20與圓與圓(x2)2y21有公共點，有公共點，求與圓有關的軌跡問題，充分利用圓的幾何特征，借助圖形，尋找動點滿求與圓有關的軌跡

17、問題，充分利用圓的幾何特征，借助圖形，尋找動點滿足的幾何條件足的幾何條件【例【例3】 (2010山東煙臺模擬山東煙臺模擬)過點過點A(a,0)引圓引圓x2y2a2的弦交圓于的弦交圓于P1點，求點，求弦弦P1A的中點的中點M的軌跡方程的軌跡方程思路點撥：思路點撥：有關弦的中點問題，大多利用中點與圓心連線垂直于弦的性質有關弦的中點問題，大多利用中點與圓心連線垂直于弦的性質解決解決解：解：如右圖如右圖，M是弦是弦AP1的中點的中點，OMAM，M在以在以OA為直徑的圓上為直徑的圓上，其圓心為其圓心為 ，半徑為，半徑為 ，設設M的坐標為的坐標為(x，y)，則則M滿足滿足 2y2 .M在圓在圓x2y2a2

18、的內部的內部，xa，故弦故弦P1A的中點的中點M的軌跡方程為的軌跡方程為 2y2 (xa)變式變式3：由動點由動點P向圓向圓x2y21引兩條切線引兩條切線PA、PB，切點分別為切點分別為A、B，APB60，則動點則動點P的軌跡方程為的軌跡方程為_解析：解析：由題意可知，由題意可知，OA1，APB60APO30， 則則PO 2，設，設P(x，y)，則，則 2x2y24.答案：答案：x2y24【規律方法總結規律方法總結】1求一個圓的方程需要三個獨立的條件，待定系數法是求圓的方程的基本方法，求一個圓的方程需要三個獨立的條件，待定系數法是求圓的方程的基本方法，應熟練掌握，如果由已知條件易求圓心坐標、半

19、徑或需要圓心坐標列方程，應熟練掌握，如果由已知條件易求圓心坐標、半徑或需要圓心坐標列方程，常選用圓的標準方程；如果所求圓與圓心、半徑關系不密切時常選用圓的標準方程；如果所求圓與圓心、半徑關系不密切時(如已知圓過三如已知圓過三點等條件點等條件)，常選用圓的一般方程，常選用圓的一般方程2與圓有關的軌跡問題，可根據題設條件選擇適當方法與圓有關的軌跡問題，可根據題設條件選擇適當方法(如直接法、定義如直接法、定義 法、轉移法等法、轉移法等)，有時還需要結合其他方法，如交軌法、消參法，有時還需要結合其他方法，如交軌法、消參法3處理有關圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用，如處理有關圓的問題，

20、要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用，如 弦心距、半徑、弦長的一半構成的直角三角形經常用到，利用圓的一些弦心距、半徑、弦長的一半構成的直角三角形經常用到，利用圓的一些 特殊幾何性質解題，往往使問題簡化特殊幾何性質解題，往往使問題簡化. 【例【例4】 求圓心在直線求圓心在直線5x3y8上上，且與兩坐標軸相切的圓的標準方程且與兩坐標軸相切的圓的標準方程 【錯因分析錯因分析】本本題可以設出圓心坐標、圓的半徑，通過建立方程組解決圓與兩坐標軸相題可以設出圓心坐標、圓的半徑，通過建立方程組解決圓與兩坐標軸相切實際上是給出了圓心和半徑所滿足的兩個幾何條件，即圓心到坐標軸的距切實際上是給出了圓心和半徑所滿

21、足的兩個幾何條件，即圓心到坐標軸的距離等于圓的半徑并且圓心的縱橫坐標的絕對值相等，本題容易出錯的地方就離等于圓的半徑并且圓心的縱橫坐標的絕對值相等，本題容易出錯的地方就是把這個條件理解錯，以為只要圓心的縱橫坐標相等即可，這樣就漏掉了一是把這個條件理解錯，以為只要圓心的縱橫坐標相等即可，這樣就漏掉了一個解個解 【答題模板答題模板】解：解：設所求圓的方程為設所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2.圓與兩坐標軸相切圓與兩坐標軸相切，ab，r|a|.又又圓心圓心(a，b)在直線在直線5x3y8上，上，5a3b8， 所求圓的方程為：所求圓的方程為： (x4)2(y4)216或或 (x1)2(y1)21.

22、 【狀元筆記狀元筆記】確定圓的要素是圓心和半徑，求圓的方程時只要把圓心和半徑求確定圓的要素是圓心和半徑，求圓的方程時只要把圓心和半徑求出來即可，一般是根據題目給出的已知條件通過聯立關于圓心坐出來即可，一般是根據題目給出的已知條件通過聯立關于圓心坐標和半徑的方程組解決解題時注意把幾何條件轉化為方程組時標和半徑的方程組解決解題時注意把幾何條件轉化為方程組時要準確無誤，幾何條件和代數方程要等價，在列出方程組后，解要準確無誤，幾何條件和代數方程要等價，在列出方程組后，解方程組要準確，防止計算結果出錯方程組要準確，防止計算結果出錯. 1已知兩點已知兩點P1(4,9)和和P2(6,3)，求以，求以P1P2為直徑的圓的方程為直徑的圓的方程分析：方法一分析：方法一：從確定圓的條