1、抽象函數(shù)常見題型解法綜述趙春祥抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f（x）的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f（x）的定義域是1，4評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形

2、式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f（x），同時滿足下列條件：；，求f（3），f（9）的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4. 設(shè)函數(shù)f（x）定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數(shù)，使得成

3、立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5. 設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f（x）的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在（1）中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6. 設(shè)f（x）定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實數(shù)x、y

4、，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以又當(dāng)時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8. 已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象

5、關(guān)于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x>0時，0<f（x）<1。（1）判斷f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當(dāng)時，所以當(dāng)時而所以又當(dāng)x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。（2）由于函數(shù)y=f（x）在R上為減函數(shù)，所以即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題：一是f