1、初中幾何中線段和（差）的最值問題一、兩條線段和的最小值。基本圖形解析：一）、已知兩個定點：1、在一條直線 m 上，求一點 P,使 PA+PB 最小；（1 ）點 A、B 在直線 m 兩側(cè)：A*（2）點 A、B 在直線同側(cè)：A*B:-:mA、A是關于直線 m 的對稱點。2、在直線 m、n 上分別找兩點 P、Q,使 PA+PQ+QB 最小。 （1 ）兩個點都在直線外側(cè)：A- n（2） 個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè):+ n（3）兩個點都在內(nèi)側(cè):QB（4 ）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點 A、B 位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線得圍成的四邊形 ADEB 周長最短.填空：最短周長=_變式二：已知點 A 位于

2、直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線 m、n 分別上求點 P、Q 點 PA+PQ+QA周長最短.nn/I/A/ AQ，/- mmPA二）、一個動點，一個定點：（一）動點在直線上運動：點 B 在直線 n 上運動，在直線 m 上找一點 P,使 PA+PB 最小（在圖中畫出點 P 和點 B）1、兩點在直線兩側(cè)：n、m 分別上求點 D、E 點，使2、兩點在直線同側(cè):- m：A（二）動點在圓上運動點 B 在OO 上運動，在直線 m 上找一點 P,使 PA+PB 最小（在圖中畫出點 P 和點 B）1、點與圓在直線兩側(cè):2、點與圓在直線同側(cè):三）、已知 A、B 是兩個定點，P、Q 是直線 m 上的兩個動點，P 在

3、Q 的左側(cè)，且 PQ 間長度恒 定,在直線 m 上要求 P、Q 兩點，使得 PA+PQ+QB 的值最小。（原理用平移知識解）（1 ）點 A、B 在直線 m 兩側(cè)：A-,過 A 點作 AC/ m,且 AC 長等于 PQ 長，連接 BC 交直線 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 長，即為 P 點，此時 P、Q 即為所求的點。-:mA練習題B（2）點 A、B 在直線 m 同側(cè)：1.如圖，/ AOB=45 P 是/AOB 內(nèi)一點，PO=10, Q、R 分別是 OA、OB 上的動點，求厶 PQR 周長的最小值為.如圖 1,在銳角三角形 ABC 中，AB=4，/BAC=45,ZBAC 的平分線交 BC 于點

4、 D,M,N 分別是 AD 和 AB 上的動點，貝 U BM+MN 的最小值為.3、如圖，在銳角三角形 ABC 中，AB=5. 2 , / BAC=45,分別是 AD 和 AB 上的動點，貝 U BM+MN 的最小值是多少r4、如圖 4 所示，等邊 ABC 的邊長為 6,AD 是 BC 邊上的中線，M 是 AD 上的動點,E 是 AC 邊 上一點若 AE=2,EM+CM 的最小值為.6、 如圖 4,等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1, / ABC=6C , P 是上底，下底中點 EF 直線 上的一點，貝 U PA+PB 的最小值為.2、5、如圖 3,在直角梯形 ABCD 中，/ AB

5、C= 90, AD/ BC, AD= 4, AB= 5, BC= 6,點 P 是7、如圖 5 菱形 ABCD 中，AB=2,/ BAD=60 E 是 AB 的中點，P 是對角線 AC 上的一個動 點，則PE+PB 的最小值為.&如圖，菱形 ABCD 的兩條對角線分別長 6 和 8,點 P 是對角線 AC 上的一個動點，點 M、N 分別 是邊AB、BC 的中點，貝 U PM+PN 的最小值是9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為 18cm，在杯內(nèi)離杯底 3cm 的點 C 處有-滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm 與蜂蜜相對的點 A 處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_

6、cm .10、如圖，菱形 ABCD 中，AB=2 , / A=120 ,點 P, Q, K 分別為線段 BC, CD,BD 上的任意一點，則 PK+QK 的最小值為11、如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2, E 為 AB 的中點，P 是 AC 上一動點.則 P 由 PE 的最小12、如圖 6 所示，已知正方形 ABCD 的邊長為 8,點 M 在 DC 上，且 DM=2 , N 是 AC 上的一個動點，則 DN+MN 的最小值為 13、如圖，正方形 ABCD 的邊長是 2, / DAC 的平分線交 DC 于點 E,若點 P、Q 分別是 AD 和 AE 上的動點，貝 U DQ+PQ 的最小值為1

7、4、如圖 7,在邊長為 2cm 的正方形 ABCD 中，點 Q 為 BC 邊的中點，點 P 為對角線 AC 上 一動點，連接 PB、PQ,則厶 PBQ 周長的最小值為 cm （結(jié)果不取近似值）.15、如圖，OO 的半徑為 2，點 A、B、C 在OO 上，0A 丄 OB, / AOC=60 P 是 0B 上一動 點，貝UPA+PC 的最小值是 _ 16、如圖 8, MN 是半徑為 1 的O0 的直徑，點 A 在O0 上，/ AMN = 30, B 為 AN 弧的 中點，P是直徑 MN 上一動點，則 PA+ PB 的最小值為（）解答題丄古1、如圖 9,正比例函數(shù) y=x 的圖象與反比例函數(shù) y=-

8、（心 0）在第一象限的圖象交于A點，過 A 點作 x 軸的垂線，垂足為 M，已知三角形 OAM 的面積為 1.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果 B 為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點 B 與點 A 不重合），且 B 點的橫 坐標為 1，在 x 軸上求一點 P,使 PA+PB 最小.(A)2(C)1 (D)22、如圖，一元二次方程X2+2X-3=0的二根 xi, X2( xivX2)是拋物線 y=ax2+bx+c 與X軸的兩個交點 B,C 的橫坐標，且此拋物線過點 A ( 3 , 6).(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設此拋物線的頂點為 P,對稱軸與 AC 相交于點 Q,求點 P 和點

9、 Q 的坐標；(3)在X軸上有一動點 M ,當 MQ+MA 取得最小值時，求 M 點的坐標.3、如圖 10,在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為(1, ； ) , AOB 的面積是 .(1) 求點 B 的坐標；(2) 求過點 A、0、B 的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點。，使厶 A0C 的周長最小若存在，求出點 C 的 坐標；若不存在，請說明理由；3184.如圖，拋物線 y= 5X2- yx+ 3 和 y 軸的交點為 A, M 為 OA 的中點，若有一動點 P,自 M 點處出發(fā)，沿直線運動到 x 軸上的某點（設為點 E）,再沿直線運動到該拋物線對稱軸上 的某點（設為

10、點 F）,最后又沿直線運動到點 A,求使點 P 運動的總路程最短的點 E,點 F 的 坐標，并求出這個最短路程的長.5 .如圖，已知在平面直角坐標系 xOy 中，直角梯形 OABC 的邊OA在 y 軸的正半軸上，0C 在 x 軸的正半軸上， OA=AB=2, 0C=3,過點 B 作 BD 丄 BC,交 0A 于點 D.將/ DBC 繞點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸、x 軸的正半軸于點 E 和 F.（1）求經(jīng)過 A、B、C 三點的拋物線的解析式；（2）當 BE 經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求 CF 的長；（3） 在拋物線的對稱軸上取兩點 P、Q （點 Q 在點 P 的上

11、方），且 PQ= 1，要使四邊形 BCPQ的周長最小，求出 P、Q 兩點的坐標.6 .如圖，已知平面直角坐標系，A, B 兩點的坐標分別為 A(2, - 3), B(4, 1 若 qa,0), D(a+3, 0)是 x 軸上的兩個動點，則當 a 為何值時，四邊形 ABDC 的周長最短.7、如圖 11,在平面直角坐標系中，矩形7-的頂點 0 在坐標原點，頂點 A、B 分別在 x軸、y 軸的正半軸上， 0A=3, 0B=4, D 為邊 OB 的中點.(1) 若 E 為邊 0A 上的一個動點，當 CDE 的周長最小時，求點 E 的坐標；(2)若 E、F 為邊 0A 上的兩個動點，且 EF=2,當四邊

12、形 CDEF 的周長最小時，求點 E、 F 的坐標.二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線 m 上，求一點 P,使 PA 與 PB 的差最大;(1 )點AB 在直線 m 同側(cè):-m解析：延長 AB 交直線 m 于點 P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PA PvAB,而 PAPB=AB 此時最大，因此點 P 為所求的點。(2 )點 A、B 在直線 m 異側(cè)：A-mBA:、BmPP解析：過 B 作關于直線 m 的對稱點 B：連接 AB交點直線 m 于 P,此時 PB=PB, PA-PB 最大值為 AB練習題11.如圖，拋物線 y= qx2 x+2的頂

13、點為 A,與 y 軸交于點 B.(1)求點 A、點 B 的坐標；若點 P 是 x 軸上任意一點，求證：PA PBAB;當 PA- PB 最大時，求點 P 的坐標.12.如圖，已知直線 y= x+ 1 與 y 軸交于點 A,與 x 軸交于點 D,2拋物線 y= lx2+ bx+ c 與直線交于 A、E 兩點，與 x 軸交于 B、C 兩點，且 B 點坐標為(1 ,20).(1 )求該拋物線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上找一點 M ,使| AM MC|的值最大， 求出點 M的坐標.3、在直角坐標系中，點 A、B 的坐標分別為(一 4， 1 )和(一 2, 5);點 P 是 y 軸上的一個動點，點

14、 P 在何處時，PA+ PB 的和為最小并求最小值。點 P 在何處時，IPA-PBI 最大并求最大值。4.如圖，直線 y= .3x+ 2 與 x 軸交于點 C,與 y 軸交于點 B,點 A 為 y 軸正半軸上的一點，OA 經(jīng)過點 B 和點 0,直線 BC 交OA 于點 D.(1) 求點 D 的坐標；(2)過 0, C, D 三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使線段 P0 與 PD 之差的值最大若存在，請求出這個最大值和點P 的坐標若不存在，請說明理由.5、拋物線的解析式為y2x 2x 3，交 x 軸與 A 與 B,交 y 軸于 C,在其對稱軸上是否存在一點在其對稱軸上是否存在一點

15、P, 使APC 周長最小，若存在，求其坐標。Q, 使IQB QCI的值最大，若存在求其坐標。6、已知：如圖，把矩形 OCBA 放置于直角坐標系中， 0C=3, BC=2 取 AB 的中點 M，連接 皿 6 把厶MBC 沿 x 軸的負方向平移 0C 的長度后得到 DAO.(1) 試直接寫出點 D 的坐標；(2) 已知點 B 與點 D 在經(jīng)過原點的拋物線上，點 P 在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P 作 PQ 丄 x 軸于點 Q,連接 0P.1若以 0、P、Q 為頂點的三角形與DA0 相似，試求出點 P 的坐標；2試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T,使得|T0-TB|的值最大7、如圖，已知拋物

16、線 Ci的解析式為 y=-x2+2x+8,圖象與 y 軸交于 D 點，并且頂點 A 在雙曲 線上.(1 )求過頂點 A 的雙曲線解析式;&如圖，已知拋物緩=護+取經(jīng)過 A(3, 0), B(0, 4),(1) 求此拋物線解析式(2) 若拋物線與 x 軸的另一交點為 C,求點 C 關于直線 AB 的對稱點 C的坐標(3) 若點 D 是第二象限內(nèi)點，以 D 為圓心的圓分別與 x 軸、y 軸、直線 AB 相切于點 E、F、H,問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P,使得|PH- PA 的值最大若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由。三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與

17、最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其 他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點之間線段 最短以及點到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖，在 ABC 中，/ C=90, AC=4, BC=2,點 A、C 分別在 x 軸、y 軸上，當點 A 在 x 軸上運動時，點 C 隨之在 y 軸上運動，在運動過程中，點 B 到原點的最大距離是 ()2、已知：在厶 ABC 中, BC=a, AC=b，以 AB 為

18、邊作等邊三角形 ABD.探究下列問題：1)如圖 1，當點 D 與點 C 位于直線 AB 的兩側(cè)時，a=b=3，且/ ACB=60,則 CD=;(2) 如圖 2，當點 D 與點 C 位于直線 AB 的同側(cè)時，a=b=6，且/ ACB=90，則CD=_ ;(3)如圖 3，當/ACB 變化，且點 D 與點 C 位于直線 AB 的兩側(cè)時，求 CD 的最大值及相 應的/ ACB 的度數(shù).A.2 22B.2、5C。2 6D.6C3、在 RtAABC 中，1/ ACB=90 tan / BAC=點 D 在邊 AC 上（不與 A, C 重合），連結(jié) BD, 2F 為 BD 中點.(1) 若過點 D 作 DE

19、丄 AB 于 E,連結(jié) CF EF、CE 如圖 1 設CF kEF,則 k =_;(2)若將圖 1 中的 ADE 繞點 A 旋轉(zhuǎn)，使得 D E、B 三點共線，點 F 仍為 BD 中點，如 圖 2所示.求證：BE-DE=2CF；(3)若 BC=6,點 D 在邊 AC 的三等分點處，將線段 AD 繞點 A 旋轉(zhuǎn)，點 F 始終為 BD 中 點，求線段 CF 長度的最大值.4、如圖，四邊形 ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD（不含 B 點）上任 意一點，備圖圖 1將 BM 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到 BN,連接 EN、AM、CM. 求證： AMBAENB; 當 M 點在何