1、Word文檔因式分解序號公式記憶特征12x +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)(十字相乘法)(1) 常數項兩數積(2) 一次項系數兩數和(3) 二次項系數為 12a-b厶=(a-b)(a+b)(平差公式)32 2 2a +2ab+b = (a+b)2 2 2a -2ab+b = (a-b)(完全平公式)42 2 2 2a +b +c +2ab+2ac+2bc = (a+b+c)(完全平公式擴展)(1) 三數平和(2) 兩兩積的 2 倍5322 33a +3a b+3ab +b = (a+b)32233a -3a b-3ab +b = (a-b)(完全立公式)對照完全平公式相互加

2、強記憶63322a +b = (a+b)(a -ab+b )3322a -b = (a-b)(a +ab+b )(1) 近似完全平公式(2) 缺項之完全立公式23(a+b)(a+b) -3ab=(a+b)-3ab(a+b)23(a-b)(a+b) +3ab=(a-b)+3ab(a+b)7333222a +b +c -3abc = (a+b+c)(a +b +c -ab-ac-bc)對照公式 4 相互加強記憶8nnn-1n-2n-32n-2n-1士厶a -b = (a-b)(a +a b+a b + +ab +b ) n=整數(平差公式擴展)(1) 短差長和；(2) a 指數逐項遞減 1;(3)

3、 b 指數逐項遞增 1;(4) 長式每項指數和恒等于n-1。9nnn-1n-2n-3 2n-2 n-1/中a -b = (a+b)(a -a b+a b -+ab -b )門門= =偶數(立差公式擴展)(1) 短式變加長式加減相間；(2) a 指數逐項遞減 1;(3) b 指數逐項遞增 1;(4) 母項付號 b 扌曰數決疋偶加奇減。10nnn-1n-2n-32n-2n-1a +b = (a+b)(a -a b+a b -+ab -b )門門= =奇 數(立和公式擴展)對比公式 9 的異同運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰 當地選擇公式.例 1 分解因式

4、：5n-1 n ,3n-1n+2n-1n+4333 -(1)-2x y +4x y -2x y ;(2)x-8y-z-6xyz;Word文檔解 原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2n-1 n 22 2=-2x y (x n_y )n-1 nn、2,n 2=-2x y (x-y) (x +y).333(2) 原式=x +(-2y) +(-z) -3x(-2y)(-Z)22 2=(x-2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc .本題實際上就是用因式分解的法證明前面給出

5、的公式(6).分析我們已經知道公式33223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正確性，現將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.,33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc3=(a+b)3+c -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多 有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為a +b +c -3abc=7( (十c)-Zab -2bcf

6、U + b+c：l t(a-b) (b-c)3+ Cc a) 7Word文檔顯然，當 a+b+c=O 時，則 a3+b3+c3=3abc;當 a+b+c 0 時，則 a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+ c3 3abc，而且，當且僅當 a=b=c 時，等號成立.如果令 x=a30，y=b30，z=c30，則有等號成立的充要條件是 x=y=z .這也是一個常用的結論.變式練習1分解因式：x15+x14+x13+ -+x4 5+x+1 .分析 這個多項式的特點是：有 16 項，從最高次項 x15開始，x 的次數順次遞減至 0,由 此想到應用公式 an-bn來分解.解因為x16-1=(x-1

7、)(x15+x14+x13+ -x2+x+1)，所以x -1-(E5+ l)(K3+0 + 1.說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(X-1)，再除以(X-1)的技巧，這一技巧在等式變形 中很常用.5 .拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需 要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項 式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多 項式能用分組分解法進行因式分解.Word文檔底龍- C-* + !)

8、( x +- r例 3 分解因式：X3-9X+8.分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法 1 將常數項 8 拆成-1+9 .原式=X-9X-1+93=(X-1)-9X+9 =(X-1)(X2+X+1)-9(X-1)=(X-1)(X2+X-8).解法 2 將一次項-9x 拆成-X-8X. 原式=X3-X-8X+83=(X-X)+(-8X+8) =X(X+1)(X-1)-8(X-1) =(X-1)(X2+X-8).333解法 3 將三次項X拆成9X-8X.i ,33原式=9X-8X-9X+833=(9X-9X)+(-8X+8)=9X(X+1

9、)(X-1)-8(X-1)(X2+X+1) =(X-1)(X2+X-8).解法 4 添加兩項-X+X2.原式=X3-9X+8322 ,=X-X+X-9X+8 =X2(X-1)+(X-8)(X-1)2=(x-1)(x +x-8).說明 由此題可以看出，用拆項、添項的法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定 之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸法 巧性最強的一種.Word文檔變式練習1 分解因式：(1) x9+x6+x3-3 ;(2) (m2-1)(n2-1)+4mn ；4224(3) (x+1)+(x-1) +(x-1);(4) a3b-ab3+a2+b

10、2+1 .解(1)將-3 拆成-1-1-1 .原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)363333=(x -1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2) 將 4mn 拆成 2mn+2mn .原式=(m2-1)( n2-1)+2 mn+2 mn2 2 2 2=m n -m -n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n )2 2=(mn+1) -(m-n)=(mn+m-n+1)( mn-m+n+1).(3) 將(

11、x2-1)2拆成2(X2-1)2-(X2-1)2.Word文檔原式=(x+1)4+2(X2-1)2-(X2-1)2+(x-1)4422422=(x+1)+2(x+1) (x-1) +(x-1) -(x -1)2 2 222=(x+1) +(x-1) -(x -1)2 22 22 2=(2x +2) - (x-1) =(3x + 1)(x +3).(4) 添加兩項+ab-ab .原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)2=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)2=a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b +1)2

12、=a(a-b)+1(ab+b +1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合, 找到公因式.這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗.3 .換元法換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體， 并用一個新的字母替 代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.2 2例 4 分解因式：(x+x+1)(x+X+2)-12.分析 將原式展開，是關于 x 的四次多項式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x 看

13、作一個整體，并用字母 y 來替代，于是原題轉化為關于 y 的二次三項式的因式分解問題了.Word文檔解設 x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-1022=(y-2)(y+5)=(x +x-2)(x +x+5)2=(x-1)(x+2)(x +x+5).說明 本題也可將 x2+x+1 看作一個整體，比如今 x2+x+1=u , 一樣可以得到同樣的結果,有興趣的同學不妨試一試.例 5 分解因式：(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.分析 先將兩個括號的多項式分解因式，然后再重新組合.解原式=(X+1)(X+2)(2X+1)(2X+3)-90=(X+1)(2X+3)(X

14、+2)(2X+1)-90=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-90.令 y=2x2+5x+2，則, 2原式=y(y+i)-90=y +y-90=(y+10)(y-9)2 2=(2x +5x+12)(2x +5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎.變式練習1分解因式：2 2 2(x +4x+8)2+3x(x +4x+8)+2x .解設 x2+4x+8=y，則I ”，2 2原式=y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)2 2=(x + 6x+8)(x +5x+8)2=(x+2)(x+4)(x +5x+8).Word

15、文檔說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式.1.雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 .我們將上式按 x 降幕排列，并把 y 當作常數, 于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關于 x 的二次三項式.對于常數項而言，它是關于 y 的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即：

16、-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對關于 x 的二次三項式分解C )所以，原式=x+(2y-3) 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并 在一起，可得到下圖：它表示的是下面二個關系式:2 2(x+2y)(2x-11y)=2x -7xy-22y ;Word文檔(X-3)(2X+1)=2X2-5X-3;2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 .這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對多項式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 進行因式分解的步驟

17、是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數項 f 分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的 和等于原式中的 ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的 dx.例 1 分解因式：2 2(1) x-3xy-10y +x+9y-2 ;(2) x2-y2+5x+3y+4 ;2(3) xy+y +x-y-2 ;2 2 2(4) 6x - 7xy-3y -xz+7yz-2z .解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)原式=(x+y+1)(x-y+4).(3) 原式中缺 x2項，可把這一項的系數看成 0

18、來分解.原式=(y+l)(x+y-2).原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.2.求根法我們把形如anxn+an-ixn-1+ +aix+ao(n為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式， 并 用f(x),Word文檔g(x),等記號表示，女口252f(x)=x -3x+2 , g(x)=x +x +6，當 x=a 時，多項式 f(x)的值用 f(a)表示.如對上面的多項式 f(x)2f(1)=1 -3X1+2=O;f(-2)=(-2)2-3 X(-2)+2=12 .若 f(a)=O，則稱 a 為多項式 f(x)的一個根.定理 1(因式定理)

19、若 a 是一元多項式 f(x)的根，即 f(a)=O 成立，則多項式 f(x)有一個因式 x-a.根據因式定理， 找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多 項式f(x)要求出它的根是沒有一般法的，然而當多項式 f(x)的系數都是整數時，即整系數 多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根.若既約廿數生是整糸數多應式定理 2f徉血梓曲+也葉譚十応的根，則必有 p 是 ao的約數，q 是 an的約數.特別地，當 ao=1 時，整系數多項式 f(x)的 整數根均為 an的約數.我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解.例 2

20、 分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析這是一個整系數一元多項式，原式若有整數根，必是-4 的約數，逐個檢驗-4 的約數：1，2，土 4，只有f(2)=23-4X22+6 X2-4=0，即 x=2 是原式的一個根，所以根據定理 1,原式必有因式 x-2 .解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2).322原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)2=x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2).解法 2 用多項式除法，將原式除以(x-2),Word文檔所以原式=(x-2)(x2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是

21、-4 的約數，反之不成立,即-4 的約數不一定是多項式的根.因此，必須對 -4 的約數逐個代入多項式進行驗證.變式練習1.分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.分析因為 9 的約數有1,3,9; -2 的約數有1, 土2.所罠帀式旳荀球亂可希 22, 土 I 士!， 土3 J y y絲檢肅 只有近和+是毘式的根，所原式右園式紙一老 區因為：IK-TXS- ；) = *伽十寸-2)所以，原式有因式9X2-3X-2.432解 9x -3x +7x -3x-2=9X4-3X3-2X2+9X2-3X-2232=x (9x -3x-2)+9x -3x-22 2=(9x-3x-2)(x +1)=(3

22、X+1)(3X-2)(X2+1)說明 若整系數多項式有分數根，可將所得出的含有分數的因式化為整系數因式，如上題中的因式+ 丿(愛亠)=X亠一瓷*333?可以化為9X2-3X-2，這樣可以簡化分解過程.總之，對一元高次多項式 f(x),如果能找到一個一次因式(x-a)，那么 f(x)就可以分解為 (x-a)g(x)，Word文檔而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續對 g(x)進行分解了.3 .待定系數法待定系數法是數學中的一種重要的解題法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應 用.在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式 中的某

23、些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數.由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字 母的幾個特殊值，列出關于待定系數的程(或程組)，解出待定字母系數的值，這種因式分 解的法叫作待定系數法.2 2例 3 分解因式：x+3xy+2y +4x+5y+3 .分析由于2 2(X+3xy+2y )=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m 和 x+y+ n 的形式，應用待定系數法即可求出 m 和 n,使問題得到解決.解設2 2X+3xy+2y +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)2 2=

24、X+3xy+2y +(m+n) x+(m+2 n)y+mn ，比較兩邊對應項的系數，則有,rtij+TL=4,m + 2nran = 解之得 m=3，n=1 .所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下.變式練習4321.分解因式：x-2x -27x -44x+7 .分析 本題所給的是一元整系數多項式，根據前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能Word文檔是土 1，7(7 的約數)，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數集，原式沒有一次2 2因式如果原式能分解，只能分解為(x + ax+b)(x+cx+d)的形式.解設原式=(x2+ax+

25、b)(x2+cx+d)432=x +(a+c)x +(b+d+ac)x +(ad+bc)x+bd ，所以有總中總中上二上二-2,b-i- ac -27,ad= 一知由 bd=7，先考慮 b=1，d=7 有a. + c = -2,* ac = -35,7a + c = -44,fa= 7c = J.I所以i , 2 2原式=(x -7x+1)(x +5x+7).說明 由于因式分解的唯一性，所以對 b=-1 ，d=-7 等可以不加以考慮.本題如果 b=1， d=7代入程組后，無法確定 a，c 的值，就必須將 bd=7 的其他解代入程組，直到求出待 定系數為止.本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分

26、解因式.但利用待定系數法，使我們找到了 二次因式.由此可見，待定系數法在因式分解中也有用武之地.四、鞏固練習：1.分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式.i , 2 2 2解 原式=(x+y) -xy -4xy(x+y) -2xy.令 x+y=u，xy=v，則Word文檔原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)422=u -6u v+9v =(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)22 2 2=(x -xy+

27、y ).五、真題精解：321)已知多項式 ax+bx +cx+d 除以 x-1 時的余數是 1，除以 x-2 時的余數是 3,那么，它除以(x-1)(x-2)時 所得的余數是什么？(第 12 屆“希望杯”試題)解：設原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+ n)，當 x=1 時，原式=1，即 m+n=1 ;當 x=2 時，原式=3，即 2m+n=3 ， 解此關于 m、n 的程組得 m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)時的余數為 x-12 22)k 為值時，多項式 x -2xy+ky +3x-5y+2 能分解成兩個一次因式的積？(天津市競賽試題)2解： 原式中不含 y 的項為

28、 x +3x+2 可分解為(x+1)(x+2)， 故可設原式=(x+1)+ay(x+2)+by， 將其展開得：x +(a+b)xy+aby+3x+(2a+b)y+2，與原式對比系數得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得 a=-3,b=1,k=-332_.3)如果 x +ax +bx+8 有兩個因式 x+1 和 x+2，求 a+b 的值。(美國猶他州中學競賽試題)32解法 1:設原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展開后得：x +(3+k)x +(3k+2)x+2k，對比原式系數得 a=3+k, b=3k+2, 8=2k，所以 a+b=4k+5=16+5=21解法 2:因當 x=-1 或 x=-2 時，原式=0，分別代入后得 a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得 a=7, b=14 ，故 a+b=14真題實練：1下列四個從左到右的變形中，是因