1、.蒀袀螃膀薂蚃肂腿節(jié)衿羈膈莄蟻襖膈蕆袇螀芇蕿蝕肈芆艿蒃羄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂節(jié)蒞蕿肁節(jié)蕆螅羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莂薆肈莈薄螁肄莇蚆蚄羀莇莆衿袆羃蒈螞螁羂薁袈肀羈芀蟻羆肀莃袆袂肀蒅蠆螈聿蚇蒂膇肈莇螇肅肇葿薀罿肆薁螅裊肅芁薈螁肄莃螄聿膄蒆薇羅膃薈螂袁膂羋薅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿節(jié)衿羈膈莄蟻襖膈蕆袇螀芇蕿蝕肈芆艿蒃羄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂節(jié)蒞蕿肁節(jié)蕆螅羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莂薆肈莈薄螁肄莇蚆蚄羀莇莆衿袆羃蒈螞螁羂薁袈肀羈芀蟻羆肀莃袆袂肀蒅蠆螈聿蚇蒂膇肈莇螇肅肇葿薀罿肆薁螅裊肅芁薈螁肄莃螄聿膄蒆薇羅膃薈螂袁膂羋薅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿節(jié)衿羈膈莄蟻襖膈蕆袇螀芇蕿蝕肈芆艿蒃羄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂節(jié)蒞蕿肁

2、節(jié)蕆螅羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莂薆肈莈薄螁肄莇蚆蚄羀莇莆衿袆羃蒈螞螁羂薁袈肀羈芀蟻羆肀莃袆袂肀蒅蠆螈聿蚇蒂膇肈莇螇肅肇葿薀罿肆薁螅裊肅芁薈螁肄莃螄聿膄蒆薇羅膃薈螂袁膂羋薅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿節(jié)衿羈膈莄蟻襖膈蕆袇螀芇蕿蝕肈芆艿蒃羄芅蒁蚈羀芄薃薁袆 水力學(xué)中常用的基本計(jì)算方法水力學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些高次方程，微分方程的求解問(wèn)題。多年來(lái)，求解復(fù)雜高次方程的基本方法便是試算法，或查圖表法，對(duì)于簡(jiǎn)單的微分方程尚可以用積分求解，而邊界條件較為復(fù)雜的微分方程的求解就存在著較大的困難，但隨著計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展及計(jì)算機(jī)的廣泛使用，一門(mén)新的水力學(xué)分支計(jì)算水力學(xué)應(yīng)運(yùn)而生，但用計(jì)算機(jī)解決水力學(xué)問(wèn)題，還需要了解一些一般的計(jì)算方法

3、。在水力學(xué)課程中常用的有以下幾種，現(xiàn)分述于后。 一、高次方程式的求解方法：（一）二分法1、二分法的基本內(nèi)容：在區(qū)間X1，X2上有一單調(diào)連續(xù)函數(shù)F（x）=0，則可繪出F（x）關(guān)系曲線。如果在兩端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)即F（x）F（x2）0，（見(jiàn)圖（一），則方程F（x）=0，在區(qū)間X1，X2之間有實(shí)根存在，其根的范圍大致如下：取1若F（x2）F（x3）0， 則解X1，X3 2若F（x2）F（x3）0， 則解X3，X23若F（x2）F（x3）=0， 則解=X3 對(duì)情況1，可以令x2=x3，重復(fù)計(jì)算。 對(duì)情況2，可以令x1=x3，重復(fù)計(jì)算。 當(dāng)規(guī)定誤差之后，只要|x1-x2|，則x1(或x2)就是方程F(x)

4、=0的根。 顯然，二分法的理論依據(jù)就是高等數(shù)學(xué)中的連續(xù)函數(shù)介值定理。它的優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)單，其收斂速度與公比為的等比級(jí)數(shù)相同；它的局限性在于只能求實(shí)根，而不能求重根。 2、二分法的程序框圖(以求解明渠均勻流正常水深為例)最后必須說(shuō)明，二分法要求x2值必須足夠大，要保證F1F20，否則計(jì)算得不到正確結(jié)果。為了避免x2值不夠大，產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤，在程序中加入了判別條件F1F20。也可以給定xJ及步長(zhǎng)x，讓計(jì)算機(jī)選擇x2(x2=x1+x)。(二)牛頓法，1、牛頓法的基本內(nèi)容：設(shè)有連續(xù)函數(shù)F(x)=0，則可以繪出F(x)x關(guān)系曲線，選取初值xo，過(guò)點(diǎn)（xoF(xo)）作一切線，其斜率為輔F（xo），

5、切線與x軸的交點(diǎn)是x1，則有：再過(guò)(x1，F(xiàn)(x1)作切線，如此類(lèi)推得到牛頓法的一個(gè)迭代序列：xn+l=xn-F(xn)/F(xn)，令xn=xn+1，重復(fù)計(jì)算，直至滿足給定的精度要求，即|xn+1-xn|，從而得到方程F(x)=0的根。牛頓法具有平方收斂速度，比較快，但計(jì)算工作量大，每次運(yùn)算除計(jì)算函數(shù)值外，還要計(jì)算微商值。對(duì)于牛頓法來(lái)講，只要F(x)在零點(diǎn)附近存在連續(xù)的二階微商，是F(x)的一重零點(diǎn)，且初值xo充分接近于，那么牛頓迭代就一定收斂。2、牛頓迭代法的程序圖框可以參看臨界水深計(jì)算程序。(三)迭代法xn+1=(xn)xn=xn+11、迭代法的基本內(nèi)容：設(shè)有一方程F（x）=0，可以寫(xiě)成

6、等價(jià)形式x=(x)，再做迭代式xn+1=(xn),只要給定初始值xo，用式子 進(jìn)行反復(fù)運(yùn)算，就可以得到了個(gè)序列xn。如果序列xn收斂，并假設(shè)= xn+1=（xn）=()也就是說(shuō)是方程F(x)=0的根。一般可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)人為地規(guī)定精度，認(rèn)為當(dāng)|xn+1-xn|時(shí)，xn+1或xn就是方程的根。y=(x)y=x從上面可以看出，迭代法的實(shí)質(zhì)就是把方程F(x)=0的根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求迭代序列xn的極限問(wèn)題，迭代過(guò)程的幾何意義就是求兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)正好就是方程的解。但是，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代計(jì)算，最關(guān)鍵的問(wèn)題就是要構(gòu)造出正確的迭代計(jì)算公式；如果構(gòu)造的迭代計(jì)算公式不適當(dāng)，或者初值給的不合適，則都

7、可能導(dǎo)致計(jì)算不收斂或者發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤。例如，泄水建筑物下游收縮水深的計(jì)算，其基本數(shù)學(xué)公式是： 若進(jìn)行迭代計(jì)算選用如下公式： （hc1為初值）則只要初值hc10，Eo，則計(jì)算結(jié)果均收斂于正確解。如若選用迭代公式，。只要初值hc10，則計(jì)算均收斂，但收斂于下游一個(gè)較大的淹沒(méi)水深，并非正確解，發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤。在非棱柱體明渠水面線計(jì)算中，同樣存在這一問(wèn)題。可見(jiàn)迭代公式選擇的重要性。 迭代公式的收斂性可以用下述定理描述：把方程F(x)=0改寫(xiě)成x=(x)，如果(x)滿足lipschitz條件：即對(duì)任意的x1和x2，都有|（x1）-（x2）|L|x1-x2|，其中L為一與x1和x2均無(wú)關(guān)的正常數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)李氏常數(shù)

8、)；若L1，則迭代收斂，收斂的準(zhǔn)確解為，其收斂速度為：|xn-|高次方程的解往往不是一個(gè)，因此構(gòu)造出迭代公式，并判定其收斂之后，尚要根據(jù)問(wèn)題的背景及實(shí)際情況對(duì)收斂解進(jìn)行分析討論，確認(rèn)為是真解方可，否則，尚需修改初值或重新構(gòu)造迭代公式。2、迭代法的程序框圖可以參看水躍水力計(jì)算程序。本程序集中迭代法應(yīng)用較多，主要原因是迭代法思路簡(jiǎn)單明了，收斂較快，程序也短。二、插值法和數(shù)據(jù)擬合法插值法和數(shù)據(jù)擬合法都是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表(如水位流量資料)，設(shè)法尋找一個(gè)解析形式的函數(shù)(x)，來(lái)近似地代替這些數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系f(x)。但插值法和數(shù)據(jù)擬合法之間又有不同之處。插值法要求求得的插值函數(shù)y=(x)在插值結(jié)點(diǎn)陣字庫(kù)

9、x1上都滿足yi=(xi)，即要求插值函數(shù)曲線通過(guò)所有的插值結(jié)點(diǎn)(xi，yi)，但一般的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中總是有觀測(cè)誤差存在，因此曲線y=(x)通過(guò)所有的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)會(huì)使曲線保留全部的觀測(cè)誤差的影響，這是我們所不希塑的。數(shù)據(jù)擬合法則克服了這點(diǎn)不足，它不要求曲線(x)通過(guò)所有的點(diǎn)(xi，yi)，僅要求曲線和數(shù)據(jù)之間存在著較高的相關(guān)系數(shù)即可。關(guān)于插值法和數(shù)據(jù)擬合法的具體內(nèi)容可參看有關(guān)方面的書(shū)籍。本程序集中，插值法及數(shù)據(jù)擬合法均有應(yīng)用，例如，實(shí)例二中，上游水位與過(guò)水?dāng)嗝婷娣e之間的關(guān)系就是應(yīng)用分段線性插值得到它的分段函數(shù)表達(dá)式的；再如，較多的查圖或者查表計(jì)算問(wèn)題，我們都是應(yīng)用數(shù)據(jù)擬合法求出它的函數(shù)式，應(yīng)用的程序是熊

10、運(yùn)章教授的EDPS程序，分析得出的擬合曲線其相關(guān)系數(shù)均在0.99以上。三、數(shù)值積分法1、數(shù)值積分法的基本內(nèi)容：在區(qū)間a、b上定義的黎曼可積函數(shù)f(x)，由于f(x)可能以表格形式給出，也可能f(x)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)描述，因此直接積分存在著困難，但我們可以通過(guò)插值先構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式P(x)去逼近被積函數(shù)f(x)，并以P(x)在區(qū)間a、b上積分去代替f(x)在區(qū)間a、b上的積分，即，其中P(x)是比較容易積分的代數(shù)多項(xiàng)式。最常用的P(x)函數(shù)有如下兩種形式：(1)P(x)為一條過(guò)兩端點(diǎn)的直線，其函數(shù)形式是：，從右圖可以看出，這實(shí)質(zhì)上是用直角梯形面積去代替邊梯形的面積，故稱(chēng)為梯形求積公式(2)P

11、(x)為一條過(guò)兩端點(diǎn)及其中點(diǎn)的拋物線，它的函數(shù)形式是： 從右圖可以看出，這實(shí)質(zhì)上是以拋物線圍成的曲邊梯形面積代替原f(x)所圍成的曲邊梯形面積，故稱(chēng)之為拋物線求積公式，也稱(chēng)辛浦生公式。為了提高精度，常將區(qū)間a，b分為足夠多的N等分，然后求各個(gè)小部分的和。2、數(shù)積積分的程序框圖可以看棱柱體明渠水面線計(jì)算程序。四、直接差分法直接差分法是以偏差商代替偏導(dǎo)數(shù)，把基本的微分方程化為差分方程，在自變量域st平面上建立差分網(wǎng)格，根據(jù)問(wèn)題的初始條件及邊界條件，求得各網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的近似解。直接差分法的差分網(wǎng)格形式有好幾種，不盡相同，各種形式所要求的步長(zhǎng)也不一樣，再者，差分方程還存在著相客性，收斂性，穩(wěn)定性問(wèn)題，比

12、較復(fù)雜，讀者可參考有關(guān)方面的專(zhuān)著。直接差分法的程序例子可以看清華大學(xué)水力學(xué)下冊(cè)。五、有限單元法有限單元法的基本思想是將微分方程的定解問(wèn)題(包括邊值和初值問(wèn)題)通過(guò)變分途徑化為求泛函數(shù)的極值問(wèn)題；然后將求解區(qū)域分割為許多小單元，通過(guò)區(qū)域剖分和分片插值，把求泛函數(shù)極值的問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解問(wèn)題，解此代數(shù)方程組就可以得到問(wèn)題的解答。關(guān)于代數(shù)方程組的解法，對(duì)于線性代數(shù)方程組常見(jiàn)的有高斯消去法，LU分解法，迭代法等，對(duì)于非線性方程組常見(jiàn)的有牛頓迭代法等。多有現(xiàn)成程序可供利用。有限單元法的程序例子可以參看清華水力學(xué)下冊(cè)。 芇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肅肅芃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膃膇蕿薀聿膆蟻裊羅膅莁蚈袁膄蒃襖螆膃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莈蚅袇芁蒀袀螃芀螞蚃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肅肅芃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膃膇蕿薀聿膆蟻裊羅膅莁蚈袁膄蒃