1、2019屆安徽省合肥市高三第二次教學質量檢測數學理試題一、單項選擇題4(1 .設復數了滿足-1+,則E在復平面內的對應點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】先對復數/進行化簡，進而可得到它在復平面內對應點的坐標，從而可得到答案。【詳解】4i41(1-i)4i+47="/2+2f由題意，'1+i(1+0(i-0?'，故上在復平面內對應點為(2,2),在第一象限，故選A.【點睛】此題考查了復數的四則運算，及復數的幾何意義，屬于基礎題。A=+2<012 .假設集合1，目=國一<亡2,則,408二A.1-2-2)B,(-14C.I

2、T1)Di©【答案】C【解析】求出集合人然后與集合以取交集即可。【詳解】U = x-l<x<2)則A=x-<0=x|-2<x<1由題意，5m?=w-Kx<1|,故答案為c.【點睛】此題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題。y=z*,且經過點PQ6.4)【答案】C匕二1B.D.匕=14二九力。)L_+J【解析】由雙曲線d/的漸近線為-a,可得到a,，又點616E&G4；在雙曲線上，可得到，,聯立可求出雙曲線的方程。【詳解】x2 yz雙曲線 的漸近線為y =± -xa ,則一616a2b2又點P(t&#

3、163;4；在雙曲線上，則解得鼠=2,獷=8,故雙曲線方程為2故答案為C.【點睛】此題考查了雙曲線的漸近線，考查了雙曲線的方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎題。4.A.C.在山中,TT-Ali + -AC 44- 1 -BD=-DC -,則/D=1 _2 .TH + -AC 33如以下圖,，故答案為B.，在曲。上分別取點從尸使得麻=2M院【點睛】JRf”1'【解析】在jB/C上分別取點氏F,使得一一，,21即可得到答案。%辦=弁片+aT=-ar+-Ac可知八七如為平行四邊形，從而可得到3【詳解】M=-Dt2此題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題。5.下表是某

4、電器銷售公司2018年度各類電器營業收入占比和凈利潤占比統計表:空調類冰箱類小豕電典其它類營業收入占比90.10%4.98%Ho%凈利潤占比95,00%一。.48%區麗0.86馳則以下判斷中不正確的選項是A.該公司2018年度冰箱類電器營銷虧損B.該公司2018年度小家電類電器營業收入和凈利潤相同C.該公司2018年度凈利潤主要由空調類電器銷售提供D.剔除冰箱類電器銷售數據后，該公司2018年度空調類電器銷售凈利潤占比將會降低【答案】B【解析】結合表中數據，對選項逐個分析即可得到答案。【詳解】因為冰箱類電器凈利潤占比為負的，所以選項A正確；因為營業收入-成本=凈利潤，該公司2018年度小家電類

5、電器營業收入占比和凈利潤占比相同，而分母不同，所以該公司2018年度小家電類電器營業收入和凈利潤不可能相同，故選項B錯誤；由于小家電類和其它類的凈利潤占比很低，冰箱類的凈利潤是負值，而空調類凈利潤占比到達95£°馳，故該公司2018年度凈利潤主要由空調類電器銷售提供，即選項C正確；因為該公司2018年度空調類電器銷售凈利潤不變，而剔除冰箱類電器銷售數據后，總利潤變大，故2018年度空調類電器銷售凈利潤占比將會降低，即選項D正確。故答案為B.【點睛】此題考查了統計表格的識別，比例關系的判斷，實際問題的解決，屬于基礎題。/41/（X）-25宙卜+-1-1-6.將函數"

6、1的圖象上各點橫坐標縮短到原來的2縱坐標不變得到函數9。）的圖象，則以下說法正確的選項是A.函數叼的圖象關于點1對稱b.函數的周期是上（0.-）c.函數成,）在1上單調遞增D.函數9(幻在卜上最大值是【答案】C【解析】先求出的表達式，然后結合選項分別判斷它的對稱中心，周期，單調性,是否有最值，即可得到答案。【詳解】1n7Tr-a(x)=(2x+-1-1x=將函數(r)橫坐標縮短到原來的2后，得到八'6，,當12時,n7"一記)"一【即函數9(為的圖象關于點12'一"對稱，故選項A錯誤；周期27rT - 7TL 2,故選項單調遞增，故選項B錯誤；當卜

7、時產氣巴引71C正確；因為函數 三I在上單調遞增，所以I-3-1 (O, 即函數9(外在 6上沒有最大值，故選項D錯誤。故答案為C.【點睛】此題考查了三角函數的伸縮變換，考查了三角函數的周期、對稱中心、單調性及最值, 考查了學生對基礎知識的掌握情況。方十 = 1(口8口)7.已知橢圓« b的左右焦點分別為1丘，右頂點為中，上頂點為B,以線段/*為直徑的圓交線段F1"的延長線于點P,假設四"P ,則該橢圓離心率是再過3隹A. TB.反C.伉D.T【答案】D【解析】由點r在以線段X為直徑的圓上，可知”明，再由1r可得1&F,且& FiQ"是等

8、腰直角三角形，結合=用。| =匚，所以匕X ,可求出離心率。【詳解】萬V AAP I PF因為點,在以線段1為直徑的圓上，所以I又因為花丹竹，所以又因為F冽刁形，久F F R所以 1 2是等腰直角三角因為 1mW=q 所以J所以該橢圓的離心率士一口一2.【點睛】此題考查了雙曲線的性質，考查了離心率的求法，考查了學生的計算求解能力，屬于基礎題。8.某部隊在一次軍演中要先后執行六項不同的任務，要求是：任務/必須排在前三項執行，且執行任務金之后需立即執行任務后'任務g、任務。不能相鄰.則不同的執行方案共有A.36種B.44種C.48種D.54種【答案】B【解析】分三種情況，任務A排在第一位時

9、，E排在第二位，任務A排在第二位時，E排在第三位，任務A排在第三位時，E排在第四位，結合任務B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案。【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F,如果任務A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好B、C,再在B、C之間的3個空位中插入D、F,此時共有排列方法：夠（”三如果任務A排在第二位時，E排在第三位，則B,C可能分別在A、E的兩側，排列方法有&須可能都在A、E的右側，排列方法有達1士；如果任務a排在第三位時，e排在第四位，則b,c分別在a、e的兩側所以不同的執行方案共有12+12+4+16=44種.【點睛】此題考查了排

10、列組合問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題。9,函數小0=*+圈皿的圖象大致為【解析】先判斷函數fa)為偶函數,然后通過構造函數f'二陽陵)，g+,可判斷。(刈是單調遞增函數，從而可得到£>n時，g虱0)二o,即可判斷工>。時,f(x)=xg(x),/(x)=tf(x)+a(x)>0,從而可確定/(#)在6+8)上單調遞增，即可得到答案。【詳解】因為/(-幻=/一右所(T)=/+右加=八/，所以為偶函數，選項B錯誤,2I-jfW=x+xsinx=x(x+式靠沖，令成力=X+finx,則gM=1+s*之fl恒成立,所以幻是單調遞增函數，則當r>0時

11、，或x)>g(0)=U故工>0時/(幻=即/=虱的+癡>。,即/O)在回，+8.上單調遞增，故只有選項A正確。【點睛】則該多面體各外表所在此題考查了函數圖象的識別，考查了函數的單調性與奇偶性，屬于中檔題。10.如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,平面互相垂直的有帕袋西B. 3對A.2對C. 4對D.5對【答案】C【解析】畫出該幾何體的直觀圖-ABCD,易證平面AD1平面dBC。，平面PCD1平面產AD,平面平面尸力以，平面P4B，平面尸CD,從而可選出答案。【詳解】該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如以下圖所示，易知平面作POLAD于O,則有PO,平面ABCD,PO

12、XCD,又ADLCD,所以，CD,平面PAD,所以平面IP。1平面P'。，同理可證：平面P&占1平面凡4D,由三視圖可知：PO=AO=OD,所以，APXPD,又APLCD,所以，APL平面PCD,所以，平面平面陋，所以該多面體各外表所在平面互相垂直的有4對.【點睛】此題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明,屬于中檔題。11.垛積術”隙積術是由北宋科學家沈括在夢溪筆談中首創，南宋數學家楊輝、元代數學家朱世杰豐富和發展的一類數列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如下圖的菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上

13、一層多1件，最后一層是八件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的?1。仆-2。0的1a單價是上一層單價的I。.假設這堆貨物總價是萬元，則力的值為A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為92 x 10萬元，第三層貨3x（）n-（）物總價為1。萬元，第月層貨物總價為L1。萬元，可設這堆貨物總價為WI9W = 1 + 2 X + 3 X10利用錯位相減法可求出印的表達式，結合100-20。一） 口1。可求出答案。【詳解】由題意，第一層貨物總價為 i萬元，第二層貨物總價為均萬元，第三層貨物總價為9 29“'（蘇萬元， 第葡層貨

14、物總價為”1口） 萬元,設這堆貨物總價為w萬元，則99W = 1+ 2x + 3x(一)1010999 1W = -10n ()'* + 100-100，(一尸=100-200(),1 則萬元，從而可得到故選D.【點睛】利用錯位相減求和是解決此題的關鍵，考查了學生利用數列知識解決應用問題的能力,屬于中檔題。12,函數1（*）=fpx-I在電1）內有兩個零點，則實數0的取值范圍是A.C T'Wd?B.Q-皿 U(O-l)【答案】D11口i工11【解析】設5=1則y12如|在L亍2）內有兩個零點，即函數1一 1 -C- +1又sT）= d -e2 =一爪。，故g（t）是奇函數，可畫

15、出g（t）的圖象如以下圖Jj<A - f 2frtet 之。）顯然函數h© =迦是偶函數,I I - 1-2她任<0）,當b+0時，可作出h©的圖象，顯然匚二9是兩個函數圖象的一個交點，si112<2i»<pl = 2（e-l）1I岫二”“一/與九=2bt的圖象在（一強,內有兩個交點，易知函數111+t-1t=_三置一/是增函數，可求出它在叵二g時的切線斜率，及.z時的坐標，從而可2M匕 <2b <即滿足題意，結合兩個函數的對稱性，可推出當知忙衛時,2 匕 < 2'c【詳解】從而可得到答案。由題意，設*2則>

16、=>-ej. 寧 云. t= -of-1 =后一1-00（0） = 9 +e =2%相當2 時，2， ，故2即當匕 時，施也wrl, 同理，當可得 當b = U時，顯然不滿足題意，故綜上，1L力 < 一一匹或把（占時, 即函數/=2"1一加2工-1在0,1）內有兩個零點。故答案為D.-2如|在'2'5）內有兩個零點，FliITVI亍4s亍Tf即一e2b|£|=U在2N內有兩個解,i+1工11則函數=-一1與W）三2班|的圖象在內有兩個交點，1內有兩個解,=e+>0,即©«在R上單調遞增，If（0【點睛】此題考查了函數的零

17、點問題，考查了導數的應用，考查了學生的邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題。二、填空題13 .設等差數列0口的前科項和為【答案】2ja2Uy+d=3【解析】利用等差數列的性質，可得到（=4+6d=16,即可求出公差。【詳解】h出=%+d=3嚴1=1由題意，&=灼+6d=16解得（d=2.故【點睛】此題考查了等差數列的性質，考查了計算能力，屬于基礎題。srn-+a14.假設12/3|則皿2+儂”.4n12$加（一+a）=cflscr=【解析】由cos2ot+cosa=2co*a-1+coaa，而23代入計算即可【詳解】n1sin（-+ a） - c05G -kJ得到答案。21214cos

18、2a+cosa-2cosa-1+cosa=2x勺）-1+-=【點睛】此題考查了三角函數的恒等變換，及三角函數誘導公式的運用，考查了學生的計算求解能力，屬于基礎題。tt【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：各項都是正數；和或積為定值；等號取得的條件。4-i12+-15.假設口+ b*°,則"的最小值為【答案】虛【解析】由基本不等式，可得到(?+的+(a2十b2)+£j2+2ab(a+b)a£ + h之=221(a+bf1ffla+8.+之-*2_包+b)22切2、4可得到最小值，要注意等號取得的條件。里三如寸所以9 +2【解析】設48c所在截面圓的

19、圓心為氣庖中點為D,連接皿“也,易知"'"的即為二面角。一山7一。的平面角，可求出"a%"及叫，然后可判斷出四面體外接球的球心L在直線1上，在2中，1_12211口+。)1Q +b +戶5十2(a + 6)22 Ca + by時取等號， ZI a2 + H + 1所以當u = & = 2*時，(a + b)?取得最小值”區.,結合口1H=Jr2一口心BE=凡仃否=1*一,國；可求出四面體0閩?。的外接球的半徑R.【詳解】設A所在截面圓的圓心為仇,入日中點為D,連接口"以”，OA=OB,所以，ODLAB,同理OiDAB,所以，即為

20、二面角|。一,月一門的平面角，£0嗎=60。因為0,1=0=4,胃里=4/,所以迪是等腰直角三角形，JOR二碰,0D在見中，由cos60o=Of),得。/二逗,由勾股定理，得：因為Oi到A、B、C三的距離相等，所以，四面體以艙外接球的球心E在直線咆上,設四面體。人日。外接球半徑為R,在砒 阿。陰一。屋一訥=&gRe = R，®e二出一狗【點睛】此題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題。三、解答題17 .在 加"中，角所對的邊分別為口J,"fsin A + sin B -sinAsinB = 2

21、cstnc山"的面積心血MfiC周長的取值范圍.2n f.=7T4 + /? = -,3 ,可得到sinA + sinh + sine sinH + s 加八)+sin(A H) +32 ,進而可求出周長的范圍。【詳解】解：I由5 = abc =可知2c二沏CE27r/爐2+4彳nB41S=abc=-absinC.【解析】I由2可得到國=,代入sin2A+sin2B+sinAsInB=IcstnC,結合正弦定理可得到a2+b2+ai)=c2,再利用余弦定理可求出的值，即可求出角匚；n由=并結合正弦定理可得到1口+b+匚=7"(sin4+sinB+sinC)Zab由余弦定理得

22、a2+b2-c2n由I知 2c = sin .2a=克口/l 2b 后EE|277-J777sinA+sinb十箏加45mH=5mQ由正弦定理得“+b+ah=cZttC=ABC的周長為.短川:I的周長的取值范圍為2, 41a+c=-(sin/l+sinR+sinC)【點睛】此題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用，考查了三角形的面積公式，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題。18.如圖，三棱臺"C-"6的底面是正三角形，平面施,平面噸&以三26BF二CHI求證：AfilCG；n假設BC=C"求直線百£|與平面修£。所成角

23、的正弦值.陽【答案】I見證明；n4【解析】I取的中點為a,連結D&易證四邊形。DFG為平行四邊形，即。G/DF,由于二CF,口為目。的中點，可得至ij些_L里:，從而得到迎1縣即可證明匕石上平面ABC,從而得到CGJ.AB；n易證DB,兩兩垂直，以0B,D司，DA分別為X,AE - n網即可得到答案。£許由，建立如下圖的空間直角坐標系Dxyz,求出平面BEG的一個法向量為后二（H"）,卜/日=畫5|=|設AE與平面BEG所成角為8,則【詳解】解：I取EC的中點為。，連結".由加CiFG是三棱臺得，平面/股“平面EF。從而生/"回CD/GF|C八2

24、GF,.二，四邊形為平行四邊形，CG/匕撲二5U為題的中點,.F1U".。1因平面坐，平面3CCF,且交線為PC,匚平面CG上平面ARC，而4RU平面工斤匚，匡.川.n連結由必SC是正三角形，且。為中點，則也工比.由I知，貝,平面陋，區Z畫,.WFJMD叫山：區兩兩垂直.以DB,加，"分別為三"z軸，建立如下圖的空間直角坐標系Dt”.設B£=，則以孫（一2巡孚，見1,0，無1立0）,設平面BEG的一個法向量為以=（陽乂4由tsri =。可得,2x + J3y = 03=-x + -ZO令工=3則匕=wi2 =-1, . . M 二3與2-1).設AE與平

25、面BEC所成角為0,則sinO = | 匚AEnI- - T依埒同【點睛】此題考查了空間幾何中，面面垂直的性質，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學生的邏輯推理能力與計算求解能力，屬于中檔題。19.某種大型醫療檢查機器生產商，對一次，f購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修優惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫院準備一次性購買2臺這種機器.為此搜集并整理了50臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，得下表

26、：維修次數0123臺數5102015以這50臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發生的概率.記*表示這2臺機器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數n以方案一與方案二所需費用的期望值為決策依據，醫院選擇哪種延保方案更合【答案】I見解析；n選擇延保方案二較合算【解析】I又所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,分別求出對應的概率，列出分布列即可；n求出兩種方案下所需費用的分布列，然后分別求出對應的期望值，比較二者的大小即可選出最合算的方案。解：IX所有可能的取值為 0,1, 2, 3, 4, 5,6,p(x=o) = x -=1U 10 100P(X = 1) = x-x2= -ID 5

27、2511213P(Af=2)=-x-+-XX2=5551025P(X = 3)=10 10Ill50= 4) = - X 4 X X 2 = 5 5 10 52533(X - (j) X 10 10-10720236(X5)=XX2上1-x的分布列為僅012345611|311176|9P100J-J255023100n選擇延保一，所需費用修元的分布列為:70009000110001300015000D1711769i|ioo府?5251001711769=X7000+X90004-X11000+X13000+2525100V選擇延保二，所需費用:元的分布列為:100

28、001100012000g67100291006769元=X10000+-X11000+X12000=10420t10025100石片)酊.該醫院選擇延保方案二較合算【點睛】此題考查了離散型隨機變量的分布列，考查了概率的計算，考查了期望的求法，屬于中檔題。20.已知拋物線qx2-2py(p>0)上一點到其焦點|F的距離為I。.I求拋物線匚的方程;n設過焦點廠的直線!與拋物線C交于4,B兩點,且拋物線在4,日兩點處的切線分別交畤由于P,Q兩點，求乂戶|一的取值范圍.【解析】I由拋物線的定義，可得到,即可求出P,從而得到拋物線的方程；n直線R的斜率一定存在，可設斜率為A,直線'為+i

29、,1y = k% + 1由1 # = 4y可得X 4Ax4 = 0 叫 + 金=y = -x2,然后對一4 一求導，可得到的斜率及方程表達式，進而可表示出BPI,同理可得到WQll的表達式,然后對Mp|,舊QI化簡可求出范圍。【詳解】解：I已知附(mH)到焦點F的距離為io,則點M到準線的距離為I。.拋物線的準線為解得p=".拋物線的方程為n由已知可判斷直線1的斜率存在，設斜率為4V 消去V得，r-4kx-4 = 01工._1X1由于拋物線C也是函數'"的圖象，且,=2X,則尸月：y-4"2"”一"".令¥ = 0,

30、解得“聲四1 二 *&(4+蠟)同理可得,網1=典飛十屈q、APBQ=j(/盯/(4+叼4+交2)=+4(匯/+x2.心26,.府卜西的取值范圍為£+8.【點睛】此題考查了拋物線的方程的求法，考查了拋物線中弦長的有關計算，考查了計算能力，屬于難題。21.已知函數f(Q=咐+1)1眸+1)二/-皿口>°.：是減函數.I試確定/的值;ln(n+l)n已知數列“/，娘n+1,幾=en;,求證：M(n+2)rn<l>3.【答案】I口二2n見證明【解析】I求導得八工)=+1)-2,由八力是減函數得，對任意的工E(-L+g),都有f幻=41)笈<。恒成立

31、，構造函數。三田隊X+1)2工，通過求導判斷它的單調性，令其最大值小于等于0,即可求出a;n由自外是減函數，且/0)二°可得，當生。時，fG)<0,則fS)<0,即ln(n+1)1nn+22(n+l)ln(l+n)<n2+Zn兩邊同除以2(兀+】了得«+12EE11123n345n+2a<-丁口一,-7-7)(-“-'"T-r)即L2門士1"1從而2rt234曜+123471tl,兩邊取對數/n(n + 2)rJ<M7L2-I()=2ln(n + 2)-Zn(n + l)-(n + l)Zn2,然后再證明71Z/n(

32、n + 2)+ 1) (u + 1)出2 + 1 < 0' 一之恒成立即可，構造函數Xh(x) = 2ln(x + 2)-in(x + l)-(x + l)bi2 + -1，通過求導證明H<。即可。【詳解】解：I外的定義域為（1,+8，也為=山力（t+1）".由（幻是減函數得，對任意的國-L+8),都有=aln(x+D-2X<u恒成立.咆在上單調遞增，在時，9r。）0;上單調遞減,g在lt =32 時取得最大值.又.或0) = 0, .對任意的HE (-L +）=,虱。）恒成立，即。的最大值為口.a匚i-a2一解得工=2.n由/W是減函數，且（0）=。可得，

33、當工。時，（幻0Q<。，即28+D1n(l+n)<n123 n 345H+2% ”逆雙(而弓與4 E)勺3:一)y = x + - s 、. 工在I4+ 8上單調遞增,/在2 + 8；上單調遞減，=-(2-3irt2) = -(2-infl) < 0 kJhJ,當15Al2,+ m ）時，W C算） °恒成立,川劉在2+ 8上單調遞減,+2nln(n+1)1肛n+兩邊同除以2（月+1）?得,<_,'n+i2i+ln+l,即1nn+2d<-'-“2n+1n+1從而1n+2=2T1+1H+1所以Mi小喈;為=2£n(n+2)-fn(n+l)-(n+l)_!n2W卜面證Zf?t(打+2)In(n+1)(n+1<(J1 . 11 (n2 + j22x + + 3X鼠=2t