1、1彎曲內力作業2解：任一截面處的扭矩：mx)x(Tx由 得微元的變形能為pnGIlMV22ppGIdxxmGIdxTdV22222lppGIlmGIdxxmV0322262 dddxGITdddxGVRlpRl2000222000222或或330kNmxFs(x)+30kNM(x)127.5kNm37.5kNm4-2(b)15kN/m45kN430kN30kN40kN30kNm10kN10kNxFS(x)+30kN10kNM(x)+30kNm15kNm4-2(h)解：解：求約束反力 N C =30kN N D =10kN5q1.5qa1.5qa1.5qa1.5qaM(x)+8212qa232q

2、aFS(x)+1.5qa1.5qa1.5qa1.5qa4- 3(c)解：解：求約束反力 N A =1.5qa N B =1.5qa64-3(d)解：解：求約束反力 N A = N B =m2m2mam3am3am3am3FS(x)am3M(x)2m2m3m34 m7kN10kN202m3mABC4-15(a)20kNmM 圖20kNm80kNm20kN+FS 圖10kN+N 圖10kN8彎曲應力9414243 44 梁橫截面上的正應力、梁的正應力強度條件梁橫截面上的正應力、梁的正應力強度條件4546 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩第四章第四章 彎曲應力彎曲應力 101、純彎曲

3、時梁橫截面上的正應力、純彎曲時梁橫截面上的正應力內力剪力Fs 切應力 彎矩M 正應力s s4 44 4 梁橫截面上的正應力、梁的正應力強度條件梁橫截面上的正應力、梁的正應力強度條件11平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無Fs的情況)平面彎曲時橫截面 剪切彎曲橫截面上既有Fs又有M的情況2、研究方法、研究方法縱向對稱面縱向對稱面P1P2例如：12 某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABFsMxx純彎曲純彎曲(Pure Bending):131.梁的純彎曲實驗 橫向線(ac、bd）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變為曲線，且上縮下伸；橫向線與縱向

4、線變形后仍正交。（一）幾何方面（一）幾何方面I I、 純彎曲時梁橫截面上純彎曲時梁橫截面上的正應力的正應力中性層中性層縱向對稱面縱向對稱面中性軸中性軸cdabacbdMM14橫截面上只有正應力。平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發生轉動，距中性軸等高處，變形相等。3.推論2.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。15A1B1O1O4. 幾何方程：(1) . y abcdABdFsFs y11111OOBAABABBA) ) ) )OO1) )yyddd)(z16 （二）物理方面（二）物理方面假設：縱向

5、纖維互不擠壓。于是，假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態。任意一點均處于單項應力狀態。(2) . sEyE s ss s（三）靜力學方面（三）靜力學方面0ddd szAAAxNESAyEAEyAF軸過形心中性)( 0zSz170dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM(對稱面對稱面)MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。(4).zxIM y s s18（四）最大正應力：（四）最大正應力：zzWMIMymaxmaxs (5)DdDdabBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框max

6、yI Wzz 抗彎截面系數。抗彎截面系數。)1 (32 43maxaDyIWzz圓環19bBhH20IIII、 純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣橫力彎曲橫力彎曲xM+4FLFFxFsF zxIM y s s橫力彎曲： 當梁上有橫行力作用時,橫截面上既有彎矩又有剪力，梁在此情況的彎曲成為橫力彎曲。它是彎曲問題中最常見的情況。21橫力彎曲與純彎曲的區別：純彎曲1 .橫截面上只有正應力橫截面上只有正應力2 .平面假設成立平面假設成立3 .各縱向纖維間不擠壓各縱向纖維間不擠壓橫力彎曲1 .橫截面上有正應力，而且有切應力橫截面上有正應力，而且有切應力2 .平面假設不成立，橫截面將產生翹曲平面假設不成立，

7、橫截面將產生翹曲3 .各縱向纖維間有擠壓應力各縱向纖維間有擠壓應力但當跨長與截面高度之比 l/h 5時，純彎曲情況下推出的正應力計算公式 = 對橫力彎曲仍然適用 xsZIMy22例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM3023q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3

8、608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 6)2/(hIWzzMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應力1803024MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax121201803025MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .104104

9、8. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax121201803026q=60kN/mABalaADEC例：受均布荷載作用的等直外伸梁如圖所示。試求當最大正應力為最小時的支座位置。maxs解：先做出梁的彎矩圖。由圖可見，支座位置直接影響A或B和中央C截面的彎矩值，只有當它們相等時，才能使梁的最大彎矩最小。即最大正應力最小。22qa282qlaql2822qaql22qa=解得a=0.207 l+27IIIIII、 梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件強度條件強度條件 maxsZWM s、校核強度：設計截面尺寸：設計載荷：maxssm

10、axsMWzmaxszWM校核強度：maxss校核強度：28等直梁的最大正應力發生在最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠的各點處，而該處的切應力都等于零。此外，縱截面上由橫向力引起的擠壓應力比較小，可忽略。因此，最大正應力所在點處的應力狀態可視為單軸應力狀態。所以梁的正應力強度條件是： ssmax即即 sZWMmax根據強度條件公式,可對梁按正應力進行強度計算，即強度校核,選擇梁的截面或確定梁的許可載荷對于用鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的許用拉?壓應力不同，而梁截面的中性軸往往也不是對稱軸，因此，梁的最大工作拉應力和最大工作壓應力（注意兩者有時并不發生在同一橫截面上）要求分別不超過材料的許用拉應

11、力和許用壓應力29y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM4畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM30校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMP

12、a2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A3A4314 4 5 5 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力1、兩點假設： 切應力與剪力平行；矩中性軸等距離處，切應力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡0)(112dxbNNXdxxFs(x)+dFs(x)M(x)yM(x)+d M(x)FS(x)dxs sxyzs s1 1 1 1 b圖圖a圖圖b圖圖c

13、324 45 5 梁橫截面上的切應力、梁的切應力強度條件梁橫截面上的切應力、梁的切應力強度條件I I、 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力1、兩點假設： 切應力與剪力平行；距中性軸等距離處，切應力相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡0)(112dxbNNFxdxxFs(x)+d Fs(x)M(x)yM(x)+d M(x)Fs(x)dx圖圖a圖圖b一、一、 矩形截面梁矩形截面梁s s1 1xyzs s2 2 1 1 b圖圖cN1=A*s1dA*N2=A*s2dA*332、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡0)(

14、112dxbNNFxFs(x)+d Fs(x)M(x)yM(x)+d M(x)Fs(x)dx圖圖bs s1 1xyzs s2 2 1 1 b圖圖cN1=A*s1dA*N2=A*s2dA*dA*y34dxxFs(x)+d Fs(x)M(x)yM(x)+d M(x)Fs(x)dxs sxyzs s1 1 1 1 b圖圖a圖圖b圖圖czzAzAIMSAyIMAN dd 11szzISMMN)d(2zzszzbISFbISxMdd1由切應力互等由切應力互等zSbISFy1)()4(2 )2(22/22yhbyhbyhAyScz355 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩Fs 方向：與橫截面

15、上剪力方向相同； 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大切應力為平均切應力的1.5倍。1、研究方法與矩形截面同;切應力的計算公式亦為：其中Fs為截面剪力；Sz 為y點以下的面積對中性軸之靜矩；zzbIFsS136 maxmin; maxA Fs f結論：結論： 翼緣部分max1腹板上的max，只計算腹板上的max。 鉛垂切應力主要腹板承受（9597%），且max min 故工字鋼最大切應力Af 腹板的面積。; maxA Fs f二、工字形截面梁二、工字形截面梁3722maxAFS三、薄壁圓形形截面梁三、薄壁圓形形截面梁zyrodmaxmax38 3434maxAFS四、圓形截面梁

16、四、圓形截面梁zydomaxoy39 exyzPFsPPzzsbISF，合力為腹板上; ; 21zsIAF翼緣上0)d(AxdAM力臂RHhe FseFseh五、槽鋼截面梁五、槽鋼截面梁。合力為 HF40IIII、 梁的切應力強度條件梁的切應力強度條件max *max,max,bISFZzs41解：畫內力圖求危面內力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大切應力之比,并校核梁的強度。N54002336002max,qLFsNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+

17、x42求最大應力并校核強度應力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMszsq=3.6kN/mxM+82qLFs2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1max,maxAFs431 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應力發生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大切應力發生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Q s ss ss sM 442 2、正應力和切應力強度條件：、正應力和切應力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大

18、正應力與最大切應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講） zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：s sMQ s s454 4、需要校核切應力的幾種特殊情況：、需要校核切應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時，要校核切應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力。、校核強度：校核強度：設計截面尺寸：設計載荷： ;max

19、maxssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs464-6 梁的合理設計梁的合理設計一、合理配置梁的載荷和支座一、合理配置梁的載荷和支座l/2l/4l/4Fl4FlF8Fl471 1、合理配置梁的載荷可降低梁的最大彎矩：、合理配置梁的載荷可降低梁的最大彎矩：l如簡直梁如簡直梁: :4FlMmaxF8FlMmax加輔梁加輔梁（教材（教材4-204-20圖）圖）ql882FlqlMmax懸臂梁簡懸臂梁簡: :482 2、合理設置支座位置可降低梁的最大彎矩：、合理設置支座位置可降低梁的最大彎矩：DqABalaAE21250qL.Mmax當兩邊支座往中間移動 a=0。207L時，202140

20、qL.Mmax簡支時4950AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD時當強度：正應力：切應力：1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 sszWM zzbIQS* 二、合理選擇梁的截面形狀zDzaa51m2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時當1121212,24 DaaD時當1312467. 1 646zzWabhWm5 . 1maxzD0.8Da12a1z52)(= 3 .

21、2mmaxfAQ工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時當0.8a2a21.6a22a2z53 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側受拉(通過彎矩圖確定通過彎矩圖確定），則令中性軸靠近上端。如下圖：2 2、根據材料特性選擇截面形狀、根據材料特性選擇截面形狀s sGzz54三、采用變截面梁三、采用變截面梁 ，如下圖：，如下圖：最好是等強度梁，即)()()(maxssxWxMx若為等強度矩形截面，則高為)(6)(sbxMxh同時)(5 . 1maxxbhFS5 . 1)(b