1、習習 題題 課課一、導數的定義一、導數的定義二、求導法則二、求導法則三、微分與應用三、微分與應用四、中值定理四、中值定理五、泰勒公式五、泰勒公式六、洛必達法則六、洛必達法則一、本一、本 章章 要要 點點七、曲線形態的討論七、曲線形態的討論八、函數的最大值與最小值八、函數的最大值與最小值九、曲率九、曲率 一、導數的定義一、導數的定義 1.導數導數 0000000limlim.xxxf xxf xf xf xfxxxx 左導左導0000lim,xf xxf xfxx 右導右導0000lim.xf xxf xfxx 函數可導函數可導 左導左導=右導右導.可導與連續的關系可導與連續的關系: 函數在一點

2、可導，則在該點必連續函數在一點可導，則在該點必連續.導數的幾何意義導數的幾何意義: 函數在一點的導數為函數曲線在該點函數在一點的導數為函數曲線在該點的切線斜率的切線斜率.由此得到曲線的切線方程及法線方程由此得到曲線的切線方程及法線方程:切線切線:000,yyfxxx法線法線:00001. 0yyxxfxfx 2.求導法則求導法則 設設 為可導函數，則為可導函數，則, u v2, 0 .uvuvuvu vuvuu vuvvvv反函數的求導法則反函數的求導法則 設函數設函數 為為 的反的反函數，直接函數函數，直接函數 在區間在區間 上連續、單調，可上連續、單調，可導且其導函數導且其導函數 則則 y

3、f xxy xyyI 0,yxy 1.xdyydxy 復合函數的導數復合函數的導數 設函數設函數 均為可導均為可導函數，則函數函數，則函數 為可導函數，且為可導函數，且 ,yf uux yfx.dydy dudxdu dx對于具有更多中間變量的復合函數，則相應的求導法對于具有更多中間變量的復合函數，則相應的求導法則為：則為：.dydy dudvdwdxdu dv dw dx3.高階導數高階導數 若函數若函數 階可導，則遞歸定義階可導，則遞歸定義 yf x n 101.nnyynyy 階導數的階導數的Lebnize公式公式 設設 為兩個為兩個 階可導的函階可導的函數，則函數數，則函數 也也 階可

4、導，且有階可導，且有, u vnn yuvn 0.nnn kkknkuvC uv4.隱函數的導數隱函數的導數 設函數設函數 由方程由方程 確確定，在一定的條件下，可以求出函數定，在一定的條件下，可以求出函數 的導數。的導數。但要注意的是，該函數一般情況下，仍然以隱式方程的但要注意的是，該函數一般情況下，仍然以隱式方程的形式給出形式給出. yf x,0F x y yf x由隱函數求導法，得到對數求導法由隱函數求導法，得到對數求導法.5.由參數方程確定的函數的導數由參數方程確定的函數的導數 設函數設函數 由參由參數方程數方程 yf x xx tyy t確定，且當確定，且當 時，則可確定時，則可確定

5、 為為 的函的函數數(或或 為為 的函數的函數)，相應的導數為，相應的導數為 220 xtyt yx xy .ttytdydxxt若令若令 則則 ,ttytdyftdxxt 22.ttftdydxxt由此方法，可得到更高階的導數由此方法，可得到更高階的導數. 三、微分三、微分1.微分的定義微分的定義 若函數若函數 的增量具有表達式的增量具有表達式 yf x,yA xox 則函數則函數 可微，相應的微分為可微，相應的微分為 yf x.dyA x2.可微的條件可微的條件 函數函數 在點在點 處可微的充要條件處可微的充要條件是是 在點在點 可導，且有可導，且有 yf xx yf xx .dyfx d

6、x3.微分應用：近似計算公式微分應用：近似計算公式 000,.yfxxf xxf xfxx 要注意的是這兩種近似計算在使用上的差別要注意的是這兩種近似計算在使用上的差別. 四、中值定理四、中值定理1.羅爾定理羅爾定理定理定理 設設 且且 則則存在存在 使得使得 ,f xC a bD a b ,f af b,a b 0.fxyo abC y=f(x)AB注注 羅爾定理主要應用于討論羅爾定理主要應用于討論導函數的零點導函數的零點.2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 設設 則存在則存在 使得使得 ,f xC a bD a b,a b( )( )( ),f bf afbay= (x)xyoy=f (

7、x)ab ( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag3.柯西中值定理柯西中值定理 設設 那么至少存在一點那么至少存在一點 ，使得，使得 , ( ),f xg xC a bD a b 0,gx, a b 五、泰勒公式五、泰勒公式定理定理 如果函數如果函數 在含在含 的某個開區間的某個開區間 內具有內具有直到直到 階導數，則對于階導數，則對于 ，有，有 f x0 x, a b1n,xa b 200000110002 .!1 !nnnnfxf xf xfxxxxxfxfxxxxnn 帶有帶有Peano型余項的泰勒展開式型余項的泰勒展開式定理定理 如果函數如果函數 在含有在含有

8、 的開區間的開區間 內有內有階連續導數，則對于階連續導數，則對于 有有 f x, a b0 xn,xa b 2000000002 .!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxoxxn 六、洛必達法則六、洛必達法則基本類型基本類型0,.0變型變型000,0 ,1 ,. 法則：法則： limlim.xxf xfxg xgx注注 1.只有當等式右邊的極限存在時，才能使用該法則只有當等式右邊的極限存在時，才能使用該法則:2.在求極限過程中，可能要多次使用該法則在求極限過程中，可能要多次使用該法則:3.在使用過程中，要進行適當的簡化在使用過程中，要進行適當的簡化. 七、曲線形態的討論：七、曲線形態的討

9、論：1.單調性單調性 若函數若函數 的導函數的導函數 且在任且在任何一個有限區間內最多只有有限多個零點，則何一個有限區間內最多只有有限多個零點，則 單單調上升；若函數調上升；若函數 的導函數的導函數 且在任且在任何一個有限區間內最多只有有限多個零點，則何一個有限區間內最多只有有限多個零點，則 單單調下降調下降. yf x 0fx f x yf x 0fx f x2.凹凸性凹凸性 若函數若函數 在區間在區間 內滿足：內滿足： yf xI12,x xI121211( )(),fxxf xf x則稱函數則稱函數 為凸函數，相應的曲線為下凸的為凸函數，相應的曲線為下凸的: 若函若函數數 在區間在區間

10、上滿足上滿足: f x f xI12,x xI121211( )(),fxxf xf x01 ,則稱函數則稱函數 為凹函數，相應的曲線為上凸的為凹函數，相應的曲線為上凸的. f x yf xxyx1x2o121xx121fxx 121f xf xxyox1x2121xx121fxx 121f xf x凸函數與下凸曲線凸函數與下凸曲線凹函數與上凸曲線凹函數與上凸曲線凹凸函數的判定方法凹凸函數的判定方法:若函數若函數 的導函數的導函數 單調上升，則單調上升，則 是凸函數；若函數是凸函數；若函數 的導函數的導函數 單調下單調下降，則降，則 是凹函數；是凹函數； yf x fx f x yf x fx

11、 f x若函數若函數 二階可導，且二階可導，且 則，則，是凸函數；若是凸函數；若 則則 是凹函數是凹函數. yf x 0,yx f x f x 0,yx 若函數若函數 的圖形在點的圖形在點 的兩側有不的兩側有不同的凹凸性，則稱該點為圖形的拐點同的凹凸性，則稱該點為圖形的拐點. yf x00,xf xxoy yf x00,xf x3.極值極值 若函數若函數 在點在點 滿足：存在滿足：存在 的鄰域的鄰域當當 有有 yf x0 x0 x0(),U x0,xU x 0,f xf x則則 為為 的極大值的極大值; 若若0f x f x 0,f xf x則則 為為 的極小值的極小值.0f x f x( )

12、yf xxyox1x2x3x4x5極值存在的條件極值存在的條件若函數在點若函數在點 處取得極值，且處取得極值，且 存在，則存在，則0 x0fx00.fx設函數在設函數在 處連續，若函數的導數處連續，若函數的導數 在點在點 的兩的兩側有不同的符號，則側有不同的符號，則 為為 的極值。若的極值。若由由 ，則，則 為極大值；若為極大值；若 由由 ，則則 為極小值為極小值.0 x0 x f x0f x fx fx 0f x0f x fx xyo 為極大值為極大值0f x y 由由 yf xx0 為極小值為極小值0f x yf x y 由由x0 xyoxyo 為極大值為極大值0f x y 由由 yf x

13、x0若函數若函數 在點在點 處滿足：處滿足：則則 為為 的極值。若的極值。若 則則 為為極小值；若極小值；若 則則 為極大值為極大值.000,0,fxfx0 x f x0f x f x000, fxf x000, fxf x 設設 記最大值和最小值分別為記最大值和最小值分別為再記再記 的零點和不可導點為的零點和不可導點為 則則 ,f xC a b,M m12,. ,rx xx fx 1212max, min,.rrMf xf xf xf af bmf xf xf xf af b4.最大值最大值 和最小值的求法和最小值的求法5.漸進線的求法漸進線的求法.水平漸進線水平漸進線 若函數若函數 滿足滿

14、足 f x lim lim, lim,xxxf xaf xaf xa則，函數則，函數 的曲線有水平漸進線的曲線有水平漸進線 f x.ya垂直漸進線垂直漸進線 若函數若函數 滿足滿足 f x 000lim lim, lim,xxxxxxf xf xf x 則，函數則，函數 的曲線有垂直漸進線的曲線有垂直漸進線 f x0.xx斜漸進線斜漸進線 設函數設函數 滿足：滿足： f x lim,lim,xxf xaf xaxbx則，函數則，函數 有斜漸進線有斜漸進線 f x.yaxb 八、曲率八、曲率 設函數設函數 則函數曲線在點則函數曲線在點 處處的曲率為的曲率為: 1,f xCa b, x y32.1

15、yKy 若曲線由參數方程若曲線由參數方程 1, ,xx tx ty tCyy t 確定，則相應的曲率計算公式為確定，則相應的曲率計算公式為 3222.x t ytxt y tKxy當曲率不為零，相應的曲率半徑為當曲率不為零，相應的曲率半徑為1.RK例例1 設設 求求 ln 1 0 0 0,sin 0 xxf xxxx .fx解解 當當 時時0 ,( )ln 1,xf xx 1,1fxx 當當 時時0 ,( )sin ,xf xx cos ,fxx當當0,x 00ln 1sin0lim1,0lim1,xxxxffxx 二、例題選講二、例題選講即：即： 不存在。不存在。 0f 1 0 .1 cos

16、 0 xfxxxx 0000limlim10,limlim ln 1,xxxxxf xef xxbb例例2 設設 且且 存在，存在， 1 0,ln 1+ 0axexf xxb x 0f 求求, .a b0.b解解 因因 存在，故存在，故 在在 處連續，所以處連續，所以 0f f x0 x 0000010limlim,0ln 10limlim1,axxxxxf xfefaxxf xfxfxx 1.a 又因又因 存在，所以存在，所以 0f 例例3 設設 在在 的某個鄰域內有定義，又的某個鄰域內有定義，又 0 xx 0lim,xxxa討論下列函數在討論下列函數在 的可導性的可導性:0 xx 0,xx

17、x 0.xxx解解 設設 則則 00, 0,f xxxxf x 000000limlim,xxxxfxfxxxxaxxxx即：即：0.fxa 設設 則則 00, 0,f xxxxf x 000000limlim,xxxxxxxfxfxaxxxx 故極限存在的充分必要條件為故極限存在的充分必要條件為 此時此時0,a 00.fx例例4 設設且且 ，證明，證明 12sinsin2sin,nif xaxaxanx aR sinf xx1221.naana證證 令令 則則 11sin, cos,nniiiif xaixfxiaix故故 1 0,00,niifia f 00sin0limlim1,xxf

18、xxfxx 12021.nfaana例例5 可導函數可導函數 的圖形與的圖形與 相切于原相切于原 yf xsinyx2lim.nnfn點，試點，試求求解解 由條件得由條件得 00,01,ff2/2limlim1/nnfnnfnn1tn02limtftt 020lim2 202.2tftfft例例6 證明可導的周期函數的導函數為周期函數。證明可導的周期函數的導函數為周期函數。( ).f xTf x再設再設 的導函數為的導函數為 ，則，則 fx f x 00lim lim,xxf xTxf xTfxTxf xxf xfxx 證證 設設 為周期函數，為周期函數， 為其周期，即為其周期，即 f xT即

19、：即： 為周期函數。為周期函數。 fx例例7 設設 求求 12100 ,f xx xxx 0 .f 解解1 因因 00,f 00000limlim12100lim100!.xxxf xff xfxxx xxxx解解2 因因 12100,fxxxxxg x故，故， 0100!.f 例例8 設設 求求tan,1sinxyx.y解解 22sec1sinsin.1sinxxxyx 例例9 曲線曲線 上哪一點的切線與直線上哪一點的切線與直線 平行，并求過該點的切線與法線方程平行，并求過該點的切線與法線方程.1xye210 xy 解解 設切點為設切點為 ，斜率為，斜率為00,xy00002,ln2,3,x

20、xyexy故切線方程與法線方程分別為：故切線方程與法線方程分別為：32ln2 ,yx13ln2 .2yx 例例10 試求垂直于直線試求垂直于直線 且與曲線且與曲線 相切的直線方程相切的直線方程.310 xy 3231yxx解解 設切線的斜率為設切線的斜率為 切點為切點為 因切線與已知因切線與已知直線直線 垂直，得垂直，得 又由又由00,.xy, k310 xy 3,k 2363,yxx 得得 從而切點為從而切點為 故切線方程為故切線方程為1,x 1,1 .320.xy例例11 設設 其中其中 為多項式為多項式函數，函數， 為為 的兩個相鄰單根的兩個相鄰單根. 證明證明: 使得使得 f xxax

21、b g x g x , a bf x 0;g a g b , 0.a bf 證證 由條件知：由條件知： 若若 則存則存在在 使得使得 從而從而 這和條件這和條件是矛盾的。是矛盾的。 0.g a g b 0,g a g b , a b 0,g 0,f又又 由羅爾定理，知由羅爾定理，知 使得使得 0,f af b, a b 0.f例例12 設設 為可導函數，求為可導函數，求 ,fxxyf eef.y解解 .f xf xxxxyfee ef eefx例例13 設設 由由 確定，求確定，求 yy xarctan225xyxye22.d ydx解解 兩邊取對數得兩邊取對數得:221lnln5arctan

22、,2xxyy兩邊對兩邊對 求導，得求導，得x22221 221,21xxxyyyxyxyyxy即即:.xxy yyx所以：所以：,dyyxdxxy兩邊繼續求導，得兩邊繼續求導，得22211,xxyxyyyxd ydxxy將上式代入并整理后得：將上式代入并整理后得：222222.xyd ydxxy 例例14 設設 求求 sin, .xyxyexy x解解 sinln,xyxxyeesinsin1cosln,xyxxyeyxxxx即：即：sinsincoslnxyxxyexxxx 1.xye例例15 求由參數方程求由參數方程 所確定的函數所確定的函數2ln 1arctanxttyt 的二階導數的二

23、階導數 y x22.d ydx解解 222111,2111ttdyyttdxxtt2225212 1.1tttd ydxxt例例16 求由三葉玫瑰線求由三葉玫瑰線 在對應在對應 處的處的切線方程切線方程.sin3ra4解解 將極坐標轉化為參數方程：將極坐標轉化為參數方程： cossin3 cos ,sinsin3 sin ,xrayra則當則當 時，時， 切線斜率切線斜率4,2 2a ax y443 cos sinsin3 cos1,3 cos cossin3 sin2dyaakdxaa故，切線方程為故，切線方程為20.2axy例例17 某人以某人以2m/s的速度通過一座橋，橋面高出水面的速度

24、通過一座橋，橋面高出水面20m，在此人的正下方有一條小船以，在此人的正下方有一條小船以 m/s的速度在與橋的速度在與橋垂直的方向航行，求經過垂直的方向航行，求經過5s后，人與小船分離的速度后，人與小船分離的速度.43 222220 ,stxtytsxy20m已知：已知：42,3ttxy解解 設經過設經過 秒后，船與人的距離為秒后，船與人的距離為 人行走距離為人行走距離為 船行走距離為船行走距離為 則人與則人與船的距離為船的距離為t,sm,xm,ym方程兩邊對方程兩邊對 求導，得求導，得t222,dsdxdysxydtdtdt當當 時，時， 代入上式，得代入上式，得5t 207010,33xys

25、20 4702610 2 /.33321dsm sdt例例18 求求 的近似值的近似值.101000解解 11010102410001024242 110242412 11.9553.1024 10例例19 設設 證明在證明在 內存在內存在一點一點 ，使，使 ,f xC a bD a b, a b .ff afb證證 令令 則則 ,F xbxf xf a , 0,F xC a bD a bF aF b且且則由洛爾定理得，存在則由洛爾定理得，存在 使得使得 即即,a b 0,F 0,bfff a移項后即有移項后即有: .ff afb例例20 設設 , 求證：求證： ,f xC a bD a b0

26、,0ab方程方程 在在 內至少有一個內至少有一個根根. lnbf bf axfxa, a b證證 若結論成立，則原式變形后，有若結論成立，則原式變形后，有 ,lnln1/f bf afxbax故取故取 在區間在區間 上使用柯西中值定理，得上使用柯西中值定理，得 ln ,g xx, a b ,lnln1/f bf affa bba即，原方程在區間即，原方程在區間 中可解中可解., a b例例21 設函數設函數 在點在點 為右連續，且導數為右連續，且導數 在在 的右極限的右極限 存在，證明右導數存在，且存在，證明右導數存在，且 f x0 x fx0 x00fx000 .fxfx證證 由條件知函數由

27、條件知函數 在區間在區間 上連續，在上連續，在區間區間 上可導，由上可導，由L 中值定理，得中值定理，得 f x00,x xx 00,x xx 0000 ,f xxf xfx xxx 所以，所以， 000000limlim 0 .xxf xxf xfxfxfx 同樣，若同樣，若 在在 是左連續的，且是左連續的，且 在在 的左極限的左極限 存在，則存在，則 f x0 x fx0 x00fx000 .fxfx由此得到，若由此得到，若 在在 連續，且連續，且 及及存在相等，則存在相等，則 在在 可導可導. 且且 f x0 x00fx00fx f x0 x000 .fxfx注意，應用此法則時，函數的連

28、續條件不可去掉，否則注意，應用此法則時，函數的連續條件不可去掉，否則會導出荒謬的結論會導出荒謬的結論.例例 設設 求求 sin 0,ln 1 0 xxf xxx .fx解解 因因 在在 處連續，且處連續，且 0f xx 01,01,01.fff若不注意連續性，則有若不注意連續性，則有 sin 0,01.ln 11 0 xxf xfxx00.f xx證證 令令 , 000,1110,F xf xxFfFf 則則0,xa b所以，有零點定理知，存在所以，有零點定理知，存在 使使00,F x例例22 設函數設函數 在在0, 1上可導，且上可導，且 在在 內，內， 證明在證明在 內有唯一的點內有唯一的

29、點 ，使，使 f x 01,f x0,10 x0,1 1,fx若有若有1101110,1 , 0,xxxfxxFx則則由羅爾定理得，存在由羅爾定理得，存在 即即此為矛盾此為矛盾. 0,1 ,0,F 1,f例例23 設函數設函數 在在 上可導，且上可導，且 則存在則存在 使使 f x, a b 0,fa fb,a b 0.f證證 不妨設不妨設 則則 0,0,fafbxyo yf xab 1122,xaf xf axbf xf b 0.f因因 故故 在開區間在開區間 內取到最大內取到最大值，設該點為值，設該點為 則由費馬引理，得則由費馬引理，得 ,f xC a b f x, a b,例例24 設函

30、數設函數 在在 處可導，且對任意實數處可導，且對任意實數有有 則則 在在 上連續；上連續； 其中其中 為任一常數為任一常數. f x0 x , ,x y ,f xyf xfy f x, , 1f xaxfa證證 由條件得由條件得 在在 處連續，故處連續，故 f x0 x 00lim00lim00,xxfxffxf 故在任意點故在任意點 處，處，x 0 0 ,yf xxf xf xfxf xffxf 故，故， 00limlim00,xxyfxf 即：即： ,.f xC 任意點任意點 處，處，x 000limlim0lim0,xxxf xxf xyxxfxffax 所以，所以， 又因又因 .f x

31、axb 000 ,00,ffffb顯然：顯然： 即原式成立即原式成立. 1,fa 010,FF故存在點故存在點 使得使得 因因10,1 , 10,F 233,Fxx f xx fx由此得：由此得： 所以存在所以存在 使得使得 100,FF210,20,F例例25 設函數設函數 在在0, 1內有三階導數，且內有三階導數，且又函數又函數 證明在證明在 內至少存在一點內至少存在一點使得使得 f x 10,f 3,F xx f x0,1 0.F,證證 由條件知函數由條件知函數 在區間在區間 上三階可導，因上三階可導，因 F x0,1又因，又因， 2364,Fxxf xx fxx fx 00,F由此得由

32、此得 使得使得20,0,1 0.F例例26 設函數設函數 且且 證明：至少存在證明：至少存在一點一點 使得使得 2,f xC a bDa b 0,0,f af bf cacb,a b 0.f證證 由拉格朗日中值定理知，存在由拉格朗日中值定理知，存在 使得使得 1,a c 10,f cf afca同理，存在同理，存在 使得使得2,c b 20,f bf cfbc在區間在區間 上再一次使用拉格朗日中值定理，知存上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在在 使得使得12, 12,a b 21210.fff例例27 求下列極限：求下列極限： ； ；limxxxxxeeee22lnsinlim2xxx ； ；

33、1/0limxxextan/ 21lim 2xxx ； 1/01limxxxex解解 lim1, lim1,xxxxxxxxxxeeeeeeee 所以，極限所以，極限 不存在。不存在。limxxxxxeeee22222lnsincot1limlimlimcsc42821.8xxxxxxxx 1/0lim lim0.xtxtetxe1tx令令tan2ln 22, lntanln 2,2cot2xxyxyxxx則則所以所以1121ln 222limlim,cotcsc222xxxxxx所以，所以，2tan/ 21lim 2.xxxe 1/1/200200111limlim 1ln 111ln 11

34、 ln 11limlim.122xxxxxxxexxxxxxxxxxeeexxx例例28 求極限求極限 241/ 21limcos.nnnen解解 考慮極限考慮極限 并作變換并作變換241/ 21limcos,xxxex1,tx原式為原式為22/ 241/ 2401coslimcoslim,txxttexext 2244/ 224411cos1,24!111,28tttto tetto t 因因所以所以 2/ 2441cos,12tteto t 故所求極限為：故所求極限為： 244/ 244001cos112limlim.12tttto ttett 例例29 設函數設函數 在點在點 處有三階導

35、數，且處有三階導數，且 f x0 x 00,01,02,fff 20lim1.xf xxx試證：試證：證證 將將 展開成二階泰勒展開式，即展開成二階泰勒展開式，即 f x 22,f xxxo x由此得由此得 20lim1.xf xxx例例30 設設 在在 的鄰域內有三階導數，且的鄰域內有三階導數，且 f x0 x 1/30lim 1.xxf xxex求求 0 ,0 ,0 ;fff求求 1/0lim 1.xxf xx解解 由條件得：由條件得： 000,0,fffa設：設： 222201,22ff xxo xaxo x則則 1/1/2001/211220lim 1lim 112lim112xxxx

36、ax o xxax o xxf xaxxo xxaxo x132,4.aeea由由得，得， 222222012,22ff xxo xaxo xxo x 1/10021220lim 1lim 12lim12.xxxxx o xxx o xxf xxo xxxo xe例例31 設在設在 上，上， 證明函數證明函數, a b 0,fx , f xf axa bxxafaxa在在 是單調增加的是單調增加的., a b證證 當當 時，有時，有xa 2,fxxaf xf axxa由條件由條件 ,f xf afxaax因因 ，即，即 是單調上升的是單調上升的. 因而因而 0,fx fx 0,fxf故：故：

37、22 0,fxxaf xf axxafxfxaxa即：即： 是單調上升的是單調上升的. x例例32 證明不等式證明不等式2101 .1xxexx證證 做函數做函數 則則 211,xf xxx e 00,f 222212 112,xxxxfxex exee 注意到注意到 00,f 2222420,xxxfxexee所以，所以， 單調上升，即有當單調上升，即有當 時，有時，有所以，所以， 單調上升，從而當單調上升，從而當 時，有時，有故，原不等式成立故，原不等式成立. f x fx0,x 0,fx0,x 0,f x 例例33 證明不等式證明不等式2sin0.2xxx證證 做函數做函數 注意到注意到

38、 sin,xf xx0sin2lim1,2xxfx因：因： 22cossintan0,cosxxxxxfxxxx所以，所以， 單調減少，從而當單調減少，從而當 f x故需證明故需證明 是單調下降的。是單調下降的。 f x 有：有： 02x 2,2f xf故，原不等式成立故，原不等式成立.證證2 用凹凸性證明。做用凹凸性證明。做 2sin,g xxx sin0,gxx 所以，所以， 在在 是上凸的，又是上凸的，又 0,2g x 00,2gg故，當故，當 有有 即即0,2x 0.g x 2sin.xx例例34 求函數求函數 的零點個數。的零點個數。 2xf xxe解解 對函數對函數 則：則： 2,

39、xf xxe 10,1,xxxfxexex ex 2,10,xfxxef當當 即即 單調下降；當單調下降；當 即即 單調上升，因而單調上升，因而為為 的極小值。又的極小值。又 , 1 ,0,xfx f x 1,0,xfx f x1f f x lim2, lim,xxf xf x 故故 在定義域中僅有一個零點在定義域中僅有一個零點. f x例例35 設設 證明：當證明：當 時時0,0,ab2, .nnnnabab證證 作作 則則 1/1/1/,nnnf xxbxb 00.f因因 1/11/110,nnfxxxbn即即 是單調上升的，因而當是單調上升的，因而當 時，有時，有取取 即得所需要的不等式

40、即得所需要的不等式. f x0 x 0,f x ,xa例例36 設函數設函數 求求 的極的極值值.2 0( ),2 0 xxxf xxx f x解解 因因 00lim2, lim1,xxf xf x 22ln2 0, 1 0 xxxxfxx所以，所以，10,yxe 1,0 ,0,0,0,xyyxeyy 1,0.xeyy所以，所以， 分別為函數的極大值和分別為函數的極大值和極小值極小值. 11202,eff ee例例37 設函數設函數 有二階連續導數，有二階連續導數， 且且 f x 00,f 0lim1,xfxx問：問： 是否為是否為 的極值點？若是，是極大值的極值點？若是，是極大值還是極小值？

41、還是極小值？0 x f x 是否為拐點？是否為拐點？ 0,0f解解 由條件知由條件知 且存在且存在0的某個鄰域的某個鄰域 使得使得 00,f 0U 0,fx由此，由此， 在在 的兩側滿足的兩側滿足 由由 ，因而，因而 為極小值為極小值. fx0 x fx 0f又由又由 0lim1,xfxx故存在故存在 的某個鄰域的某個鄰域 ，使得，使得 ，因，因而而 不是拐點不是拐點.0 x 0U 0,fx 0,0f例例38 設有一直角彎道，入口的寬度為設有一直角彎道，入口的寬度為 ，拐彎處的寬，拐彎處的寬度為度為8 ，求以水平方向通過的鐵桿的最長長度，求以水平方向通過的鐵桿的最長長度.aaa8a解解 如圖所

42、示，鐵桿的長度為如圖所示，鐵桿的長度為 其中其中12,LLL128, 0,sincos2aaLL從而，從而，8,sincosaaL228 cossin,sincosaaL 令令 從而從而0,tan2,L 21sin,cos,5512845555.sincosaaLLLaaa即，鐵桿的最大長度為即，鐵桿的最大長度為55.a例例39 在橢圓在橢圓 上求一點上求一點 使它與另使它與另22221xyab,p x y2 ,0 ,0,2AaBb兩點兩點 所構成的三角形面積為最小所構成的三角形面積為最小.xyo2aa2bb1,22xyab即：即：20.bxayab解解 因線段因線段AB固定，故欲使面積最小，

43、即要使點固定，故欲使面積最小，即要使點 離開離開線段線段AB的距離為最小。線段的距離為最小。線段AB的方程為的方程為p點點 到直線的距離為到直線的距離為p222,bxayabdab注意到點在直線的下方，即注意到點在直線的下方，即 故目標故目標函數為：函數為： 條件為條件為20,bxayab2,fabbxay22221,xbybaxaa故，令故，令 222,f xabbxb ax 220,xfxbbax即即22,2aaxxx代入代入 的表達式，得的表達式，得 即所求點的坐標為即所求點的坐標為y,2by ,.22abp例例40 求函數求函數 的凹凸區間和拐點的凹凸區間和拐點.ln0axyaxa解解

44、 21lnlnlnlnln,xaaxxayayaxaxx3/ 2,xae當當 ；3/ 23/ 20,0 ,0,xaeyxaey4321lnln2 lnln30,xxxaxayaaxx 所以點所以點 為拐點為拐點.3/ 23/ 23,2aee所以，在區間所以，在區間 函數函數 為上凸的，而在區間為上凸的，而在區間 函數函數 為下凸的為下凸的.3/ 20,ae3/ 2,aeyy f xI例例41 設函數設函數 是區間是區間 上的凸函數，試用歸納法上的凸函數，試用歸納法證明：若證明：若 是是 內不完全相同的內不完全相同的n個數，正數個數，正數 滿足滿足 則則12,nx xxI12,n 121,n 1

45、 12 21122(),n nnnfxxxf xf xf x利用利用證明：證明：n個正數的幾何平均值不超過它們的算個正數的幾何平均值不超過它們的算術平均值，即術平均值，即 11 212121 ,0 .nnnnaaaaaaa aan證證 當當n=2時，時， 為兩個不相同的數，正數為兩個不相同的數，正數 滿足 由凸函數的定義，得由凸函數的定義，得12,x x12121,1, 12, 21 122212212211221 1,fxxfxxf xxf xf x 1 12 21122(),n nnnfxxxf xf xf x即當即當 時命題成立；時命題成立；2n 假設在假設在 時命題成立時命題成立: 即

46、對即對 個不完全相同的數，有個不完全相同的數，有nn1121max,nnxx xx則則11111111,1nniiininniinxxx令令11,1niiinxx 則則1.nxx 現假設對現假設對 不完全相同的正數不完全相同的正數 及正及正數數 滿足滿足 設設121,nx xx121,n 1111,n1n 事實上，若事實上，若 則則1,nxx 111111,1,1nniiniinniinxxxx即有即有11111,0,nnniiininiiiixxxx從而從而 此為矛盾此為矛盾.11,2,inxxin由假設得由假設得: 11111111,nnnnnnfxxf xf x而而 1111,11nni

47、iiiiinnf xfxf x 1111111111111,nnnnininninniiif xf xf xf xf x即有即有 1111111111111nniiininniinnnnfxfxxf xf x 111,niinnif xf x即不等式成立即不等式成立.為證為證，取，取 則則 為定義域上的凹函數為定義域上的凹函數, ln ,f xx f x對正數對正數 ，有，有121,1,2,nia aainn121lnln,nniiiiaann即即:1/121lnln,nniniaa aan取以取以 為底的指數，即得為底的指數，即得e11 2121.nnnaaaaaan例例42 試證曲線試證曲

48、線 有三個拐點，且位于同一有三個拐點，且位于同一直線直線.211xyx證證 22222211 212,11xxxxxyxx 2222422422211221 212141 ,1xxxxxxyxxxxx 所以，所以， 相應的點為：相應的點為：12,301,23,yxx 12,3131, 1 ,23,4PP 易見，點易見，點 為曲線的拐點。又由于為曲線的拐點。又由于123,P P P213221321.4yyyyxxxx故點故點 共線共線.123,P P P三、練三、練 習習1. 求下列函數的導數求下列函數的導數 ln;lnxxyxx2arcsin 14;yxx arctanlncos ;yxsinln2;xy sinsin;xxyxx1arctan;1xxeye 222321;13xxyxx1.1ttxeye .dydx求高階導數求高階導數 求求,yexye220;xd ydx 求求33cos,sinxatyat 22;d ydx 求求4,1xyx100;y 求求44si