1、第第7章章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識武漢大學水利水電學院武漢大學水利水電學院 鄧念武鄧念武7.1 測量誤差的來源及其分類 7.1.1 測量誤差的定義測量誤差的定義真 值 X：觀測對象客觀存在的量。觀測值L：每次觀測所得的數值。真誤差： L X 7.1.2 測量誤差的來源 儀器、人、外界條件三方面的因素綜合起來稱為觀測條件觀測條件。觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測等精度觀測。觀測條件不同的各次觀測稱為非等精度觀測非等精度觀測。注意區分誤差和錯誤的區別誤差來源的來源： 儀器設備不盡完善 人的感官不穩定 自然環境的影響7.1.3 測量誤差的分類 1系統誤差系統誤差 在相同的觀測條件下

2、對某量進行多次觀測，如果誤差在大小和符號上按一定規律變化，或者保持常數，則這種誤差稱為系統誤差。 經過一定的觀測手段或加改正數的方法，系統誤差基本可以消除。2偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進行多次觀測，其誤差在大小和符號上都具有偶然性，從表面上看，誤差的大小和符號沒有明顯的規律，這種誤差稱為偶然誤差。 7.2 偶然誤差的特性及算術平均值原理 7.2.1 偶然誤差的特性 a ab bc ci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 174）舉例：舉例：誤差區間（）正誤差負誤差個數相對個數個數相對個數0101020203030404050506060以上322315115200.18

3、40.1320.0860.0630.0290.0120.000312117114200.1780.1210.0980.0630.0230.0110.000和880.506860.494誤 差 分 布 表結結 論論1.在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多；3.絕對值相等的正負誤差出現的機會幾乎相等；4.當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零，即 0limlim21nnnnn7.2.2 算術平均值原理 設對某個量X（真值）進行了n次等精度觀測，得觀測值L1、L2、Ln，則其算術平均值x為： nLnLLLx111 算術平均值原

4、理認為：觀測值的算術平均值是真值的最可靠值。算術平均值原理的證明：n、21XLXLXLnn2211 XnLnnXx以分別表示L1、L2、Ln的真誤差，則 將各式相加，兩邊除以n，有： 即： 由偶然誤差特性4可知，當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零，此時觀測值的算術平均值x將趨近于真值X。 7.3 衡量精度的標準 7.3.1 中誤差 n、21nm 設對一個未知量X進行多次等精度觀測，其觀測值為L1、L2、Ln，其真誤差為 我們取各個真誤差平方和的平均值的平方根，定義為中誤差m，即：1 . 2591049 甲m4 . 25410169 乙m舉例：設有甲、乙兩組觀測值，其真誤差分別為

5、： 甲組：-3、- 2、0、1、3 乙組：3、-4、0、1、-2則兩組觀測值的中誤差分別為：注意：以上所計算的中誤差稱為一次觀測中誤差。7.3.2 容許誤差在實際工作中，常采用二倍中誤差作為容許誤差，即： 容2m 當要求較低時，也可采用三倍中誤差作為容許誤差，即： 容3m 容許誤差又稱極限誤差、最大誤差和允許誤差。 7.3.3 相對中誤差100011001 . 01111mmLmN5000110002 . 01222mmLmN舉例：丈量兩段長短不等的距離，一段長100米，中誤差為0.1米，另一段長1000米，中誤差為0.2米。前一段的相對中誤差為：后一段的相對中誤差為： 通過相對中誤差判斷：第

6、二段距離比第一段距離丈量的精度高。7.4 觀測值函數的中誤差誤差傳播定律 7.4.1 觀測值和或差函數的中誤差 問題的提出：設有函數yxz式中z是x、y的和或差的函數，x、y為獨立觀測值。設x、y的中誤差分別為mx、my，求z的中誤差mz。yxzyixizi 2222yxyxznnnnyxyxz222222zzmn22xxmn22yymn222yxzmmm22yxzmmm假如對x和y分別以同精度各觀測了n次，則： 將上述n個公式兩邊平方，然后相加得：將上式兩邊除n，得： 或 （i1，2n） 求解：跳到誤差獨立問題nxxxz2122221nzmmmmnmmm21mnmz討論討論：（1）當函數z為

7、n個獨立觀測值的代數和時，即：按上述的推導方法，可得出函數z的中誤差為：（2）當觀測值為同精度觀測時，即各觀測值的中誤差均為m，即則有：需要指出的是：上述分析僅僅考慮了讀數誤差，不能作為實際測量中的限差要求。7.4.2 觀測值倍數函數的中誤差問題的提出：設有函數 zkx 式中z為觀測值x的函數，k為常數。 已知x的中誤差是mx，求z的中誤差mz zkx 若對x共觀測了n次，則： zikxi （i1，2n）將上述n個公式兩邊平方，然后相加得： 222xzk求解：nknxz222222xzmkm xzmkm 上式兩邊除n得：按中誤差定義，將上式寫成：或算例算例：在1：1000比例尺地形圖上，量得某

8、直線長度d 234.5mm，中誤差md=0.1mm，求該直線的實地長度D及中誤差mD。解： 實地長度 D1000d=1000234.5mm 234.5m 中誤差 mD1000md 1000(0.1mm)=0.1m 最后結果寫成： D=234.5m0.1m7.4.3 線性函數的中誤差nnxkxkxkz2211nxxx21、nkkk21、設有線性函數式中均為獨立觀測值，為常數， 問題的提出：已知nxxx21、的中誤差分別為nmmm21、求Z的中誤差。參考和差函數和倍數函數中誤差的關系，有：22222221212nnzmkmkmkm2222222121nnzmkmkmkm 求解： 引入函數 ，則有n

9、yyyz21iiixky 321615141xxxz232221361251161mmmmz舉例：設有某線性函數 式中：分別為獨立觀測值，中誤差分別為、求函數z的中誤差解： 由線性函數中誤差的關系式有：321xxx、321mmm、7.4.4 一般函數的中誤差一般函數的中誤差),(21nxxxfzix問題的提出：設有函數式中 （i=1，2n）為獨立觀測值，中誤差為mi（i1，2n），求函數z的中誤差mz。nndxxfdxxfdxxfdz2211nnxxfxxfxxfz2211求解：上述函數的全微分表達為： 由于真誤差均為小值，故可用真誤差替代微分量，得：參考線性函數中誤差的關系式有：222222

10、2121)()()(nnzmxfmxfmxfm 誤差獨立：和差函數 7.5 等精度直接平差等精度直接平差7.5.1 觀測值中誤差m7.5.2 算術平均值中誤差M第六節第六節 測量精度分析示例測量精度分析示例一、一、 有關水準測量的精度分析有關水準測量的精度分析 1一個測站的高差中誤差 望遠鏡的照準誤差Sv 06照Svm 0321照水準管氣泡居中的誤差水準管氣泡居中的誤差mmm50. 0206265101002005. 032在兩點間進行水準測量時，前視或后視讀數的中誤差為 mmm12. 15 . 000. 122讀故一個測站的高差中誤差為mmmm57. 12讀站若采用雙面水準尺施測mmm12. 1257. 1站mmmm57. 12讀紅黑mmm14. 32紅黑紅黑2測站校核限差的規定（1） 黑面讀數與紅面讀數之差的限差讀數一次的中誤差為取其中誤差的兩倍作為限差因為紅黑面觀測時的條件基本相同，故規定其限差為3毫米。讀紅黑mmmhh2mmmmh24. 222讀紅黑mmmhh48. 42紅黑(2) 黑面高差和紅面高差之差的限差取中誤差的兩倍作為限差，故規定其限差為5毫米。nhhhh21mmmmhn12. 1n站mm