1、精選優質文檔-傾情為你奉上§1 第一類曲線積分的計算 設函數在光滑曲線上有定義且連續，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，那么有。例：設是半圓周, 。求。 例：設是曲線上從點到點的一段，計算第一類曲線積分。 例：計算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點，的直線段。§2 第一類曲面積分的計算 一 曲面的面積（1）設有一曲面塊，它的方程為。具有對和的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為令，則該曲面塊的面積為。例：求球面含在柱面內部的面積。例：求球面含在柱面內部的面積。

2、二 化第一類曲面積分為二重積分（1）設函數為定義在曲面上的連續函數。曲面的方程為。具有對和的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設函數為定義在曲面上的連續函數。若曲面的方程為令，則。例：計算，是球面，。例：計算，其中為螺旋面的一部分：。注：第一類曲面積分通過一個二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點，半徑為。 §3 第二類曲線積分一 變力做功和第二類曲線積分的定義1.力場沿平面曲線從點A到點B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得 。2. 第二型曲線積分的定義 定義1 設

3、是一條光滑或逐段光滑曲線，且設是定義在上的有界函數，將沿確定方向從起點開始用分點分成個有向弧段，直至終點。且設。在每一弧段 上任取一點，作和式：。其中為起點，為終點。設，這里表示有向線段的長度。若當時，和有極限，且它與的分法無關，也與點的選擇無關，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作 或 。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關的。這是第二類曲線積分的一個很重要性質，也是它區別于第一類曲線積分的一個特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環行時，如閉路所圍成的區域靠近這人的部分總在他的左方，則這個方向就算作正向，否

4、則就算作負向。這時只要方向不變，曲線積分的值是與起點的位置無關的。二 第二類曲線積分的計算設曲線自身不相交，其參數方程為：。且設是光滑的。設當參數從調地增加到時，曲線從點按一定方向連續地變到點。設函數定義在曲線上，且設它在上連續。則。 （*）注：（*）積分下限必須對應積分所沿曲線的起點，上限必須對應終點。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為例：計算積分, L的兩個端點為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點A到點B或閉合, 路徑為（1）直線段AB ；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1

5、)。. 例：計算積分, 這里L : （1）沿拋物線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 )；（2）沿直線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 )；（3）沿折線封閉路徑O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). 例：計算第二型曲線積分I = , 其中L是螺旋線，從到的一段。三 兩類曲線積分的聯系 第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯系。兩者之間的聯系式為 例：證明：對于曲線積分的估計式為。利用這個不等式估計：并證明。例：設平面區域有一條連續閉曲線所圍成，區域的面積設為，推導用曲線積分計算面積的公式為：。§

6、;4 第二類曲面積分一 曲面的側的概念1單側曲面與雙側曲面在實際生活中碰到的都是雙側曲面，至于單側曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。2曲面的上側和下側，外側和內側雙側曲面的定向: 曲面的上、下側，左、右側，前、后側. 設法向量為 ,則上側法線方向對應第三個分量, 即選“+”號時，應有，亦即法線方向與軸正向成銳角. 類似確定其余各側的法線方向. 封閉曲面分內側和外側.二 第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程 表示的無重點的光滑曲面,并設在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區域。設選定了曲面的一側，從而也確定了它的定向。 現在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設為在平面上的

7、投影，從而也得到區域的一個相應分割。如果取的是上側，這時所有算作正的。如取下側，這時所有算作負的。設有界函數定義在上，在每一小塊任取一點，作和式其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號的，它們的符號是由所選的側來決定的。設為的致敬，記。若當時，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關，也點的選擇無關，則稱為沿曲面的所選定的一側上的第二類曲面積分，記為。注：有時也會碰到幾個積分連在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另一側積分，則所得的值應當變號。三 兩類曲面積分的聯系及第二類曲面積分的計算 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系設為曲面的指定法向, 則. 定理1 設是定義在光滑曲面D上的連續函數, 以的上側為正側(即), 則有 .類似地, 對光滑曲面D, 在其前側上的積分 .對光滑曲面 D, 在其右側上的積分 .計算積分時, 通常分開來計算三個積分 , , .為此,分別把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進行計算.投影域的側由曲面的定向決定. 推論 設,是定義在光滑曲面D上的連續函數,則有 =曲面的方向為上側, 則等式前取“”號; 曲面的方向為下側, 則等式前取“”號.例：計算積分,其中是球面 在部分取外側。 例：計算積分，為球面取外側. 解： 對積分, 分別用和記前半球面和后半球面