1、第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)上頁 下頁 返回 結束 一元函數(shù)微積分學一元函數(shù)微積分學多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)微積分學極限與連續(xù)極限與連續(xù)偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分重積分重積分極限與連續(xù)極限與連續(xù)可導與可微可導與可微定積分定積分教學內容及課時分配教學內容及課時分配8.1 8.1 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介.2.2學時學時8.2 8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 8.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)的極限與連續(xù).2.2學時學時8.4 8.4 偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分.2.2學時學時8.5 8.5 復合函數(shù)的微分法與隱函數(shù)的微分法復合函數(shù)的微分法與隱函數(shù)的微分法.2.2學時學

2、時8.6 8.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值.2.2學時學時8.7 8.7 二重積分二重積分.4.4學時學時（1414學時）學時）上頁 下頁 返回 結束 重點：重點：偏導數(shù)與全微分、多元復合函數(shù)的微分法、偏導數(shù)與全微分、多元復合函數(shù)的微分法、 二元函數(shù)的極值的應用、二重積分的計算。二元函數(shù)的極值的應用、二重積分的計算。 難點：難點：多元復合函數(shù)的微分法、二元函數(shù)的極值的多元復合函數(shù)的微分法、二元函數(shù)的極值的 應用問題、二重積分的計算。應用問題、二重積分的計算。上頁 下頁 返回 結束 說明：說明：多元函數(shù)（實際上只討論二元函數(shù)）。極值問多元函數(shù)（實際上只討論二元函數(shù)）。極值問 題中的最大值、最

3、小值問題只要求按實際意義題中的最大值、最小值問題只要求按實際意義 來判斷。來判斷。教學要求：教學要求：. .了解多元函數(shù)的概念。掌握二元函數(shù)的定義與圖形特點了解多元函數(shù)的概念。掌握二元函數(shù)的定義與圖形特點. . .知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。. .理解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念；熟練掌握求偏導理解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念；熟練掌握求偏導 數(shù)與全微分的方法；掌握求多元復合函數(shù)偏導數(shù)的方法數(shù)與全微分的方法；掌握求多元復合函數(shù)偏導數(shù)的方法. . .掌握由一個方程確定的隱函數(shù)求偏導數(shù)的方法（例如由掌握由一個方程確定的隱函數(shù)求偏導數(shù)的方法（例如由 (x,y,

4、z)=0 (x,y,z)=0 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) z=z(x,y),z=z(x,y),求其偏導數(shù)）。求其偏導數(shù)）。. .了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念；掌握用二元函數(shù)了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念；掌握用二元函數(shù) 極值存在的充要條件求二元函數(shù)極值的方法極值存在的充要條件求二元函數(shù)極值的方法; ; 掌握用拉掌握用拉 格朗日乘數(shù)法求解簡單二元函數(shù)條件極值問題的方法。格朗日乘數(shù)法求解簡單二元函數(shù)條件極值問題的方法。. .了解二重積分的概念、幾何意義與基本性質；掌握在直了解二重積分的概念、幾何意義與基本性質；掌握在直 角坐標系與極坐標下計算二重積分的常用方法，會計算角坐標系與極坐標下計算二重

5、積分的常用方法，會計算 一些簡單的二重積分。一些簡單的二重積分。上頁 下頁 返回 結束 第第 1 1 節(jié)節(jié)空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介 第八八章 上頁 下頁 返回 結束 一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系 二、空間任意兩點的距離二、空間任意兩點的距離 三、空間曲面與方程三、空間曲面與方程 數(shù)量關系數(shù)量關系 空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面坐標坐標, ,方程（組）方程（組）四、空間曲線的方程簡介四、空間曲線的方程簡介 （補充）（補充）xyz一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手法則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸

6、(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念上頁 下頁 返回 結束 xyzo直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標特殊點的坐標 : :有序數(shù)組),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;M2. 空間任意一點的坐標空間任意一點的坐標上頁 下頁 返回 結束 二、空間任意兩點間的距離二、空間任意兩點間的距離 1. 空間任一點

7、到原點的距離空間任一點到原點的距離222zyxMNOR22OMONMN222OROQOPxoyzMNQRP( , , )M x y z設點 為空間中任一點222ONOPPNPNOQ22OPOQ上頁 下頁 返回 結束 222212121()()()xxyyzz同理可得oxyz2. 空間任兩點間的距離空間任兩點間的距離1M2M11112222(,), (,)Mxy zMxyz給定空間任意兩點的坐標N1Q1P2P2QNS2221212M MM SM S22212M NNSM S112M NPP21OPOP21xx21NSyy221M Szz2221212M MM NNSM S上頁 下頁 返回 結束

8、例例1. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M12M M 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點上頁 下頁 返回 結束 三、空間曲面與方程三、空間曲面與方程例例2（類似（類似P318-例例1）求與兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等222) 3()2() 1(zyx07262zyx化簡得說明說明:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面

9、上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: : 設軌跡上的動點為, ),(zyxM,BMAM 則動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.等距離點的軌跡方程.上頁 下頁 返回 結束 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足

10、此方程,如何求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀上頁 下頁 返回 結束 例例3（P319-例例2）求三個求三個坐標平面坐標平面的方程的方程.面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo1. 平面的方程平面的方程例例4（P319-例例3）作作zc（c為常數(shù)）的圖形為常數(shù)）的圖形.zc平行于坐標平面xoy ，并由xoy 向上 (c0)或向下 (c0) 平移|c|個單位而成的平面上頁 下頁 返回 結束 特殊情形特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 平面

11、平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.平面的一般方程平面的一般方程上頁 下頁 返回 結束 例例5. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy上頁 下頁 返回 結束

12、所求方程為例例6（P319-例例4） 求球心為點),(zyxM),(0000zyxM的球面方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解解: 設球面上任一點RMM0即依題意，半徑為RxyzoM0M222yxRz表示上上(下下)球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx2. 球面球面上頁 下頁 返回 結束 例例7. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M方程表示:說明說明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形. 其圖形可能是曲面. . 表示怎樣的半徑為的球面.0)(22

13、2GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面 , 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx上頁 下頁 返回 結束 例例8 8（P320-P320-例例5 5）作方程的圖形 .的坐標也滿足方程222Ryx解解: : 在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx在空間222Ryx對任意 z ，直線l 任一過此點作平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面在圓C 上任取一點 , )0 ,(1yxM),(zyxM點l 叫做母線母線.平面xoy 園 叫做準線準線, 222RyxxyzoClM1M3. 柱面柱面（l 繞園C移動而成）上頁 下頁 返回 結束 xyzxyzol定義定義

14、2. 平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C表示母線平行于C 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoo上頁 下頁 返回 結束 4. 二次曲面二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程。下面介紹幾種常見標準型的特點 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 基本類型基本類型: 拋物面、橢球面、雙曲面、錐面、球面等的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx22

15、20JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 )定義定義3.上頁 下頁 返回 結束 （1）拋物面）拋物面zqypx2222A. 橢圓拋物面橢圓拋物面( p , q 同號)zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.例例9 9（P320-P320-例例6 6）作方程的圖形 .22zxy解解: : 范圍0. ,zx yR與坐標面的交線：2200 xyz20 zxy 20 zyx 原點拋物線上頁 下頁 返回 結束 截痕：zyx22 xyczc22 yzcxc與曲面無交點.0c 當 時，為園心，(0,0, ) cc為半徑的園.0c 當 時，22 xzcycxc平面 的拋物線22yzcc 越大，

16、截痕的園也越來越大.圖形見圖形見P321P321圖圖8-88-8上頁 下頁 返回 結束 B. 雙曲拋物面（鞍面）雙曲拋物面（鞍面）zqypx2222( p , q 同號)zyx例例1010（P320-P320-例例7 7） 作方程的圖形 .22zyx解解: : 范圍, 0.yxz若與坐標面的交線：0 yxz 20 zxy 20 zyx 兩條相交于原點的直線xoz 平面開口向下的拋物線yoz 平面開口向下的拋物線上頁 下頁 返回 結束 截痕：22 yxczc22 zycxc 實軸平行于x軸的雙曲線0c 當 時，0c 當 時，22 zcxyc c 越大，各截痕的雙曲線、拋物線也越來越大.實軸平行于

17、y軸的雙曲線對任意c均為開口向下的拋物線對任意c均為開口向上的拋物線圖形見圖形見P321P321圖圖8-98-9上頁 下頁 返回 結束 zyx（2 2） 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax范圍：czbyax,與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax上頁 下頁 返回 結束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z上頁 下

18、頁 返回 結束 （3） 雙曲面雙曲面A.A.單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 上頁 下頁 返回 結束 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 0czax)(bby或by 1)3時, 22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy截痕為相交直線: 截痕為雙曲線: 0上頁 下頁 返回 結束 B. 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyaxzxyoxyz（4） 橢圓錐面橢圓錐面22222xyzab