1、信息系劉康澤信息系劉康澤第三章的內容是第二章內容的推廣第三章的內容是第二章內容的推廣一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量重點討論二維隨機變量 . 到現在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分到現在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布布. 但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述需要用幾個隨機變量來描述.信息系劉康澤信息系劉康澤 如在打靶時如在打靶時,命中點的位置是由一對隨

2、機變量命中點的位置是由一對隨機變量(兩個兩個坐標坐標)來確定的來確定的. 飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個三個坐標）來確定的等等坐標）來確定的等等. 一般地，我們稱一般地，我們稱n個隨機變量的整體個隨機變量的整體 為為n維隨機變量或隨機向量維隨機變量或隨機向量. 以下重點討論二維隨機變量以下重點討論二維隨機變量.12,nX 信息系劉康澤信息系劉康澤 第三章第三章 二維隨機變量二維隨機變量第一節第一節 二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布 一、二維隨機變量一、二維隨機變量2 2、分分布布函函數數 （1 1） 【定定義義】 ：設設),(為為上上

3、的的二二維維隨隨機機變變量量, ,對對 任任意意的的, x yR, ,規規定定： ( , ),F x yPxy. . 稱稱),(yxF為為),(的的分分布布函函數數. . 請注意與一維情形的對照請注意與一維情形的對照 .( )F xPx1 1【定定義義】 ：設設、均均為為上上的的一一維維隨隨機機變變量量，稱稱 二二維維向向量量( , ) 為為上上的的二二維維隨隨機機變變量量. . 信息系劉康澤信息系劉康澤【注注】1 ),(yxF實實際際上上表表示示隨隨機機點點),(落落入入平平 面面上上的的點點( , )x y的的左左下下角角區區域域內內的的概概率率。 ,xy0【注注】2 1212,P xxy

4、y 2212,PxyPxy 2111,PxyPxy ),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF. . 22,x y12,x y21,x y011,x y信息系劉康澤信息系劉康澤( (2 2) )性性質質 , x yR, ,0( , )1F x y. . ),(yxF關關于于yx,均均為為單單調調不不減減函函數數. . 0),( yF, ,0),(xF, , 0),(F, ,1),(F. . ),(yxF關關于于yx,均均為為為為右右連連續續函函數數. . 1212,xxyyR, , 22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y. .

5、【注注】3 性性質質為為分分布布函函數數的的特特征征性性質質，反反之之亦亦然然。 例例 1、擲擲硬硬幣幣三三次次，表表示示出出現現正正面面的的次次數數， 記記：| )3(|， 求求),(的的分分布布函函數數),(yxF. . 信息系劉康澤信息系劉康澤解解: :( (1 1) ) 的的所所有有可可能能取取值值為為0, 1, 2, 3, , 的的所所有有可可能能取取值值為為1, 3。 列列表表如如下下： 1 3 0 0 8/1 1 8/3 0 2 8/3 0 3 0 8/1 10,38P，31,18P， 32,18P，13,38P， 其其他他 0,jiyxP. . (2) (2) 相應概率相應概率

6、 樣樣 本本 點點 0 ( (反反反反反反) ) 3 1 ( (正正反反反反) ) ( (反反正正反反) ) ( (反反反反正正) ) 1 2 ( (正正正正反反) ) ( (正正反反正正) ) ( (反反正正正正) ) 1 3 ( (正正正正正正) ) 3 信息系劉康澤信息系劉康澤（3）分分布布函函數數：由由于于 (,)( , )(,)ijijx yBPBPxy ，故故： yyxxjijiyxPyxPyxF,),(. . . 3 , 3 1, , 3 , 32 , 8/7 ; 31 , 3 , 8/6 ; 3 , 21 , 8/4 ; 31 , 21 , 8/3 ; 3 , 10 , 8/1

7、; 3 , 1 1 0 0,),(yxyxyxyxyxyxyxyxyxF或或 信息系劉康澤信息系劉康澤 二、邊緣分布二、邊緣分布 【定定義義】 稱稱 ,( ,)lim( , )yPxF xF x y . . 為為關關于于的的邊邊緣緣分分布布函函數數，記記為為( )F x。 注注意意到到： （必必然然事事件件） ，則則： ,()()PxPx ()PxPx 故故( )F xPx， 因因此此( )F x實實質質上上是是一一維維隨隨機機變變量量的的分分布布函函數數。 信息系劉康澤信息系劉康澤2 2、),(關關于于的的邊邊緣緣分分布布： 【定定義義】 稱稱 ,(, )lim( , )xPyFyF x y

8、 . . 為為關關于于的的邊邊緣緣分分布布函函數數，記記為為( )F x。 同同理理有有：( )F xPy， 因因此此( )Fy實實質質上上是是一一維維隨隨機機變變量量的的分分布布函函數數。 【注注】1邊邊緣緣分分布布函函數數)(xF、)(yF具具有有一一維維分分 布布函函數數的的各各種種性性質質。 信息系劉康澤信息系劉康澤【注注】2聯聯合合分分布布函函數數( , )F x y唯唯一一確確定定兩兩個個邊邊緣緣 分分布布函函數數)(xF、)(yF，但但是是兩兩個個邊邊緣緣分分布布函函數數卻卻不不 能能唯唯一一確確定定聯聯合合分分布布。 例例、設設),(的的分分布布函函數數為為： (1)111,0

9、1( , )0 xyxeex yyF x y其其他他 求求兩兩個個邊邊緣緣分分布布函函數數。 解解： )(xF( ,)lim( , )1 , (0)xyF xF x yex 信息系劉康澤信息系劉康澤1( )(, )lim( , )1, (0)1xFyFyF x yyy 由由此此： 10( )00 xexF xx， 1101( )00yyFyy。 信息系劉康澤信息系劉康澤三、隨機變量相互獨立三、隨機變量相互獨立 (,)()()PxyPx Py1 1、 【定義】、 【定義】設設),(yxF為為),(的分布函數，的分布函數，、的的 邊緣邊緣分布函數分別為分布函數分別為)(xF、)(yF，若，若R Ryx,，若，若 恒有：恒有： ( , )( )( )F x yF x Fy 則稱則稱與與相互獨立相互獨立. . 【注】【注】隨機變量獨立性的定義實質上與隨機事件獨隨機變量獨立性的定義實質上與隨機事件獨立性的定義是一樣的，也就是：積事件的概率等于概率立性的定義是一樣的，也就是：積事件的概率等于概率的積。的積。信息系劉康澤信息系劉康澤2 2、與與相相互互獨獨立立1212,xxyyR R，恒恒有有： 12121212, P xx yy