1、1第第3章章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布3.2 二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的邊緣分布 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的分布主要包含三個方面的信息的分布主要包含三個方面的信息:1. 每個分量的信息，即邊緣分布每個分量的信息，即邊緣分布;2. 兩個分量之間的關系程度，即相關系數兩個分量之間的關系程度，即相關系數;3. 給定一個分量時，另一個分量的分布，即條件分給定一個分量時，另一個分量的分布，即條件分布布;本節先討論邊緣分布本節先討論邊緣分布第第3章章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布3.2.1 3.2.1 二維隨機變量的邊緣分布函數二維隨機變量的邊緣分布函數 設

2、二維隨機變量設二維隨機變量(X，Y)具有分布函數具有分布函數F(x，y)X和和Y都是一維隨機變量，也各有對應的分布函數都是一維隨機變量，也各有對應的分布函數FX(x)和和FY(y)，依次稱為二維隨機變量，依次稱為二維隨機變量(X，Y)關于關于X和關于和關于Y的的邊緣分布函數邊緣分布函數易知易知 以上兩式說明，由聯合分布函數可以求出每個分以上兩式說明，由聯合分布函數可以求出每個分量的分布函數，量的分布函數，但由各個分量的分布函數不一定求出聯合分布函但由各個分量的分布函數不一定求出聯合分布函數數),(),(lim,)( xFyxFYxXPxXPxFyX),(),(lim,)(yFyxFyYXPyY

3、PyFxY 3.2.1 3.2.1 二維隨機變量的邊緣分布函數二維隨機變量的邊緣分布函數【例【例3.8】設設(X，Y)的分布函數為的分布函數為求關于求關于X和和Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數FX(x)、FY(y) 解：解：由定義知由定義知同理可求得：同理可求得： yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2 ),(lim)(yxFxFyX )2)(arctan2(arctan1lim2 yxy xxx- ,21arctan1)2(arctan12 yyyFY- ,21arctan1)( 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律 設

4、二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則 , YxXPxXPii,jjyYXPyYP 1,jjiyYxXP, 2 , 1,1 ipjij 1,ijiyYxXP, 2 , 1,1 jpiij3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律 設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則稱稱為為(X，Y)關于關于X的的邊緣分布律邊緣分布律；稱稱為為(X，Y) 關于關于Y的的邊緣

5、分布律邊緣分布律, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,1 jpyYPpiijjj;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP聯合分布與邊緣分布的關系聯合分布與邊緣分布的關系:【補充例【補充例 】已知下列分布律求其邊緣分布律已知下列分布律求其邊緣分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 解解: 7473174733.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型

6、隨機變量的邊緣分布律【例【例3.9】設一只口袋中有設一只口袋中有5個球，有兩個球上標有數個球，有兩個球上標有數字字1，3個球上標有數字個球上標有數字0，現從中，現從中(1) 有放回地摸兩個有放回地摸兩個球，球，(2) 無放回地摸兩個球無放回地摸兩個球.并以并以X 表示第一次摸到的表示第一次摸到的球上標有的數字，以球上標有的數字，以Y 表示第二次摸到的球上標有的表示第二次摸到的球上標有的數字，求數字，求(X，Y)的聯合分布律及其兩個邊緣分布律的聯合分布律及其兩個邊緣分布律 解：解：(1) (X，Y)所有可能取值為：所有可能取值為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則 同理同理 0,

7、 0 YXP0|00 XYPXP2595353 ,25652531, 0 YXP,2560, 1 YXP2541, 1 YXP3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律于是于是(X，Y)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律(2) (X，Y)所有可能取值仍然為：所有可能取值仍然為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則同理同理 于是于是(X，

8、Y)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 0|000, 0 XYPXPYXP1034253 10342531, 0 YXP,1030, 1 YXP12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX1011, 1 YXP 比比看比比看 對于兩種情況，對于兩種情況，X，Y的邊緣分布是相同的，的邊緣分布是相同的，但但(X，Y)的分布不同，說明由聯合分布可得到邊的分布不同，說明由聯合分布可得到邊緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯合分緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯合分布布3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離

9、散型隨機變量的邊緣分布律12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX 設二維連續型隨機變量設二維連續型隨機變量(X，Y)的分布函數為的分布函數為F(x，y)，概率密度為，概率密度為f(x，y).因為因為由分布函數定義知，由分布函數定義知，X是一個連續型隨機變量，是一個連續型隨機變量，且其概率密度為且其概率密度為同樣有同樣有所以所以,Y也是一個連續型隨機變量，其概率密度也是一個連續型隨機變量，其概率密度為為 3.2.3 3.2.3 二維連續

10、型隨機變量的邊緣概率密度二維連續型隨機變量的邊緣概率密度 xXdxdyyxfxFxF),(),()(dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()( yYdydxyxfyFyF),(),()(3.2.3 3.2.3 二維連續型隨機變量的邊緣概率密度二維連續型隨機變量的邊緣概率密度 稱稱 為為(X，Y)關于關于X的的邊緣邊緣概率密度概率密度 稱稱 為為(X，Y)關于關于Y的的邊緣邊緣概率密度概率密度dxyxfyfY ),()(dyyxfxfX ),()(3.2.3 3.2.3 二維連續型隨機變量的邊緣概率密度二維連續型隨機變量的邊緣概率密度【例【例3.10】設二維隨機變量設二維隨機變量(

11、X，Y)的聯合概率密度的聯合概率密度為為求邊緣概率密度求邊緣概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：f(x，y)的非零區域如圖的非零區域如圖: 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfdyyxfxfX ),()( 其它其它 , 010 ,2xxdxyxfyfY ),()( 其它其它 , 010 ,01 ,11ydxydxyy 其其它它 , 010 ,101 ,1yyyy 其它其它 , 010 ,xdyxx).()(., 0, 6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和和邊邊緣緣分分布布函函數數的的邊邊緣緣概概率率密密度度求求關關于于其其他他具具有有聯聯合合概概率率密密度度和和設設隨

12、隨機機變變量量 解解:yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1( 其其他他,d010,d62yxyxx【補充例】【補充例】 其其他他, 010),(62xxx【例【例3-11】設，試求二維正態分布的邊緣概率密度設，試求二維正態分布的邊緣概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：由于的概率密度為由于的概率密度為且且 ),(yxf212122112221212222)()()(2)( xxyyxy )()(2)()1(21exp1212222212121212221 yyxx所以所以故故XN(1, 12)，同理，同理dyyxfxfX ),()(dyxyex )()1(21exp

13、1212112222)(2212121 ，則則有有令令)(1111222 xytdteexftxX 22)(12212121)( 即即 yeyfyY,21)(22222)(2 即即YN( 2, 22) 我們看到二維正態分布的兩個邊緣分布都是一我們看到二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布，并且都不依賴于參數維正態分布，并且都不依賴于參數 ，亦即對于給，亦即對于給定的，不同的定的，不同的 對應不同的二維正態對應不同的二維正態分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實再次分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實再次表明，單由關于表明，單由關于X和關于和關于Y的邊緣分布，一般來說的邊緣分布，一般來

14、說不能確定隨機變量不能確定隨機變量X和和Y的聯合分布的聯合分布222121, .,21為為任任意意實實數數其其中中nxxx概念推廣概念推廣,),(221121nnnxXxXxXPxxxF (1) n維隨機變量的維隨機變量的分布函數分布函數的的分分布布函函數數維維隨隨機機變變量量),(21nXXXn有有實實數數使使對對于于任任意意若若存存在在非非負負函函數數nnxxxxxxf,),(2121.),(),(2121度度函函數數的的概概率率密密為為則則稱稱nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(212121(2) n維隨機變量的概率密度函數維隨機變量的概率密

15、度函數.),(121分布函數分布函數邊緣邊緣的的關于關于維隨機變量維隨機變量稱為稱為XXXXnn),()(111 xFxFX(3) n維隨機變量的邊緣分布函數維隨機變量的邊緣分布函數),.,()( iiXxFxFi.),(21分分布布函函數數邊邊緣緣的的關關于于維維隨隨機機變變量量稱稱為為inXXXXn.),(121的邊緣概率密度的邊緣概率密度關于關于稱為稱為XXXXn,),(),(2121密密度度的的概概率率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf (4) n維隨機變量的邊緣概率密度函數維隨機變量的邊緣概率密度函數nixfiXi,.,3 , 2),(

16、類類似似可可定定義義., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求邊緣分布律并求邊緣分布律的聯合分布律的聯合分布律和和試寫出試寫出的素數的個數的素數的個數是能整除是能整除的正整數的個數的正整數的個數是能整除是能整除設設一個值一個值十個值中取十個值中取等可能地在等可能地在一整數一整數FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112: 布律布律的聯合分布律與邊緣分的聯合分布律與邊緣分和和由此得由此得FD樣本點樣本點DF 課堂練習課堂練習43211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031

17、0121098765432112232424340111121112樣本點樣本點DF或將邊緣分布律表示為或將邊緣分布律表示為 一只硬幣一面寫上一只硬幣一面寫上1，另一面寫上，另一面寫上2，將硬幣，將硬幣拋拋3次次,以以X記前兩次所得數字之和記前兩次所得數字之和,以以Y記后兩次所記后兩次所得數字之差得數字之差(第第2次減去第次減去第3次次).試求試求X和和Y的聯合分的聯合分布律，以及邊緣分布律布律，以及邊緣分布律.樣本點樣本點XY解：解： 先將試驗的樣本空間及先將試驗的樣本空間及X,YX,Y取值的情況列出如下：取值的情況列出如下：111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0 課堂練習課堂練習X和和Y的聯合分布律及邊緣分布律如下表所示：的聯合分布律及邊緣分布律如下表所示：X所有可能取的值為所有可