1、經濟數學模型經濟數學模型經濟數學模型經濟數學模型2.1 2.1 邊際及彈性分析邊際及彈性分析一、邊際的概念一、邊際的概念 在經濟學中，在經濟學中，如果一個經濟指標如果一個經濟指標 y是另一個經濟指標是另一個經濟指標 x 的函數的函數y=f (x), , 當自變量當自變量x在在x0處處有有一個單位一個單位的的改變量時改變量時，所對應的函數，所對應的函數y y的的改變量稱為該函數所表示的經濟指標改變量稱為該函數所表示的經濟指標在在x0處的處的邊際量邊際量。 例如例如：生產要素：生產要素( (自變量自變量) )增加一單位，產量增加一單位，產量( (因變量因變量) )的的增量為增量為2 2個單位，因變

2、量改變的個單位，因變量改變的2 2個單位就是邊際產量個單位就是邊際產量. . 邊際分析法就是分析自變量變動邊際分析法就是分析自變量變動1 1單位時，因變量單位時，因變量會變動多少的方法會變動多少的方法. . 經濟數學模型經濟數學模型用數學方法描述邊際概念 設函數設函數f(x)f(x)可導可導. . 根據導數的定義，有根據導數的定義，有 0( )lim.xyfxx 當 |x很小時，有 ( ).yfxx于是()( )( ).yf xxf xfxx 特別地，當 1x 時，有 ( ) 1( ).yfxfx 當自變量增加當自變量增加1 1單位時，函數的增量近似地等于其導數值單位時，函數的增量近似地等于其

3、導數值. . 定義定義 把函數把函數 )(xfy的導數的導數 )(x f稱為稱為邊際函數邊際函數經濟數學模型經濟數學模型1邊際成本邊際成本總成本函數 )(xCC （x為產量）的導數 ),(xC稱為產量為 x 單位時的邊際成本邊際成本 邊際成本 )(xC表示當產量為x時，再生產1個單 位產品時總成本將改變 )(xC個單位 2邊際收益邊際收益總收益函數 )(xRR （x為產量）的導數 ),(xR稱為產量為x單位時的邊際收益邊際收益 邊際收益 )(xR表示當產量為x時，再生產1個單 位產品，總收益將改變 )(xR個單位 經濟數學模型經濟數學模型3邊際利潤邊際利潤總利潤函數 )(xLL （x為產量）的

4、導數 ),(x L稱 為產量為x單位時的邊際利潤邊際利潤 邊際利潤 )(x L表示當產量為x時，再生產1個單位 產品，總利潤將改變 )(x L單位 最大利潤原理最大利潤原理 當邊際收入等于邊際成本且邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率時，利潤最大。條件：唯一駐點條件：唯一駐點C(x)R(x)xL)(經濟數學模型經濟數學模型4邊際需求邊際需求需求函數 )(pQd（p為價格）的導數 ),( p稱 為價格為p單位時的邊際需求邊際需求 邊際需求 )( p表示當價格為p時，價格再上漲1 個單位,需求量將改變 )( p個單位 5邊際供給邊際供給供給函數 )(pQs（p為價格）的導數 ),( p稱 為價格為

5、p單位時的邊際需求邊際需求 邊際需求 表示當價格為p時，價格再上漲1 個單位,需求量將改變 )( p個單位 )( p經濟數學模型經濟數學模型例例 設生產某種產品的總成本為 , x.xC11300)(總收益為 ,x.xxR200305)(試求： （1）邊際成本、邊際收入和邊際利潤函數. （2）當產量為600及700個單位時的邊際利潤, 并 說明其經濟意義. （3）求利潤最大的產量。 經濟數學模型經濟數學模型解解 （1） ; 11)11300()(.x.xC;00605)00305()(2x.x.xxR.x.xCxRxL006093)()()(（2） .L30600006093)600(.L307

6、00006093)700(（3）令 ()0Lx,650 x.得這時，有這時，有(650)(650)1.1.CR經濟意義：當產量為經濟意義：當產量為600600時，再增加單位產量會使利時，再增加單位產量會使利潤增加潤增加0.3,0.3,當產量為當產量為700700時，再增加單位產量會使利時，再增加單位產量會使利潤減少潤減少0.30.3經濟數學模型經濟數學模型二、彈性分析二、彈性分析 1、彈性的概念 設函數 )(xfy 可導，函數 )(xf在點 x 處的 增量為 ),()(xfxxfy自變量的增量為 , x則比 值 稱為在點 x 處自變量 x 的相對改變量. 稱比值 為函 數 y 的相對改變量。

7、xx0,x 當時兩個相對改變量之 比的極限0lim( ).( )xyxyfxxf xx 稱為函數 )(xfy 在點 x 處的彈性彈性，記作記作 ,ExEy即 )()(xfxfxExEyyy經濟數學模型經濟數學模型彈性經濟意義為：彈性經濟意義為：當自變量變化1%時，函數變化的百 分數為 %.EyEx注意注意 彈性研究的是相對變化率因此，彈性沒有 量綱 000000/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy為函數在區間 上的弧彈性。 00(,)x xx稱經濟數學模型經濟數學模型2 2需求價格彈性需求價格彈性設需求函數為 )(pQQ（p為價格），則需求價格彈性 為 =( ).( )EQpQ

8、 pEpQ p它表示在價格為p的水平上，當價格改變1%時，需求量 變化的百分數根據需求彈性值的大小，需求價格彈性可以劃分為經濟數學模型經濟數學模型（1 1）缺乏彈性：）缺乏彈性：01 （2 2）富有彈性：）富有彈性：1 （3 3）單位彈性：）單位彈性：1價格變動的比率 = 需求量變動的比率。 例如運輸業、煤氣等。 需求量變動的比率小于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應不敏感。例如生活必需品（糧食、蔬菜）,需求曲線陡峭。 需求量變動的比率大于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應敏感。例如奢侈品，需求曲線較平坦。QPQPPQ經濟數學模型經濟數學模型（5）完全無彈性：）完全無彈性：0價格無論如

9、何變動，需求量都不價格無論如何變動，需求量都不會變動。會變動。（急救藥、火葬場、糖尿病人對胰島素的需求）PQ（4）完全有彈性）完全有彈性： PQ在既定價格之下，需求量可以任意變動（如銀行以固定價格收購黃金）經濟數學模型經濟數學模型實例 彈性在航空公司中的應用 美國航空公司認為，弄清乘客的需求彈性相當于每年可帶來美國航空公司認為，弄清乘客的需求彈性相當于每年可帶來數十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務人員數十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務人員要求盡可能高的票價，而向閑適的游客提供足夠低的票價以填要求盡可能高的票價，而向閑適的游客提供足夠低的票價以填補飛機上的空座。這是

10、航空公司為增加總收益，追求利潤最大補飛機上的空座。這是航空公司為增加總收益，追求利潤最大化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識別兩種不同類型化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識別兩種不同類型的乘客問題。航空公司通過對不同乘客實行的乘客問題。航空公司通過對不同乘客實行“價格歧視價格歧視”的措的措施解決了這個難題。航空公司通常會對事先計劃并希望選擇低施解決了這個難題。航空公司通常會對事先計劃并希望選擇低價時機的游客提供折扣。同時，航空公司也許會要求乘客等到價時機的游客提供折扣。同時，航空公司也許會要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的機票，這一條規定使得急于回家周六晚上以后才能拿到打折的機票

11、，這一條規定使得急于回家度周末的商務人員望而卻步。另外最后的時刻通常不提供折扣，度周末的商務人員望而卻步。另外最后的時刻通常不提供折扣，因為商務往來事先并無計劃，而是為了處理意外的危機因為商務往來事先并無計劃，而是為了處理意外的危機這這是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經設計出極其復雜的是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經設計出極其復雜的計算機程序來管理機票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無法計算機程序來管理機票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無法從折扣中獲益。因此，盡管用有預算約束的旅客填補空位，他從折扣中獲益。因此，盡管用有預算約束的旅客填補空位，他們仍然有利可圖。們仍然有利可圖。經濟數學

12、模型經濟數學模型3、需求彈性、總收入與價格之間的關系Rp QpQ(1)QppQp Q(1)RQp總收入的變動量近似為RPQ總收入函數為p若價格有微小的變化 ，則收入函數的改變量為R()pp QQpQ（）pQp QpQ 經濟數學模型經濟數學模型4、需求的收入彈性設需求關于收入函數為設需求關于收入函數為 ，其中，其中 M M 表示消費者的表示消費者的收入收入 ()ddQQM需求收入彈性的計算公式為dMddQMEdMQ0ME1ME1ME0ME若需求收入彈性 ，則稱這樣的商品為正常商品，其中若 ，認為是缺乏彈性的，例如生活必需品；若 ，則為是富有彈性的，例如奢侈品或高檔商品。若需求收入彈性 ，則認為該

13、商品是低檔或劣質產品，即吉芬（Giffen）商品。經濟數學模型經濟數學模型均衡價格均衡價格 是市場上供需量相等時的價格，這時的是市場上供需量相等時的價格，這時的供需量叫做均衡商品量。供需量叫做均衡商品量。eP)(sdQQkdtdP解這個模型就得到價格和時間的關系。解這個模型就得到價格和時間的關系。 一般來說價格一般來說價格P P 隨時間隨時間t t 波動波動 ， 的漲速的漲速與過剩需求與過剩需求 成正比，故有數學模型成正比，故有數學模型 sdQQ )(tPP )(tP2.3 2.3 均衡價格均衡價格若若 的表達式是線性的：的表達式是線性的：,dsQ Q( ) , ( )dsQ ppQ pa b

14、p 00b，經濟數學模型經濟數學模型其通解為其通解為( )teP tceP從而lim( )etP tP這說明價格雖是波動的，但隨著時間的推移，最后這說明價格雖是波動的，但隨著時間的推移，最后趨于均衡價格。趨于均衡價格。edPPPdt則問題簡化為則問題簡化為()0kb可得供求平衡時的價格為可得供求平衡時的價格為eapb 經濟數學模型經濟數學模型若需求是一個常數若需求是一個常數 ，供給也是一個常數，供給也是一個常數 ，且供不應，且供不應求：求： ，則，則dsQQ()dsdPk QQkdt( )+ P tk t c其通解為其通解為從而lim( )tP t dQsQdsQQ此時即為通貨膨脹。控制通貨膨

15、脹的關鍵是降低消費資此時即為通貨膨脹。控制通貨膨脹的關鍵是降低消費資金的投放和增加商品的供應量。金的投放和增加商品的供應量。經濟數學模型經濟數學模型總利潤為總利潤為 2 ( ) ( )( )( )( ) ()()()() ()()dssdL pRCQp pQp qr QpQpp pabp qr abppbqr bpraaq R( )dQpp( )( )( )ssdCQpqr QpQp ()()sdQpQp如果企業生產的產品不脫銷，并認為商品需求量如果企業生產的產品不脫銷，并認為商品需求量即為銷售量即為銷售量，供給量即為生產量。此時發生的商品庫存量為供給量即為生產量。此時發生的商品庫存量為 設企

16、業生產和設企業生產和庫庫存單位商品的成本分別為存單位商品的成本分別為q q和和r.r.若若需求和供給需求和供給函函數數都為線性函數：都為線性函數： ，收入函數和收入函數和成本函數分別為成本函數分別為( ) , ( )dsQ ppQ pa bp 經濟數學模型經濟數學模型eappbsdQQ由于商品不脫銷，所以由于商品不脫銷，所以 ，由，由此,)ep 最優價格問題轉化為求函數最優價格問題轉化為求函數L(pL(p）在區間）在區間 上的上的最大值問題。最大值問題。0()2bqr bpL(p)L(p)的唯一駐點為的唯一駐點為不難證明不難證明p p0 0是是L(p)L(p)的最大值，所以當的最大值，所以當

17、，最優價格，最優價格為為 ， 當當 ，最優價格為，最優價格為 ，綜上，最優價格為，綜上，最優價格為0epp0pep0epp*0max,eppp經濟數學模型經濟數學模型1 1、以二元函數為例說明拉格朗日乘子的經濟意義、以二元函數為例說明拉格朗日乘子的經濟意義 設設 是目標函數，是目標函數， 是影響目標函數中兩是影響目標函數中兩個因素的約束條件，在此約束條件下，求目標函數個因素的約束條件，在此約束條件下，求目標函數 的最值問題。的最值問題。 ),(yxfz Cyx),(),(yxfz ( , , )( , )( , )L x yf x yCx y拉格朗日函數為拉格朗日函數為經濟數學模型經濟數學模型

18、000LxLyL若將若將C C 看作變量看作變量 ，解出最優解，解出最優解, , xy)(),(),(CyyCxxC的最值 也可視為 的函數 ( , )zf x yzC( ),( )zf x Cy C(1)( , )0fxxfyyx yC令經濟數學模型經濟數學模型對 求導 zC(2)dzf dxf dydCx dCy dC將方程組將方程組(1)(1)中前兩式代入中前兩式代入(2)(2)式中式中 *3dzdxdydCx dCy dC（ ）( , )x yCC對兩邊對 求導1dCdyydCdxx經濟數學模型經濟數學模型 隨目標函數、約束條件的經濟意義和度量隨目標函數、約束條件的經濟意義和度量單位不

19、同而有不同的經濟解釋。單位不同而有不同的經濟解釋。 拉格朗日乘子 是目標函數最值 對約束條件之常數 的變化率或邊際值。 zC dzdC若總成本限定為若總成本限定為 ，兩種原料投入為，兩種原料投入為x、y，為為 目標是使總產量目標是使總產量 最大，則最大，則 是在最優投是在最優投入水平時的邊際產量。入水平時的邊際產量。 C( , )x yC( , )zf x y經濟數學模型經濟數學模型多變量多約束下拉格朗日乘子的經濟意義多變量多約束下拉格朗日乘子的經濟意義研究有研究有m m個等式約束：個等式約束：12( ,)1,2,inix xxCim函數函數12(,)nf x xx的極值問題的極值問題 121

20、21(,)(,)mniiiniLf x xxCx xx構造拉格朗日函數構造拉格朗日函數 同樣稱同樣稱 為拉格朗日乘數為拉格朗日乘數 1,2,iim（）經濟數學模型經濟數學模型* , 1,2,iifimC12(,)nf x xx 拉格朗日乘數拉格朗日乘數 是函數是函數 的條件極值的條件極值*12(,)nfxxxiC對約束常數對約束常數的一階偏導數，即的一階偏導數，即 其經濟意義隨目標函數、約束條件的經濟意義和度其經濟意義隨目標函數、約束條件的經濟意義和度量單位不同而有不同的解釋。量單位不同而有不同的解釋。類似于二元函數，有如下結論經濟數學模型經濟數學模型經濟數學模型經濟數學模型1 1）、兩個寡頭

21、廠商生產的產品是同質或無差別的；）、兩個寡頭廠商生產的產品是同質或無差別的；2 2）、每個廠商都根據對手的策略采取行動，并假定）、每個廠商都根據對手的策略采取行動，并假定 對手也這樣做，據此來做出自己的決策；對手也這樣做，據此來做出自己的決策；3 3）、為方便，假定每個廠商的邊際成本為常數，）、為方便，假定每個廠商的邊際成本為常數， 市場的需求函數是線性的；市場的需求函數是線性的；4 4）、兩個廠商都通過調整產量來實現各自利潤的最大；）、兩個廠商都通過調整產量來實現各自利潤的最大；5 5）、兩個廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。）、兩個廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。 2 2、古

22、諾模型中兩個寡頭行為的假定、古諾模型中兩個寡頭行為的假定經濟數學模型經濟數學模型 參與者集合：參與者集合： i=1,2i=1,2， 1 1為廠商為廠商A A，2 2為廠商為廠商B B市場需求函數：市場需求函數： 2 , 1 0, ) ()(21iacbaqqbabQaQppi）（ ,Qq , qqq , Q,qq0,212121決策變量：決策變量：() 1,2iiiic qc qi成本函數：成本函數：12( ,)( )( )() 1,2iijiiiiiq qq p Qc qq ab qqci利潤函數：利潤函數：3 3、建立模型、建立模型古諾均衡古諾均衡: :古諾均衡是指這樣一對產量的組合古諾均

23、衡是指這樣一對產量的組合 ，在這，在這個產量水平上沒有企業認為可通過增加或減少產量而提高自個產量水平上沒有企業認為可通過增加或減少產量而提高自己的利潤，產出的組合除了古諾均衡外，不可能再達到均衡。己的利潤，產出的組合除了古諾均衡外，不可能再達到均衡。*12qq、經濟數學模型經濟數學模型*11211211 max( ,)() q qq ab qqcq廠商廠商A A的均衡產量的均衡產量*21221212 max(,)() q qq ab qqcq廠商廠商B B的均衡產量的均衡產量*112=()qR q廠商廠商A A的反應函數的反應函數*221=()qR q廠商廠商B B的反應函數的反應函數廠商選擇

24、的應是均衡產量廠商選擇的應是均衡產量*112112(,)(,)q qq q*212212(,)(,)qqqq經濟數學模型經濟數學模型11212122(,)0(,)= 0qqqqqq(,)qq1211211221222020acbqbqqacbqbqq即即古諾均衡產量使兩個企業都達到利潤最大化，故古諾均衡古諾均衡產量使兩個企業都達到利潤最大化，故古諾均衡點既在企業點既在企業A A的反應函數曲線上又在企業的反應函數曲線上又在企業B B的反應函數曲線的反應函數曲線上，兩條企業反應函數曲線的交點就是古諾均衡點。上，兩條企業反應函數曲線的交點就是古諾均衡點。 經濟數學模型經濟數學模型21112=()2a

25、bqcqR qb12221=()2abqcqR qb兩企業的反應函數為兩企業的反應函數為 兩企業的最優產量為兩企業的最優產量為q2q1均衡點均衡點0q2*q1*R1(q2)R2(q1)*12123accqb*21223accqb經濟數學模型經濟數學模型市場總產量為：市場總產量為：均衡價格為：均衡價格為： *121223accQqqb*1212()3a ccPa b qq企業企業2 2的市場分額：的市場分額：企業企業1 1的市場分額：的市場分額：*11211222qaccQQacc*22121222qaccQQacc經濟數學模型經濟數學模型例例1 1 歐佩克（歐佩克（OPEC,OPEC,石油輸出

26、國組織）試圖通過限制生產石油輸出國組織）試圖通過限制生產水平保持世界石油的高價格。假設歐佩克的生產成本為每水平保持世界石油的高價格。假設歐佩克的生產成本為每桶桶5 5美元，非歐佩克生產國的生產成本為每桶美元，非歐佩克生產國的生產成本為每桶1010美元，又美元，又知道石油市場需求函數為知道石油市場需求函數為 用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。65/3PQ11211211(,)60()3qqqqqq21211221(,)55()3q qqqq q12qq、分析分析：設歐佩克和非歐佩克國的產量分別為：設歐佩克和非歐佩克國的產量分別為 ， 雙方的利雙方的利潤潤函數分別為函數分

27、別為 經濟數學模型經濟數學模型解得反應函數分別為解得反應函數分別為2112180()2qqR q1221165()2qqR q所以石油市場的古諾均衡點為所以石油市場的古諾均衡點為*165q*250q， 11212160033qqq21221255033qqq令令經濟數學模型經濟數學模型 假定市場上的兩個寡頭壟斷企業通過串謀如同一個壟斷者假定市場上的兩個寡頭壟斷企業通過串謀如同一個壟斷者一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點是參加博弈的各方在一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點是參加博弈的各方在決策過程中聯合起來，先追求共同利益的極大化，然后再分決策過程中聯合起來，先追求共同利益的極大化，然后再分配這

28、個已經極大化了的共同利益。配這個已經極大化了的共同利益。12= ( )()p p Qp qq市場需求函數為：市場需求函數為：兩個企業的兩個企業的成本成本函數分別為函數分別為：1122()()c qc q、在串謀條件下，總利潤函數在串謀條件下，總利潤函數為：為：1212121122,()()()()q qp qqqqc qc q（）=1212121122,max()()()()q qp qqqqc qc q則則4 4、兩個企業有串謀的均衡模型、兩個企業有串謀的均衡模型經濟數學模型經濟數學模型令0 , 021qq由此求得各自的最優產量由此求得各自的最優產量例例2 2 兩企業兩企業市場需求市場需求函

29、數和成本函數分別函數和成本函數分別為為：若兩企業串謀，求均衡解，并求若兩企業串謀，求均衡解，并求兩企業的最優利潤。兩企業的最優利潤。21211221000.5(),5 ,0.5pqqcq cq總利潤函數為總利潤函數為22121215 . 05)(5 . 0100qqqqqq1290,5qq124275,250解得解得095211qqq02100212qqq令經濟數學模型經濟數學模型設市場中有設市場中有n n家廠商家廠商,q,qi i為廠商為廠商i i的產量，的產量， 為市場總為市場總產量。已知市場的需求函數為產量。已知市場的需求函數為p=a - bQ , ,為簡單為簡單，假設假設各各廠商生產沒

30、有固定成本，且各廠商的廠商生產沒有固定成本，且各廠商的邊際成本邊際成本c c都都相同。相同。若若各廠商同時選擇產量，則各廠商的利潤函數為各廠商同時選擇產量，則各廠商的利潤函數為Qqiin15 5、多家企業的古諾、多家企業的古諾產量產量競爭模型競爭模型 () 1,2,.,niiiijiijipqcqabqbqqcqin20 1,2,.,nijj iiabqbqcinq 令各廠商的反應函數為各廠商的反應函數為 1,2,.2njj iiabqcqinb經濟數學模型經濟數學模型n n個廠商均衡點滿足個廠商均衡點滿足12=.nqqq12=.=1nacqqqnb（）行業總產量為行業總產量為1()1njjn

31、 acqnb（）市場價格為市場價格為 ()()11n acn acpabanbn（）每個企業的利潤為每個企業的利潤為22()()()11(1)jjn acacacpc qacnnbnb（）（）經濟數學模型經濟數學模型 從上述數學結果來看，當從上述數學結果來看，當n=1n=1時，得到的是壟斷結果；時，得到的是壟斷結果；在在n=2n=2時，得到的是雙頭模型的結果。企業的均衡產量、時，得到的是雙頭模型的結果。企業的均衡產量、市場均衡價格和每個企業的均衡利潤都與行業內企業數市場均衡價格和每個企業的均衡利潤都與行業內企業數量量n n有關系。有關系。 0limlim(1)innacqnb () limli

32、m(1)nnn acacQnbb 在古諾均衡中，隨著企業數量的無限增加，每個企業的在古諾均衡中，隨著企業數量的無限增加，每個企業的產出水平接近零，而行業總產量接近競爭產出水平。產出水平接近零，而行業總產量接近競爭產出水平。 n 時企業均衡產量和市場總產量的變化：時企業均衡產量和市場總產量的變化：經濟數學模型經濟數學模型 古諾均衡價格隨著企業數量增加的結果為：古諾均衡價格隨著企業數量增加的結果為：limlim1nnancPcn 古諾均衡價格在古諾均衡價格在n=1n=1時為壟斷價格水平，隨著行業中時為壟斷價格水平，隨著行業中企業數量的無限增加，呈不斷下降的趨勢，直到逼近企企業數量的無限增加，呈不斷

33、下降的趨勢，直到逼近企業單位生產成本即完全競爭價格水平。業單位生產成本即完全競爭價格水平。 這說明，當企業個數很多時，市場價格將趨于企業的這說明，當企業個數很多時，市場價格將趨于企業的邊際成本，市場產量將會不斷增加，而價格將會下降，從邊際成本，市場產量將會不斷增加，而價格將會下降，從而有助于增加消費者的福利。而有助于增加消費者的福利。經濟數學模型經濟數學模型問問題題價格指數是消費品價格變化的度量價格指數是消費品價格變化的度量. .幾百年來，經濟學家們提出了許多種價格指數幾百年來，經濟學家們提出了許多種價格指數. .如何評價這些價格指數的合理性？如何評價這些價格指數的合理性？以種和種商品的價格指

34、數為例以種和種商品的價格指數為例對一種給定商品，原價對一種給定商品，原價p p0 0, , 現價現價p p, , 價格變化價格變化 I I= =p p/ /p p0 0對兩種給定商品，原價對兩種給定商品，原價p p0 01 1, , p p0 02 2, , 現價現價p p1 1, , p p2 2, , 價格變化指標價格變化指標022011ppppI020121ppppI020121ppppI 沒有體現沒有體現“權權”的概念，應有的概念，應有價格綜合指數價格綜合指數 經濟數學模型經濟數學模型商品名稱計量單位報 告 期基 期銷售量 單價 (元)銷售量 單價 (元) q1p1q0p0甲米6000

35、.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企業三種產品平均日產與價格某企業三種產品平均日產與價格3130144492.5%480iiipiiip qIp q價格綜合指數價格綜合指數 定義為定義為pI3301144448036iiiiiip qp q 說明三種產品價格綜合下降說明三種產品價格綜合下降7.5%7.5%，企業日產值減少，企業日產值減少3636元。元。經濟數學模型經濟數學模型問題的一般提法問題的一般提法 設有設有n n 種代表性消費品，建立衡量基年和現年價格變化指標。種代表性消費品，建立衡量基年和現年價格變化指標。基年基年( (基準年基準年

36、) ) 價格指數記為價格指數記為I I( (p,q|pp,q|p0 0,q,q0 0) )權重權重Tnqqqq),.,(002010現年現年( (報告年報告年) )Tnpppp),.,(002010價格價格Tnpppp),.,(21價格價格權重權重Tnqqqq),.,(21歷年來諸多學者都對指數計算做了研究，下面列舉經濟學歷年來諸多學者都對指數計算做了研究，下面列舉經濟學家們提出的常用價格指數。家們提出的常用價格指數。經濟數學模型經濟數學模型 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq基年權重法基年權重法 現年權重法現年權重法 0012001(,)ini

37、iiniipqIp qp qp,q p qpq 基年現年權重并用法基年現年權重并用法 001300001(,)iniiiniip qIp qp qp,q p qpq固定權重法固定權重法 0014001(,),0iniiiiniip aIap ap ap,q pqpa經濟數學模型經濟數學模型幾何平均法幾何平均法 0001/21 2512000(,)()()II Ip qp qp,q pqpqpq 冪平均法冪平均法 006011(,),0,1inniiiiiipIpp,q pq規范基年權向量規范基年權向量冪平均法冪平均法 00070011(,),iniiiniiiipqIpqp,qpq 規范現年權

38、向量規范現年權向量冪平均法冪平均法 008011(,),iniiiniiiipqIpqp,q pq問題：哪種定義更合理？理想的價格指數是什么？問題：哪種定義更合理？理想的價格指數是什么？經濟數學模型經濟數學模型1. 1. 價格單調性價格單調性：一種商品漲價，其他不降，則：一種商品漲價，其他不降，則I I應上升應上升價格指數的公理化價格指數的公理化p, q, p0,q00, I(p,q| p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 2. 權重不變性權重不變性：所有商品價格不變，則：所有商品價格不變，則I I應不變應不變1),|,(000qpqpI3. 3. 價格齊次性

39、價格齊次性：所有商品漲價：所有商品漲價k k倍，則倍，則I I應上升應上升k k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. 4. I I應位于單種商品價格比值的最小、最大值之間應位于單種商品價格比值的最小、最大值之間0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp經濟數學模型經濟數學模型5. 5. 貨幣單位獨立性貨幣單位獨立性：I I應與貨幣單位的選取無關應與貨幣單位的選取無關0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 6. 計量單位獨立性計量單位獨立性： I I應與商品計量單位的選取無關應與商品計量單位的選取無關為非負對角陣),|,(),|,(0

40、00101qpqpIqpqpI7. 7. 兩年的價格指數之比與基年選取無關兩年的價格指數之比與基年選取無關),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 8. 價格指數不因某種商品被淘汰失去意義價格指數不因某種商品被淘汰失去意義iqpqpIip, 0),|,(lim000經濟數學模型經濟數學模型則價指數則價指數I I2 2為為1 120110 91.258 9p qIp q若豬肉計量單位換算為公斤若豬肉計量單位換算為公斤 基期基期 p p0 0=2=28=168=16元元, , 銷量銷量q q0 0 =10 =102=52=5公斤公斤 現價

41、現價 p p1 1 =2 =210=2010=20元元, ,銷量銷量q q1 1 =9 =92=4.52=4.5公斤公斤價格指數應不變25. 14.5164.50210112qpqpI對性質對性質6 6解釋舉例解釋舉例豬肉豬肉 基期基期p p0 0=8=8元元, , 銷量銷量q q0 0 =10 =10斤斤 現價現價p p1 1 =10 =10元元, ,銷量銷量q q1 1 =9 =9斤斤為非負對角陣),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI),(21,2 21,20011200112qpqpIqpqpI）（即經濟數學模型經濟數學模型I I1 1, , I I2 2, , I I5

42、5不滿足公理不滿足公理7 7艾希霍恩（艾希霍恩（EichhornEichhorn）給出了如下定理（）給出了如下定理（19731973）定理定理: : 不存在同時滿足公理不存在同時滿足公理2,3,6,7,82,3,6,7,8的價格指數的價格指數. .I I6 6, , I I7 7, , I I8 8不滿足公理不滿足公理8 8I I3 3不滿足公理不滿足公理2 2I I4 4不滿足公理不滿足公理6 6常見的價格指數常見的價格指數I I1 1 I I8 8中：中：經濟數學模型經濟數學模型 不存在滿足所有公理的價格指數，但經濟學不能沒有價格指不存在滿足所有公理的價格指數，但經濟學不能沒有價格指數，要

43、選擇綜合性能好的指數。分析現有數，要選擇綜合性能好的指數。分析現有I I1 1 -I -I8 8，應剔除哪一個？，應剔除哪一個？ I I4 4與與I I6 6需構造另外參數，不方便使用，需構造另外參數，不方便使用，I I5 5 可由可由I I1 1和和I I2 2 直接得到，直接得到，I I3 3不滿足公理不滿足公理2 2，I I7 7、I I8 8 計算量大且不滿足公理計算量大且不滿足公理6 6、7 7、8. 8.I I1 1, , I I2 2滿足除公理滿足除公理7 7外的所有公理，且計算簡單，所以是外的所有公理，且計算簡單，所以是目前最常用的價格指數。目前最常用的價格指數。目前常用的價格

44、指數目前常用的價格指數: : I I1 1, , I I2 2 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq0012001(,)iniiiniip qIp qp qp,q pqpq經濟數學模型經濟數學模型中國中國幾種主要價格指數簡介幾種主要價格指數簡介1 1、商品零售價格指數、商品零售價格指數 RPI RPI 零售價格指數零售價格指數(Retail Price index)(Retail Price index)是反映城鄉商品零是反映城鄉商品零售價格變動趨勢的一種經濟指數。它的變動直接影響到城鄉售價格變動趨勢的一種經濟指數。它的變動直接影響到城鄉居民的生活支出和國家財政收入，影響居民的購買力和市場居民的生活支出和國家財政收入，影響居民的購買力和市場供需平衡以及消費和積累的比例。商品主要包括供需平衡以及消費和積累的比例。商品主要包括食品、飲料食品、飲料煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報雜志、煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報雜志、文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢材料、機電產品等十四個大類材料、機電產品等十四個大類304304種種必報產品必報