1、首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出1tx第四章第四章 機械振動機械振動前言前言4-1 4-1 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征4-2 4-2 簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學4-3 4-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量4-4 4-4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 * *振動的頻譜分析振動的頻譜分析4-5 4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出2 1、什么是振動：、什么是振動： 物體在一固定位置附近作來回的往復運動，稱為機械振動。物體在一固定位置附近作來回的往復運動，稱為機械振動。 廣義地，凡是描述物質運動狀態的廣義地，

2、凡是描述物質運動狀態的物理量物理量，在某一固定，在某一固定 值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。振動的概念振動的概念 任何一個具有質量和彈性的系統在其運動狀態發生突變時任何一個具有質量和彈性的系統在其運動狀態發生突變時, 都會發生振動。都會發生振動。物體在發生搖擺、顛簸、打擊、發聲之處均有振動。物體在發生搖擺、顛簸、打擊、發聲之處均有振動。2、振動的特征、振動的特征(在時間上）具有某種重復性。在時間上）具有某種重復性。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出34-1 4-1 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征任何一個振動都可看成若干不同

3、頻率的簡諧振動的合成。任何一個振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。振動中最簡單最基本的是簡諧振動。振動中最簡單最基本的是簡諧振動。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出44.1.1 彈簧振子模型彈簧振子模型1）定義：）定義：構成：輕質彈簧一端固定其另一端構成：輕質彈簧一端固定其另一端 與剛體聯結。與剛體聯結。條件：位移限定在彈性限度內，不條件：位移限定在彈性限度內，不計彈簧內部摩擦。計彈簧內部摩擦。2）無阻尼時的自由振動）無阻尼時的自由振動阻尼：阻尼： 干摩擦、濕摩擦（介質阻力）、輻射干摩擦、濕摩擦（介質阻力）、輻射 自由振動：指系統只受外界一次性擾動，而后的運動自由振動：指系統只

4、受外界一次性擾動，而后的運動 只在系統內部恢復力作用下運動。只在系統內部恢復力作用下運動。（1）平衡位置與坐標原點：）平衡位置與坐標原點：平衡位置：是系統處于穩定平穩的位置，并選該點為平衡位置：是系統處于穩定平穩的位置，并選該點為坐標原點（對水平面上的彈簧振子，則是其自由伸長處）。坐標原點（對水平面上的彈簧振子，則是其自由伸長處）。X0 xFK首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出5（3 3）慣性的作用）慣性的作用 整個系統是在內部線性恢復力和慣性的交互作用下來實現振整個系統是在內部線性恢復力和慣性的交互作用下來實現振 動的。動的。 恢復力與位移正比而反恢復力與位移正比而反向（線性回復力

5、），即向（線性回復力），即 （2 2） 彈性恢復力的特點：彈性恢復力的特點：此處位移特指系統偏離平衡位置的位移此處位移特指系統偏離平衡位置的位移。F= -kx X0 xFK首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出63 3）彈簧振子的運動微分方程）彈簧振子的運動微分方程mk2令0222xdtxd則得kxdtxdm22由牛頓定律：由牛頓定律：以振子為對象以振子為對象)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出72）無阻尼時的自由振動）無阻尼時的自由振動（1）平衡位置與坐標原點：）平衡位置與坐標原點： 鉛直位置為角平衡位置，鉛直位置為角平衡位置，o為

6、角坐標為角坐標原點。原點。（2）恢復力矩的特點：）恢復力矩的特點： 重力對過懸點重力對過懸點0/的水平軸的力矩為：的水平軸的力矩為：sinmglM 負號表示力矩方向始終與角位移方負號表示力矩方向始終與角位移方向相反。向相反。1 1）定義）定義)5的擺動(在豎直平面內作小角度在重力作用下,:條件輕繩與質點固聯一端固定的不可伸長的:構成o1、單擺、單擺/o0lgmT/o04.1.2 微振動的簡諧近似微振動的簡諧近似首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出8根據麥克勞林展開根據麥克勞林展開 53! 51! 31sin略去高階無窮小后略去高階無窮小后mglM（3）慣性的作用）慣性的作用:即恢復力矩

7、與角位移正比而反向。即恢復力矩與角位移正比而反向。 （角位移指偏離平衡位置的角位移）（角位移指偏離平衡位置的角位移）此處的慣性指擺球對過此處的慣性指擺球對過0/的水平軸的轉動慣量的水平軸的轉動慣量 Iml2首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出93）單擺的運動微分方程）單擺的運動微分方程由定軸轉動的轉動定律：由定軸轉動的轉動定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd則得方程的解為方程的解為00costIM 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出102）同單擺一樣分析可得復擺運動微分方程）同單擺一樣分析可得復擺運動微分方程2、復、復 擺擺Imgh2令令0222dtd則得

8、則得sinmghMmghM式中式中h指質心到懸點的距離指質心到懸點的距離mghdtdI22由定軸轉動的轉動定律：由定軸轉動的轉動定律：方程的解為方程的解為00cost chmg1)定義定義同單擺條件： 軸轉動構成：剛體繞水平光滑首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出11例例4.1一質量為一質量為m的物體懸掛于輕彈簧下端，的物體懸掛于輕彈簧下端，不計空氣阻力，試證其在平衡位置附近的振動不計空氣阻力，試證其在平衡位置附近的振動是簡諧振動是簡諧振動.證如圖4.4所示，以平衡位置A為原點，向下為x軸正向，設某一瞬時振子的坐標為x，則物體在振動過程中的運動方程為式中l是彈簧掛上重物后的靜伸長，因為

9、mgkl，所以上式為22()d xmk x lmgdt22d xmkxdt 2220d xxdt為即式中 .于是該系統作簡諧振動.2km首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出124.2.1 簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程以彈簧振子為例，其動力學方程為以彈簧振子為例，其動力學方程為0222xdtxd該方程的解該方程的解0costAx即為諧振動的運動學方程即為諧振動的運動學方程式中式中A A和和 0 0為由初始條件所決定的兩個積分常數。為由初始條件所決定的兩個積分常數。4-2 4-2 簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出134.2.2 描述簡

10、諧振動的三個重要參量描述簡諧振動的三個重要參量 1、振幅、振幅A)sin()cos(00tAVtAx 令令t=0則則 )2() 1 (sincos0000AVAx 222122020VxA得（1）周期）周期T：完成一次完全振動所需的時間完成一次完全振動所需的時間2、周期、頻率、圓頻率、周期、頻率、圓頻率)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2 T2T或首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出14 (3)圓頻率圓頻率 ： 秒內完成的完全振動的次數秒內完成的完全振動的次數固有角頻率固有角頻率Imghmklg222復擺復擺彈簧振子彈簧振子單擺單擺(2)頻率頻率 ：單位時間內所完成

11、的完全振動的次數單位時間內所完成的完全振動的次數T1 固有振動周期固有振動周期mghITkmTglT222(4)固有圓頻率：固有圓頻率：僅由振動系統的力學性質所決定的頻率僅由振動系統的力學性質所決定的頻率2首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出15 3、位相和初位相、位相和初位相 位相是描述系統機械運動狀態的物理量。（相又指月相之相位相是描述系統機械運動狀態的物理量。（相又指月相之相 取其具有周期性）取其具有周期性）)sin()cos() 1 (00tAvtAx能確定系統運動狀態，而又能反映其周期性特征的是能確定系統運動狀態，而又能反映其周期性特征的是 0t (i)用分析法確定特殊情況下

12、的位相用分析法確定特殊情況下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 時，時，x0=A, v0=0. (位位位置；相位置；相變化的態勢）變化的態勢）X0X0=+A（2 2） 0 0 是是t t =0=0時刻的位相，即時刻的位相，即初位相（初位相（0 02 2 之間取值）之間取值）首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出160sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx00sin0cos0000AvAx230X0v t=0時時, x0=0, v00首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出170sin2cos0000AvAAx300000sincosAvA

13、x000 xvtg即由初始條件所決定的兩個積分常數即由初始條件所決定的兩個積分常數分別為和0A )(2020vxA )(0010 xvtg(ii)(ii)用由初始條件決定的積分常數求初位相用由初始條件決定的積分常數求初位相0 0 取使取使x x0 0 、v v0 0 均滿足的值均滿足的值 X0 A2v t=0時時, x0=A/2, v00v首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出1800AXoXo txXo-AXoAXo2/002/30 tx20 tx tx tx) 2/() 0(0首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出19一個諧振動從一個諧振動從一個狀態到另一個狀態一個狀態到另一個

14、狀態經歷的時間間隔為經歷的時間間隔為 t=t2t1= T 2位相差位相差 兩個振動在同一時刻兩個振動在同一時刻t的位相差的位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10) x2=A2cos(2t+20)1）兩個簡諧振動的位相差）兩個簡諧振動的位相差 2）同一振動在不同時刻的位相差）同一振動在不同時刻的位相差同一振動在同一振動在t1、t2時刻的位相差為時刻的位相差為 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1) 兩個同頻振動在同一時刻的位相之差兩個同頻振動在同一時刻的位相之差 =20-10首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出201

15、、旋轉矢量的規定法則、旋轉矢量的規定法則 (1) 旋轉矢量的制作旋轉矢量的制作(2) 旋轉矢量的作用：旋轉矢量的作用：使使描描述述諧諧振振動動的的三三個個重重要要 參參量量A A、形形象象化化 (3)旋轉矢量本身不是諧振動旋轉矢量本身不是諧振動若已知一個諧振動若已知一個諧振動 x = A cos( t+ 0)相應的旋轉矢量如圖所示。相應的旋轉矢量如圖所示。習慣上用習慣上用 振動在y軸上的投影描述電A振動在x軸上投影描述機械AA的位置xt+ t 時刻時刻t=0 時時刻刻A的位置的位置x0XO首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出21例例4.2如圖如圖4.6所示，輕質彈簧一端固定，另一端系一

16、輕繩，繩過定滑輪掛所示，輕質彈簧一端固定，另一端系一輕繩，繩過定滑輪掛一質量為一質量為m的物體的物體.設彈簧的勁度系數為設彈簧的勁度系數為k，滑輪的轉動慣量為，滑輪的轉動慣量為I，半徑為，半徑為R.若物體若物體m在其初始位置時彈簧無伸長，然后由靜止釋放在其初始位置時彈簧無伸長，然后由靜止釋放.(1)試證明物體試證明物體m的的運動是諧振動；運動是諧振動；(2)求此振動系統的振動周期；求此振動系統的振動周期；(3)寫出振動方程寫出振動方程.解(1)若物體m離開初始位置的距離為b時，受力平衡，則此時有mgmgkbbk即以此平衡位置O為坐標原點，豎直向下為x軸正向，當物體m在坐標x處時，由牛頓運動定律

17、和定軸轉動定律有11221122()mgTmaT RT RITk xbaRTTTT及首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出22聯立式解得所以，此振動系統的運動是諧振動.2220Id xmkxRdt即2220/d xkxdtmI R(2)由上面的表達式知，此振動系統的圓頻率2/kmI R故振動周期為 2/22mI RTk首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出23振動系統的振動方程為(3)依題意知t0時， b， 0，可求出0 x0v22002vmgAxbk000arctan()vx02mgkcos()coskm+ I/RxAtt首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出24例例4.3

18、已知如圖已知如圖4.7所示的諧振動曲線，試寫出振動方程所示的諧振動曲線，試寫出振動方程.0cos()xAt解設諧振動方程為024cos 從圖中易知A4 cm，下面只要求出 和即可.從圖中分析知，t0時， ，且 (由曲線的斜率決定)，代入振動方程，有002xcm 00dxvdt故 ，又由 ，得 ，因此只能取 .023 00sin0vA 0sin0023再從圖中分析，t1 s時，x2 cm，v0，代入振動方程有0224cos()4cos()3即21cos()32首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出2524cos()3xtcm所以 或 (應注意這里不能取 ).2533733因同時要滿足 ，即

19、 ，故應取 ，即，所以振動方程為2sin()03vA 2sin()032533首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出26一、動能一、動能221mvEk)(2mk二、勢能二、勢能221kxEP三、總能三、總能221kAEEEPk四、動能和勢能在一個周期內的平均值四、動能和勢能在一個周期內的平均值2cos121sin)2cos1 (21cos22)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA2max21mv2221Am設設x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0)4-3 4-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量首首 頁頁 上上 頁頁 下下

20、頁頁退退 出出27同理平均勢能同理平均勢能2002241)(cos211 KAdttKATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost在一個周期在一個周期 T 內的平均動能內的平均動能 )(sin211 0022TKdttKATE241KA )(2cos1 21211 002TdttKAT首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出280000()mumM VmVumM解(1)子彈射入木塊過程中，水平方向動量守恒.設子彈陷入木塊后兩者的共同速度為 ，則有0V取彈簧處于自由狀態時，木塊的平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正方向，并取木塊和子彈一起開始向右運動的時刻為計時

21、起點.因此初始條件為 ，而子彈射入木塊后諧振系統的圓頻率為00000 xvV，kmM例例4.44.4如圖如圖4.114.11所示，光滑水平面上的彈簧振子由質量為所示，光滑水平面上的彈簧振子由質量為M M的木塊和勁度的木塊和勁度系數為系數為k k的輕彈簧構成的輕彈簧構成. .現有一個質量為現有一個質量為m m，速度為，速度為 的子彈射入靜止的木的子彈射入靜止的木塊后陷入其中，此時彈簧處于自由狀態塊后陷入其中，此時彈簧處于自由狀態.(1).(1)試寫出該諧振子的振動方程；試寫出該諧振子的振動方程；(2)(2)求出求出 處系統的動能和勢能處系統的動能和勢能. .0u2Ax 首首 頁頁 上上 頁頁 下

22、下 頁頁退退 出出29設諧振系統的振動方程為 ，將初始條件代入得0cos()xAt所以諧振子的振動方程為 0000cossin0AVA 聯立求出 032000sin()VmuAk mM 00cos()3cos2xAtmuktmMk mM首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出30 (2)xA/2時諧振系統的勢能和動能分別為2222022222011()222831132888pkpm uAEkxkmMm uEEEkAkAkAmM首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出314.4.1 同方向同頻率諧振動的合成同方向同頻率諧振動的合成x1 = A1cos ( t+ 1) x2 = A2 c

23、os ( t+ 2) 求求： x x1 x2 1 1、 計算法計算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos202101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA 令4-4 4-4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 *振動的頻譜分析振動的頻譜分析首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出32 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx 上式兩個同方向、同頻率的諧振動的合振動仍

24、然是一個同兩個同方向、同頻率的諧振動的合振動仍然是一個同頻率的諧振動。頻率的諧振動。合振幅合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg其中其中首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出332、旋轉矢量合成法、旋轉矢量合成法xy0A110A220A0 x1x2x1y2yy 利用正切函數求得合振動的初位相。利用正切函數求得合振動的初位相。 兩振動頻率相同，則它們的旋轉矢量以相同的角速度兩振動頻率相同，則它們的旋轉矢量以相同的角速度 旋旋轉，故形成穩定的平形四邊形。轉，故形成穩定的平形四邊形。 利用矢量加法的平行四

25、邊形法則，合振動的旋轉矢量為利用矢量加法的平行四邊形法則，合振動的旋轉矢量為A，首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出34振幅最大振幅最大 Amax=A1+A2振幅最小振幅最小 Amin= |A1 A2|3、位相差對合振幅的影響、位相差對合振幅的影響2 , 1 , 0 2 )()(10201020kktt（1 1）若位相差）若位相差2 , 1 , 0 ) 12( kk（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差 1020為其它任意值時為其它任意值時振幅振幅A A AminA Amax首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出35從圖可看出，因兩旋轉矢量的角從圖可看出，因兩旋

26、轉矢量的角速度速度 1 1、 2 2 不相同，所以由兩不相同，所以由兩矢量矢量A A1 1、A A2 2合成的平行四邊形的合成的平行四邊形的形狀要發生變化，矢量形狀要發生變化，矢量A A的大小的大小也隨之而變，出現了振幅有周期也隨之而變，出現了振幅有周期性地變化。性地變化。1、利用旋轉矢量合成法、利用旋轉矢量合成法4.4.2 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成1ox1A2AA2首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出36 因此，當兩個振動頻率接近時，合成中由于周期的微小因此，當兩個振動頻率接近時，合成中由于周期的微小差別而造成合振幅隨時間作周期性變化，振動時而加強時而

27、差別而造成合振幅隨時間作周期性變化，振動時而加強時而減弱的現象稱為減弱的現象稱為拍拍。合振動在單位時間內加強合振動在單位時間內加強(或減弱或減弱)的次數稱為的次數稱為拍頻。拍頻。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出372、拍振動表達式、拍振動表達式 設分振動為設分振動為11cos()xAt22cos()xAt2cos2cos2coscos2121122 cos()cos()22xxxAtt3、拍頻：指合振幅變化的頻率、拍頻：指合振幅變化的頻率 余弦函數的周期應為余弦函數的周期應為2，但，但取絕對值后，周期為取絕對值后，周期為，故合振，故合振幅變化的周期幅變化的周期 2121222拍拍頻

28、為于是拍即即“拍頻拍頻”等于兩個分振動頻率之差。等于兩個分振動頻率之差。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出384、“拍振動拍振動”的應用的應用 聲振動、電磁振蕩和波動中是經常遇到的。聲振動、電磁振蕩和波動中是經常遇到的。 利用拍現象還可以測定振動頻率、校正樂器和制造差拍振利用拍現象還可以測定振動頻率、校正樂器和制造差拍振蕩器等等蕩器等等5、同步鎖模：、同步鎖模：上面關于拍頻現象的討論只是數學計算的結果。這只是問上面關于拍頻現象的討論只是數學計算的結果。這只是問題的一種可能。如果這兩個分振動，通過一定物理條件，使題的一種可能。如果這兩個分振動，通過一定物理條件，使二者發生了非線性耦合，

29、 那么上面那種簡單的線性疊加就不二者發生了非線性耦合， 那么上面那種簡單的線性疊加就不再成立，而會出現所謂“同步鎖模”現象，即兩個分振動的再成立，而會出現所謂“同步鎖模”現象，即兩個分振動的頻率鎖定在同一個頻率上。頻率鎖定在同一個頻率上。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出39*4.4.3 振動的頻譜分析振動的頻譜分析確定一個復雜振動能包含的各種簡諧振動的頻率及其對應的振幅稱為頻譜分析.例如，圖4.14所示的方波，根據數學計算有0123222sinsin3sin5235AAAAxtttxxxx式中第一項可看成周期為無窮大的零頻項，第二、三、四項就是頻率分別為 , , 的諧振動，其振動

30、曲線分別如圖4.14(b)，(c)，(d)所示，它們的合振動曲線就接近方波了. 0v03v05v首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出40 一個任意的周期性復雜運動，分解后是一組包含一系列諧泛一個任意的周期性復雜運動，分解后是一組包含一系列諧泛頻振動的無窮級數。頻振動的無窮級數。 一個隨機的振動分解后只能用福里哀積分表示，即其頻譜一個隨機的振動分解后只能用福里哀積分表示，即其頻譜線不是分立的，而是連續的，即線不是分立的，而是連續的，即 xf tAtdBtd( )( )cos( )sin 00首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出41* *4.4.4 4.4.4 兩個相互垂直的同頻率

31、簡諧振動的合成兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成110cos()xAt220cos()yAt設設 下面所做的工作是為了消去參量下面所做的工作是為了消去參量t，而得其軌跡方程。，而得其軌跡方程。將兩分振動方程進行恒等變換，得將兩分振動方程進行恒等變換，得 10101coscossinsin1xttA 20202coscossinsin2yttA 2010201012coscossinsin()3xytAA得得 20101cos2cos由由首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出42 201sin由由 102sin 2010201012sinsincossin()4xytAA得得 并整理可得并

32、整理可得 2243222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A 這說明：振動方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓這說明：振動方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓 曲線，但曲線的形狀則與兩分振動的位相差有很大關系。曲線，但曲線的形狀則與兩分振動的位相差有很大關系。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出43 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = PQ首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出44* *4.4.5 4.4.5 兩個相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成兩個相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成首首 頁頁 上

33、上 頁頁 下下 頁頁退退 出出454.5.1 阻尼振動阻尼振動1、 固體在介質中所受阻力在一般情況下為固體在介質中所受阻力在一般情況下為 221vvfrdtdxvfr 2、以彈簧振子為例，其運動微分方程為、以彈簧振子為例，其運動微分方程為kxdtdxdtxdm22令令 ， 則有則有 02kmm2我們只討論其中的線性部分，我們只討論其中的線性部分，即在低速情況下的振動即在低速情況下的振動4-5 4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出46d xdtdxdtx220220式中式中阻尼系數阻尼系數 0系統固有角頻率。系統固有角頻率。方程的解及其

34、物理意義方程的解及其物理意義 1 1、弱阻尼、弱阻尼 )1(0220令令)cos(00teAxt(1)式中式中A0、0是由初始條件所是由初始條件所決定的兩個積分常數；決定的兩個積分常數； (2)阻尼振動的振幅阻尼振動的振幅 teAA0即即 ： 振幅按指數規律衰減，故阻尼振動又稱減幅振動；振幅按指數規律衰減，故阻尼振動又稱減幅振動；首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出47(3) 準周期的問題：準周期指函數準周期的問題：準周期指函數 與時間軸與時間軸t的零交點間的間隔（但函數的峰值不在兩零交點的的零交點間的間隔（但函數的峰值不在兩零交點的中心）中心）,即即)cos(00teAtx阻尼振動曲

35、線阻尼振動曲線ot/T/2 T22022T 說明阻尼越大，準周期越大，阻尼越小，越接近系統固有說明阻尼越大，準周期越大，阻尼越小，越接近系統固有 周期。周期。002T首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出482 2、臨界阻尼、臨界阻尼 )(220這時這時teccx)(21 c1、c2為兩積分常數。為兩積分常數。其用途之一其用途之一, 用于靈敏儀器的回零用于靈敏儀器的回零裝置。裝置。ttececx)(2)(1202202此時此時 其不是往復運動，須無限長的其不是往復運動，須無限長的時間才能回零。時間才能回零。3 3、過阻尼、過阻尼 )(202首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出491、弱阻尼諧振子系統諧受迫振動微分方程、弱阻尼諧振子系統諧受迫振動微分方程以彈簧振子為例以彈簧振子為例202cosd xdxmkxFptdtdt 其運動方程為其運動方程為,20mk令,2m00Ffm4.5.2 4.5.2 受迫振動受迫振動220022cosd xdxxfptdtdt 則得則得 外界作用外界作用 不討論不討論隨機外力隨機外