1、 2.1傅里葉變換傅里葉變換 2.2拉普拉斯變換拉普拉斯變換 2.3Z變換變換 2.4希爾伯特變換希爾伯特變換 2.1.1傅里葉級數傅里葉級數 2.1.2傅里葉積分傅里葉積分 2.1.3傅里葉變換傅里葉變換 2.1.4卷積與相關函數卷積與相關函數)()(nTtxtxT/201. 傅立葉級數傅立葉級數2.1.1傅里葉級數00( )()jktkx tX ke001()( )t TjkttX kx t edtTFS傅立葉系數 是第 次諧波的系數，所以 在頻率坐標軸上是離散的，間隔是 。0()X kk0()X k0( )x tAtT220T0k0()X k2. 傅立葉變換：FT()( )1( )()2

2、j tj tX jx t edtx tX jed 001()( )t TjkttX kx t edtTFS：若 是非周期信號，可以認為：( )x t( )x tT 的周期00( )2 /0,x tTTk 的周期連續()X j0lim( )( )t TjkttTj tx t edtx t edt 001()( )t TjkttX kx t edtT由0002()lim()limTX kTX k有頻譜密度t( )x tA220( )x tAtT220T0k1. 對應連續非周期對應連續非周期 對應連續周期；對應連續周期；2. 連續連續 離散離散3. 密度密度 強度強度)( jX)(0kX 請深刻理解

3、FS和FT的定義，及它們的區別與聯系！ FT存在的必要條件：()( )( )jtX jx t edtx t dt 1( )x tL說法1：2( )x tL說法2：22( )( )xEx tdtx t dt因為22( )( )xEx tdtx t dt因為所以，如果 是絕對可積的，那么它一定是平方可積的，但是反之不一定成立。例如，sin2( )tx tt( )x t是平方可積的，但不是絕對可積的。所以，取 更穩妥（即更嚴格）。2( )x tL周期信號： 可以實現傅里葉級數的分解， 屬于功率信號；非周期信號：可以實現傅里葉變換， 屬于能量信號；那么，周期信號可否實現傅里葉變換 在經典數學的意義上是

4、不可實現的，但在引入了奇異函數后可以實現。dtetxjXtj)()(00()jktj tkX keedt dtekXtkjk)(00)()(2ydxejxykkkXjX)()(2)(00密度FT強度FS周期信號FS例例：令 求其傅立葉變換。0( )cos(2)x tf t因為： 所以，嚴格意義上的傅立葉變換不存在，可將其展開為傅立葉級數：2( )x tdt 00000( )()/2,()1/2,1, 1jtkjtjtx tX keeeX kk 現利用 函數 將 作傅立葉變換：( )x t00()()00( )()()jtjtj tx t edteedt 0()X k1/21/21100k()X

5、 j000FSFT線譜 表達式是表達式是 傅里葉積分傅里葉積分存在的條件是存在的條件是x（t）分段連）分段連續，且在區間內絕對可積。續，且在區間內絕對可積。nnznxzX)()(nnjjenxeX)()(nnjezjenxzXeXj)(| )()(2.1.3傅里葉變換DTFT和Z變換的關系?。ㄒ唬┒x1. 是離散的，所以變換需要求和；(2 )(2 )()( )jjnnX ex n e( )()j njnx n eX e( )x n2. 是 的連續函數；()jX e3. 是 的周期函數，周期為 ；()jX e24. 存在的條件是 空間1( )x nl()jX e（二）特點可以看作是將 在頻域展開

6、為傅立葉級數，傅立葉系數即是 ；()jX e( )x nnnjjenxeX)()(5. DTFT7. 由 可以得到 的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實現離散信號的頻頻分析；()jX e( )x n6. 是 在單位圓上取值時的 變換： jezjzXeX| )()(zz 8. 8. 反變換反變換()()( )( )2( )jj mj nj mnjn mnX eedx n eedx nedx m20)(demnjmnmndeeXnxnjj)(21)(nnjjenxeX)()(四種傅立葉變換四種傅立葉變換: :1. 1. 連續非周期連續非周期 連續非周期連續非周期( ( ) FT) FT2. 2. 連續

7、周期連續周期 離散非周期離散非周期 ( ( ) ) FS FS3. 3. 離散非周期離散非周期 連續周期（連續周期（ ） DTFTDTFT4. 4. 離散周期離散周期 離散周期離散周期 DFSDFS 切實理解四種FT之間的對應關系四種傅立葉變換四種傅立葉變換1. 線性)()()()(2121jjebXeaXnbxnaxF2. 移位00 ()()j njF x nneX e3. 奇偶、虛實性質()()( )()()|()|jj njjRInjjX ex n eXejXeX ee （三）性質)()(nxnx)()(jRjIeXeX)(| )(|jeXoddeven()()( )( )( )()jj

8、 nj nnnjnjnXex n ex n ex n eX e如果 是實信號，即( )x n如果 是實偶信號，即( )x n( )()x nxn則 是 的實函數！()jX e4. 4. 如果如果)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY則：5. 5. 如果如果)()()(nhnxnydeHeXeYjjj)()(21)()(則：時域卷積定理 頻域卷積定理！()() ()jjjxyEeXeY e2.1.4卷積與相關函數卷積與相關函數( )( ) ()xynrmx n y nm互相關：( )( ) ()xnr mx n x nm2()()()()jjjjxE eXeX eX e自相關：自

9、相關函數的 DTFT 始終是 的實函數！DTFT 2.2.1拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念 2.2.2拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質 2.2.3拉普拉斯變換的應用拉普拉斯變換的應用 2.3.1離散時間序列與離散時間序列與Z變換變換 2.3.2Z變換的性質變換的性質 2.3.3Z逆變換逆變換時域：時域：)(tx復頻域：復頻域： dtetxsXst)()(jsf2Laplace 變換 s 平面j0所以0dtetxjXtj)()(Fourier 變換 頻域：s 平面j0所以，傅里葉變換是 僅在虛軸上取值的拉普拉斯變換。sjs因為sj ( )( )()snx nx ttnT() ()ssn

10、x nTtnT對離散信號，可否做拉普拉斯變換 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：()sssjTTj Tjzreeee nnznxzX)()(則：得到：得到： sTsreT sz與拉普拉斯變換 對應連續信號 變換 對應離散信號 zssTj Tjreee離散信號的 z 變換1|2()( )jjrssjj nnzreeTffX ex n e 離散時間序列的傅里葉變換， DTFTz平面Re zIm z0z平面Re zIm z01r 0202ssssf 020224:2ssTff z平面Re zIm z

11、0rjs 平面02sf4sf2sf4sf00000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 10.50.51k2kN1N 解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuImzj) 1()(nuanxn例2：) 1( nu011,n 其他11011( )1()111ROC:1,nnnnnX za za zza zzaa zza ROC:za)()(nuanxn注意：( )zX zza) 1()(nuanxn( )zX zzazazaZ Z變換的定義變換的定義解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX

12、031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj321: )(NNnnx1.1221, 0, 0NNNNROC：0|z右邊有限長序列21211211( )( )()()NnNNn NX zx n zx Nx Nzz0z 2.21: )(NNnnx0, 021NN|0zROC:雙邊有限長序列0,zz 3.1: )(Nnnx1|Rz 4.1: )(Nnnx2|Rz 5.nnx: )(21|RzRROC:右邊無限長序列ROC：左邊無限長序列ROC:雙邊無限長序列思考：什么信號的z變換的收斂域是整個z平面？Z Z變換的收斂域變換

13、的收斂域 Z變換的收斂域)(nx對于任意給定的序列 ，使其Z變換收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。)(zX其收斂的充要條件是滿足絕對可和條件，即：nnznx)(根據級數收斂的阿貝爾定理發散不定收斂111limnnna對于不同的序列 ，可求得相應的收斂域。)(nxZ Z變換的收斂域變換的收斂域 收斂域內不包含任何極點，在極點處，收斂域內不包含任何極點，在極點處，X X(z)(z)為無窮大，為無窮大，Z Z變換不收斂。變換不收斂。 有限長序列有限長序列的收斂域為整個的收斂域為整個Z Z平面平面, 可能可能除開除開z=0z=0, z=z= 。 右邊有限長序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)

14、z2+ |z|0 左邊有限長序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|z| 也位于收斂域內。也位于收斂域內。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是左邊序列左邊序列，并且，并且|z|=|z|= 位于收斂域位于收斂域內，那么，內，那么， 0|z|0|z| 的全部的全部 z z 值也位于值也位于收斂域內。收斂域內。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是雙邊序列雙邊序列，收斂域由圓環組成。，收斂域由圓環組成。ImzjRez0ImzjRez0Rez0ImzjZ Z變換的收斂域變換的收斂域逆逆Z Z變換變換當 時，只有一個單階極點z=a,其圍線積分為：0

15、n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn當n0時，被積函數在圍線內除了在z=a處有一個單階極點，在z=0處為高階極點，因為這時在圍線外X(z)zn-1只有一個單極點z=a-1 ，因此有: 01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn 線性性2.3.2Z變換的性質變換的性質yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(設RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(則,min,maxyxyxRRRRRR其中 序列的移位xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00則 序列乘指數序列（尺度性）xxRzRzXnxZ)(

16、)(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1則Z Z變換的性質與定理變換的性質與定理 序列的反褶xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1則 序列的共軛xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(則 Z域微分性xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(則Z Z變換的性質與定理變換的性質與定理 初值定理若x(n)為因果序列，它的初值為：)(lim)0(zXxz若x(n)為因果序列，且其Z變換的極點除在z=1處可以有一個一階極點外，其它極點均在單位圓內，則有：)()1(lim)(lim1zXznxzn 終值定理 卷積定理hhxxR

17、zRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設RzRzHzXnhnxZ)()()()(則,min,maxhxhxRRRRRR其中Z Z變換的性質與定理變換的性質與定理 序列相乘（復卷積定理）hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(則 Parseval定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(則Z Z變換的性質與定理變換的性質與定理 重抽樣序列的Z變換對序列抽取運算時，將序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n

18、)。兩者之間的關系為： ,2, 1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMjMezXMzY則 逆Z變換2.3.32.3.3Z Z逆變換逆變換從給定的Z變換表達式(包括收斂域)求原序列的過程稱為逆z變換。其實質是求X(z)的冪級數展開式各項的系數。 逆Z變換的三種基本方法 圍線積分法 部分分式展開法 長除法（冪級數展開法） 圍線積分法dzzzXjnxcn1)(21)(式中C為收斂域中的一條逆時針環繞原點的閉合曲線。 逆逆Z Z變換變換是被積函數X(z)zn-1在圍線C內的一組極點是被積函數X(z)zn-1在圍線C外的一組極點 kakb,)(Re)(1kkna

19、zzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 還滿足在 有二階或二階以上的零點，則根據留數輔助定理，有: z1)(nzzX)(nx若被積函數 是有理分式，一般采用留數定理來計算圍線積分 。根據留數定理， 等于圍線C內全部極點留數之和，即: 1)(nzzX逆逆Z Z變換變換在具體利用留數定理進行圍線積分計算時，應根據被積函數的特點及n值靈活選用公式來計算，可使問題得以簡化。例如，在n小于某一值時，被積函數在圍線內部z=0處可能具有高階極點，這時采用圍線外部的極點進行計算將方便得多。 如果 為單階極點，按留數定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 為

20、階極點，則其留數為: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm 求原序列x(n)已知某序列的Z變換為: azazzX11)1 ()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且當 時，z=0處不是極點，被積函數僅有單階極點a，在收斂域內取圍線C包含極點a，可求得:0naz 由于收斂域為 ，可知該序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111a

21、zaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z變換為：解：Rez0Imzja1/a收斂域|z|=|a|圍線C| | |1aza 所給收斂域 為環域 原序列 必為雙邊序列)(nx|z|=|1/a|在收斂域內作包圍原定的圍線C 部分分式展開法逆逆Z Z變換變換用部分分式展開法求反Z變換，)()()(zAzBzX通常為有理分式。1、單極點NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(若序列為因果序列，且NM，當X(z)的N個極點都是單極點時，可以展開成以下的部分分式的形式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX則其逆Z變換為：)()()(10nuzAnAnxnkkNk逆逆Z Z變換變換說

22、明：說明：1 1、X X(z)(z)較簡單時可按算術展開求各系數較簡單時可按算術展開求各系數A Ak k(k=0,1,N) (k=0,1,N) 。 2 2、X X(z)(z)較復雜時可按留數定理求各系數較復雜時可按留數定理求各系數A Ak k(k=0,1,N)(k=0,1,N)，此時為了方便通常利用，此時為了方便通常利用X X( (z z)/z)/z的的形式求取：形式求?。?)(Re)()1 (0 ,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk逆逆Z Z變換變換2、高階極點當上述有理分式中的MN且具有高階極點時，若設除單極點外，在zi處還有一個s階的極點，則其展開式修

23、改為：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1 (1)(11110式中Bk(k=0,1,N)為X(z)整式部分的系數，可用長除法求得。Ak仍按上面的方法計算，Ck的計算公式為：skzzXzzdzdksCizzsiksksk, 1)()()!(1逆逆Z Z變換變換例例： 已知 ，求X(z)的原序列。 2) 5 . 0)(2()(2zzzzzX解：3/ 1, 3/421AA由求系數Ak的公式求得 )() 5 . 0(31)() 2(34)(nununxnn因為X(z)的收斂域為 ，為因果序列，從而求得 2z5 . 02)5 . 0)(2()(21zAzAzzzzzX將X(z)變為X(

24、z)/z的形式并化為部分分式逆逆Z Z變換變換 長除法（冪級數展開法）210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn在具體進行長除法時，要根據收斂域先確定序列是左邊序列還是右邊序列。對于左邊序列左邊序列Z變換為z的正冪正冪級數級數，分子分母多項式應按升冪排列升冪排列展開；對于右邊右邊序列，序列，Z變換為z的負冪級數，分子分母應按降冪排列降冪排列進行展開。 典型例題)()(nuanxn 用長除法求 azazzX11)1 ()(的逆Z變換。 由收斂域知，這是一右邊序列。用長除法將其展開成z的負冪級數時應將分母多項式按降冪排列。 1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例: 用長除法求| | | ,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z