1、3.1.2 用二分法求方程的近似解1 1、函數(shù)的零點：、函數(shù)的零點： 對于函數(shù)對于函數(shù) y=f (x) ，使，使 f (x)=0 的的 實數(shù)實數(shù)x 叫做叫做函數(shù)函數(shù)y=f (x)的的零點零點 2 2、零點存在性定理、零點存在性定理000( ),( ),( , ),( ),( ). , ( )( )( , )yf xyf xca bf cca bf af ba bf x 連連續(xù)續(xù)不不如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的圖圖象象是是的的一一條條曲曲線線 并并且且有有那那么么 函函數(shù)數(shù)即即存存在在使使得得這這個個也也就就是是斷斷在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有零零點點方方程程的的根根二、基礎(chǔ)練習二、基礎(chǔ)練習1、

2、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若若f(a)0,f(b)0,則則函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)（內(nèi)（ ） A.一定有零點一定有零點 B.一定沒有零點一定沒有零點 C.可能有兩個零點可能有兩個零點 D.至多有一個零點至多有一個零點C2211 11 110188 44 22( )log ()( , )( ,)(,)(, )f xxxABCD、的的零零點點所所在在區(qū)區(qū)間間是是 、C3221 00 11 22 3 () (, ) ( , ) ( , ) ( , )xxABCD 、方方程程 的的根根所所在在區(qū)區(qū)間間是是 、B二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)2(1)( )f xaxb

3、xcac二二次次函函數(shù)數(shù)中中 、 異異號號，則則該該函函數(shù)數(shù)的的零零點點個個數(shù)數(shù)為為_2220040( )aca caxbxcbacf xaxbxc 分分析析： 、 異異號號， ，在在方方程程中中，判判別別式式方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的實實數(shù)數(shù)根根，即即函函數(shù)數(shù)有有兩兩個個零零點點Q(1)解解方方程程判判斷斷函函數(shù)數(shù)零零點點個個數(shù)數(shù)：求求方方程程不不相相等等的的實實，數(shù)數(shù)根根的的個個數(shù)數(shù)221:5235_xxx練練方方程程的的根根的的個個數(shù)數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù) |lg| 010(2)( )1110 xxf xxx ，判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的零零點點個個數(shù)數(shù). .，(2)x數(shù)

4、數(shù)形形結(jié)結(jié)合合判判斷斷函函數(shù)數(shù)零零點點個個數(shù)數(shù)：看看函函數(shù)數(shù)圖圖象象與與 軸軸交交點點的的個個數(shù)數(shù)xyO11 5 10 112( ) |43|.f xxx練練2 2：函函數(shù)數(shù) 有有_個個零零點點2( )4| 3.g xxx練練3 3：函函數(shù)數(shù) 有有_個個零零點點24二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)(2)x數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合判判斷斷函函數(shù)數(shù)零零點點個個數(shù)數(shù)：看看函函數(shù)數(shù)圖圖象象與與 軸軸交交點點的的個個數(shù)數(shù)2( )4| 3.g xxx練練3 3：函函數(shù)數(shù) 有有_個個零零點點42( )4| 34_1_.yag xxxa：若若直直線線與與函函數(shù)數(shù) 圖圖象象有有 個個交交點點，則則實實數(shù)數(shù) 的的取取值值

5、范范圍圍是是改改編編 | 13aa 24| 3204_.xxaa ：若若方方程程有有 個個不不等等實實根根，則則實實數(shù)數(shù) 的的取取值值范范圍圍是是改改編編 | 13aa 二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)2(3)( )22xf xx 求求函函數(shù)數(shù)的的零零點點個個數(shù)數(shù). .22( )022022xxf xxx ：即即解解令令得得2( )2( )2xg xxh x 設(shè)設(shè)，xyO( )( )g xh x函函數(shù)數(shù)與與圖圖象象有有兩兩個個交交點點，(3)：將將函函數(shù)數(shù)零零點點個個數(shù)數(shù)問問題題數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖象象交交點點轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成個個數(shù)數(shù)問問題題；( )2xh x 2( )2g xx 21

6、222xx方方程程有有兩兩個個不不相相等等實實數(shù)數(shù)根根，2( )22xf xx函函數(shù)數(shù)有有兩兩個個零零點點. .二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)(4)( ) , ( )( )0,( )0( , )yf xa bf af bf xa b 已已知知函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上是是單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，且且圖圖象象連連續(xù)續(xù)，若若則則方方程程在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) （ ）A.A.至至少少有有一一個個實實數(shù)數(shù)根根 B. B.至至多多有有一一個個實實數(shù)數(shù)根根C.C.沒沒有有實實數(shù)數(shù)根根 D. D.有有唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)根根( )()(4.f af b 的的符符號號利利用用零零點點存存在在性性定定理理，即即，結(jié)結(jié)合合函

7、函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性再再D二、函數(shù)零點個數(shù)二、函數(shù)零點個數(shù)4( ), ,( )( )0( )( )0( )( , )2 C 2yf xa b cabcf af bf bf cyf xa cABD 練練 、函函數(shù)數(shù)圖圖象象連連續(xù)續(xù)不不斷斷，實實數(shù)數(shù)是是其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)三三個個數(shù)數(shù)，且且滿滿足足，則則函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的零零點點個個數(shù)數(shù)為為（ ）、奇奇數(shù)數(shù)個個、偶偶數(shù)數(shù)個個、至至少少 個個D5( )ln26 f xxx例例 、已已知知圖圖象象連連續(xù)續(xù)不不斷斷，且且其其部部分分函函數(shù)數(shù)值值對對應應如如下下，求求函函數(shù)數(shù)零零點點的的個個數(shù)數(shù). .x123456789f(x)-41.306 1

8、.098 3.3865.6097.7919.94512.07914.197( )(2,3)f x函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有零零點點. .該該如如何何得得到到這這個個零零點點？如何求函數(shù)近似零點如何求函數(shù)近似零點問題：現(xiàn)有問題：現(xiàn)有1212個小球，體積均勻外表一致，但是其中個小球，體積均勻外表一致，但是其中有一個小球卻比別的球重。如果給你一天平，最少要有一個小球卻比別的球重。如果給你一天平，最少要稱幾次才可以找出這個比較重的球？稱幾次才可以找出這個比較重的球？解：解：第一次，兩端各放第一次，兩端各放6 6個小球，低的那一端一定有重球；個小球，低的那一端一定有重球；第二次，兩端各放第二次，兩端各

9、放3 3個小球，低的那一端一定有重球；個小球，低的那一端一定有重球；第三次，兩端各放第三次，兩端各放1 1個小球，如果平衡，剩下的就是重個小球，如果平衡，剩下的就是重球；如果不平衡，則低的那一端就是重球。球；如果不平衡，則低的那一端就是重球。3一、基礎(chǔ)知識講解一、基礎(chǔ)知識講解1( )ln26(2,3)f xxx上上一一節(jié)節(jié)例例 可可得得函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有唯唯一一的的零零點點. .該該如如何何得得到到這這個個零零點點？那么零點是在那么零點是在(2，2.5)內(nèi)，還是在內(nèi)，還是在(2.5，3)內(nèi)？內(nèi)？ f(2.5) f(3)0， f(x)在在(2.5，3)內(nèi)有零點內(nèi)有零點那么零點是在那么零

10、點是在(2.5，2.75)內(nèi)，還是在內(nèi)，還是在(2.75，3)內(nèi)？內(nèi)？ f(2.5) f(2.75)0， f(x)在在(2.5，2.75)內(nèi)有零點內(nèi)有零點區(qū)間區(qū)間(2，3)的中點是的中點是x=2.5區(qū)間區(qū)間(2.5，3)的中點是的中點是x=2.75 一般的，我們把一般的，我們把 稱為區(qū)間稱為區(qū)間 的中點。的中點。 通過通過縮小零點所在的范圍縮小零點所在的范圍，那么在，那么在一定一定的的精確度精確度的要求下，能得到零點的的要求下，能得到零點的近似值近似值。一般的，我們通過一般的，我們通過“取中點取中點”的方法逐步縮的方法逐步縮小零點所在的范圍。小零點所在的范圍。1 1、二分法的概念、二分法的概念

11、 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷、且、且f(a)f(b)0的的函數(shù)函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)，通過不斷把函數(shù)y=f(x)的零點所在的零點所在區(qū)間區(qū)間一分為二一分為二，使區(qū)間的兩個端點，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零逐步逼近零點點，進而得到，進而得到零點近似值零點近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。1:( ) , (1)( ) , (2) ( )0,( )0(3) ( )0,( )0(4) ( )( )0yf xa byf xa bf af bf af bf af b 練練習習用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的零零點點時時，需需要要條條件件有有在在區(qū)區(qū)間間上上的的

12、圖圖象象是是連連續(xù)續(xù)不不斷斷，(1)(4)一、基礎(chǔ)知識講解一、基礎(chǔ)知識講解1 1、二分法的概念、二分法的概念 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷、且、且f(a)f(b)0的的函數(shù)函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)，通過不斷把函數(shù)y=f(x)的零點所在的零點所在區(qū)間區(qū)間一分為二一分為二，使區(qū)間的兩個端點，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零逐步逼近零點點，進而得到，進而得到零點近似值零點近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。思考：思考：是不是所有的函數(shù)都可用二分法求零點？是不是所有的函數(shù)都可用二分法求零點？2()練練習習 ：下下列列函函數(shù)數(shù)不不能能用用二二分分法法求求零零點點的的近近似似值值的的有

13、有 ABCDDxxxyyyy用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)零零點點的的近近似似值值只只適適用用于于變變號號零零點點abababab x一、基礎(chǔ)知識講解一、基礎(chǔ)知識講解1 1、二分法的概念、二分法的概念 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷、且、且f(a)f(b)0的的函數(shù)函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)，通過不斷把函數(shù)y=f(x)的零點所在的零點所在區(qū)間區(qū)間一分為二一分為二，使區(qū)間的兩個端點，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零逐步逼近零點點，進而得到，進而得到零點近似值零點近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。03( )25(2,3)2.5_f xxxx 練練習習3 3: :用用二二分分法法求求

14、在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的零零點點，取取區(qū)區(qū)間間中中點點，則則下下一一個個討討論論的的區(qū)區(qū)間間是是(2,2.5)1( )ln26(0.1)f xxx 例例 、求求的的零零點點精精確確度度的的近近似似解解 (2)1.30690, (3)1.098630,ff 解解：區(qū)間區(qū)間(a,b)中點的值中點的值中點函數(shù)值符號中點函數(shù)值符號區(qū)間長度區(qū)間長度(2,3)2.52.752.6252.5625(2.5,3)(2.5,2.75)(2.5,2.625)(2.5,2.5625)2.53125由于由于 |2.5-2.5625|=0.06250.1所以原函數(shù)精確度為所以原函數(shù)精確度為0.1的零點近似解為的零點近似解為

15、2.5(或或2.5625)。10.50.250.1250.0625確定原始區(qū)間確定原始區(qū)間a,b，驗證，驗證 f(a)f(b)0，給定精確度，給定精確度 求區(qū)間求區(qū)間(a,b)的中點的中點c計算計算f(c);若若f(c)=0，則，則c就是就是 函數(shù)的零點函數(shù)的零點若若f(a) f(c)0，則令，則令b= c (此時零點此時零點x0(a,c)若若f(b) f(c) 0，則令，則令a= c (此時零點此時零點x0(c,b)判斷是否達到精確度判斷是否達到精確度 ，即若，即若|a-b| ，則得到零，則得到零點的近似值點的近似值 a(或或b)；否則得重復；否則得重復 2 2、二分法的基本步驟、二分法的基

16、本步驟例例2、已知方程、已知方程 2x+3x=7 的解在區(qū)間（的解在區(qū)間（1,2）內(nèi)）內(nèi)利用二分法求該方程的近似解（利用二分法求該方程的近似解（精確度精確度0.1）( )237 (1)20, (2)30,xf xxff 解解：令令，則則區(qū)間區(qū)間中點的值中點的值中點函數(shù)近似值中點函數(shù)近似值區(qū)間長度區(qū)間長度(1,2)1.50.331.251.375-0.28-0.871.43750.02(1,1.5)(1.25,1.5)(1.375,1.5)(1.375,1.4375)由于由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1所以原方程近似解可取所以原方程近似解可取1.375(或或1.4375)。

17、10.250.50.1250.06251( )338338=0(1,2)(1)0,(1.5)0,(1.25)0( )(1,1.25)(1.25,1.5) (1.5,2)xxf xxxfffABCD 、已已知知，用用二二分分法法求求方方程程在在內(nèi)內(nèi)近近似似解解時時有有，則則方方程程的的根根落落在在、 、 、不不能能確確定定0012( )ln(1,2)(0.1)()34 56f xxxxxABCD 、已已知知函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有一一零零點點 ，則則用用二二分分法法求求 近近似似值值 精精確確度度為為，需需將將區(qū)區(qū)間間等等分分次次數(shù)數(shù)為為 、 、 、B練習：練習：B3( )( )12 34f

18、 xABCD、已已知知函函數(shù)數(shù)圖圖象象如如示示，用用其其中中可可用用二二分分法法來來求求的的零零點點個個數(shù)數(shù)為為、 、 、3224()( )23( )( )24( )21Af xxBf xxCf xxxDf xxx 、下下列列函函數(shù)數(shù)不不能能用用二二分分法法求求零零點點近近似似值值的的有有 、 、 、C練習：練習：OxyD( , ).2abxa b 1 1、一一般般地地，我我們們把把叫叫做做區(qū)區(qū)間間的的中中點點2、對于在區(qū)間、對于在區(qū)間a,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷、且、且f(a)f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)，通過不斷把函數(shù)y=f(x)的零點所的零點所在區(qū)間在區(qū)間一分為二一分為二，使區(qū)間的兩個端點，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近逐步逼近零點零點，進而得到，進而得到零點近似值零點近似值的方法叫的方