1、推理與證明推理與證明永康一中永康一中姚波浪姚波浪“推理與證明推理與證明”講什么？為什么要講“推理與證明推理與證明”？如何講“推理與證明推理與證明”？三個問題生活的需要生活的需要一、為什么要講一、為什么要講“推理與證推理與證明明”？科學研究的需要科學研究的需要數學自身的需要數學自身的需要“長頭發長頭發”進男廁所進男廁所為什么要講“推理與證明推理與證明”？守株待兔、刻舟求劍守株待兔、刻舟求劍我是否要我是否要“炒股炒股”“守株待兔守株待兔”者者的的推理過程推理過程 前天有一只野兔撞死在這棵樹上； 昨天又有一只野兔撞死在這棵樹上； 今天也會有一只野兔撞死在這棵樹上。生活中充滿著“推理與證明推理與證明”

2、 “總結經驗教訓”， 抗菌素的濫用現象 在生活中常說的“可能是（猜測）”、“可以想象（聯想）”、“綜上所述（歸納）”、“可見”、“可以斷言”等話語，都包含著合情推理與證明的成分。火星上是否存在生命？火星上是否存在生命？為什么要講“推理與證明推理與證明”？鋸齒的發明鋸齒的發明數學探究數學探究 表示任意一個自然數至少要用多少個平方數？任一自然數都可以表示成一個、兩個、三任一自然數都可以表示成一個、兩個、三個或四個平方數的和？個或四個平方數的和？ 由實際計算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4 9=9 10=9+1 11=

3、9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36解讀一 “推理與證明推理與證明”是數學的基本思維是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理演繹推理，證明通常包括演繹證明和實，證明通常包括演繹證明和實驗、實踐的證明。驗、實踐的證明。“標準標準”將將“推理與推理與證明證明”專設一章，這在我國高中數學課專設一章，這在我國高中數學課程中還是首次。通過本章的教學，不僅程中還是首次。通過本章的教學，不僅可以幫助學生進一步把握以前學過的證

4、可以幫助學生進一步把握以前學過的證明方法，也可以讓他們了解猜測的一般明方法，也可以讓他們了解猜測的一般方法方法。解讀一 教科書的編寫意圖是把過去滲教科書的編寫意圖是把過去滲透在具體數學內容中的推理和證明透在具體數學內容中的推理和證明的思維方法，以集中的、顯性的形的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現出來，既教猜想，又教證明。式呈現出來，既教猜想，又教證明。使學生更加明確這些方法，并能在使學生更加明確這些方法，并能在今后的學習中有意識地使用它們，今后的學習中有意識地使用它們，養成言之有理、論證有據的習慣。養成言之有理、論證有據的習慣。二、二、“推理與證明推理與證明”講什么？ 推理與證明貫穿于高中數

5、學的整個推理與證明貫穿于高中數學的整個體系，它的學習是新課標教材的一個亮體系，它的學習是新課標教材的一個亮點，是對以前所學知識與方法的總結、點，是對以前所學知識與方法的總結、歸納，并對后繼學習起到引領的作用。歸納，并對后繼學習起到引領的作用。內容結構 推理與證明推理與證明 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 類比類比 直接證明直接證明 間接證明間接證明 綜合法綜合法 分析法分析法 數學歸納法數學歸納法 反證法反證法 課標要求（1）合情推理與演繹推理）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合類比等進行簡單的推

6、理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用情推理在數學發現中的作用. 體會演繹推理的重要性，掌握演繹推體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理簡單的推理. 了解合情推理與演繹推理的之間的聯了解合情推理與演繹推理的之間的聯系與差別系與差別. （2）直接證明與間接證明）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點。了解分析法與綜合法的思考過程與特點。 了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反反證法；了解反證法

7、的思考過程與特點。證法的思考過程與特點。（3）數學歸納法）數學歸納法 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。單的數學命題。（4）數學文化）數學文化 通過對實例的介紹（如歐幾里得通過對實例的介紹（如歐幾里得幾何原本幾何原本、馬克、馬克思思資本論資本論、杰弗遜、杰弗遜獨立宣言獨立宣言、牛頓三定律），、牛頓三定律），體會公理化思想。體會公理化思想。 介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。基本基本要求要求1了解合情推理的含義、結構、和基本本類型。了解合情推理的含義、結構、和基本本類型。

8、2結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用。合情推理在數學發現中的作用。3結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；些簡單推理；4通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。差異。發展要

9、求1、了解不完全歸納法，并根據不完全歸納法猜想一些結論、了解不完全歸納法，并根據不完全歸納法猜想一些結論2、了解一般意義下的類比、了解一般意義下的類比說 明類比推理注意避免類比推理注意避免“機械類比機械類比”，即僅從表面相似或偶然相，即僅從表面相似或偶然相似的情況進行類比。導致錯誤。似的情況進行類比。導致錯誤。省教學指導意見解讀省教學指導意見解讀合情推理與演繹推理基基本本要要求求1了解直接證明的兩種基了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思了解分析法與綜合法的思考過程與特點。考過程與特點。2了解間接證明的一種基了解間接證明的一種基本方法本方法反

10、證法；了解反證法；了解反證法的思考過程與特點反證法的思考過程與特點。發發展展要要求求了解比較法、放縮法。了解比較法、放縮法。說說 明明直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2 23 3數學歸納法數學歸納法基本基本要求要求1了解數學歸納法的原理，了解數學歸納法的原理，2能用數學歸納法證明一些簡單的能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題數學命題發展發展要求要求1了解其它數學歸納法的原理了解其它數學歸納法的原理2靈活掌握數學歸納法在解決較復靈活掌握數學歸納法在解決較復雜的與自然數雜的與自然數n有關命題中的應用。有關命題中的應用。說說 明明 教學定位：教學定位：通過對已學知識的回顧，通過對已學知識的回顧

11、，進一步體會合情推理、演繹推理以進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯系與差異；體會數及二者之間的聯系與差異；體會數學證明的特點，了解數學證明的基學證明的特點，了解數學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數學歸納法）和分析法、綜合法、數學歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數學以及生活中的作受邏輯證明在數學以及生活中的作用，養成嚴謹習慣。用，養成嚴謹習慣。三、如何講三、如何講“推理與證明推理與證明”？1、課時分配（、課時分配（理科理科8課時、課時、文科文科13課時）課時）2.1.1 合情推理合情

12、推理1課時（課時（2）2.1.2 演繹推理演繹推理2課時（課時（3）2.2.11綜合法綜合法1課時（課時（2）2.2.12分析法分析法1課時（課時（1）2.2.2 反證法反證法1課時（課時（2）2.2.3 數學歸納法數學歸納法1課時（課時（0）小結小結1課時（課時（3）2、重難點確立2.1節重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類節重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用比進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論三段論”進行簡單的推理。進行簡單的推理。 難點是用歸納和類比難點是用歸納和類比進行推理，作出猜想，用三段論作出簡單的推理。進行推理

13、，作出猜想，用三段論作出簡單的推理。2.2節重點是結合已經學過的數學實例，了解直接證節重點是結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法明的兩種基本方法綜合法、分析法，了解間接證綜合法、分析法，了解間接證明的一種方法明的一種方法反證法；了解綜合法、分析法和反反證法；了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點。難點是根據問題特點，結合證法的思考過程、特點。難點是根據問題特點，結合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法或把各種證明方法結合使用。當的證明方法或把各種證明方法結合使用。歸納推理 歸納推理是針對一類事物歸納推理是針對

14、一類事物S而言的，而言的，如圖所示：如圖所示： S 的部分事物的部分事物A和和B共同具共同具有的某種特性，是否可以推廣到整個有的某種特性，是否可以推廣到整個S？這就是一個從局部到整體的推理過程。這就是一個從局部到整體的推理過程。3 3、概念關系認識、概念關系認識類比推理 類比推理是針對的兩類事物，如類比推理是針對的兩類事物，如圖所示，在圖所示，在A和和B兩類事物中，兩類事物中，A類中類中有性質有性質P成立，成立，B類中也有性質類中也有性質P成立，成立，A類中還有性質類中還有性質Q成立，那么成立，那么B類中是類中是否也具有性質否也具有性質Q成立呢？通過兩類事成立呢？通過兩類事物的類比可以對事物的

15、性質有更深刻物的類比可以對事物的性質有更深刻的理解，并且可以幫助進行邏輯推理。的理解，并且可以幫助進行邏輯推理。 合情推理合情推理 合情推理是根據已有的事實和正確的結論合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。歸納、類比是合情推理常結果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的思維方法。用的思維方法。 演繹推理演繹推理 演繹推理是根據已有的事實和正確演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），的結論（包括定義、公理、定

16、理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。過程。例例 大前提大前提:馬有四條腿馬有四條腿;小前提小前提:白馬是馬白馬是馬;結論結論:白馬有四條腿白馬有四條腿.它是從一般到特殊的推理它是從一般到特殊的推理.演繹推理的主要形式就演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論式推理是由大前提、小前提推出結論的三段論式推理. 合情推理具有猜測和發現新結論、合情推理具有猜測和發現新結論、探索和提供解決問題的思路和方探索和提供解決問題的思路和方法的作用；演繹推理則具有證明法的作用；演繹推理則具有證明結論，整理和建構知識體系的作結論，整理和建構知識體系的作用，

17、是公理體系中的基本推理方用，是公理體系中的基本推理方法。法。合情推理與演繹推理的作用合情推理與演繹推理的作用 合情推理和演繹推理之間聯系緊密、合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，數學結論的正和實驗、實踐證明，數學結論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。用推理規則得出結論。合情推理與演繹推理的關系合情推理與演繹推理的關系類比的風險類比的風險直接證明綜合法所證結論所證結論直接證明分析法在已知條件下新結果是否成立直接證明

18、數學歸納法 要證明的結論要證明的結論否定要證明的結論否定要證明的結論把把“否定要證明的結論否定要證明的結論”作為條件作為條件結合相關公理、定理或已得的結論結合相關公理、定理或已得的結論得出新的結論得出新的結論結束結束是否與已知條件、是否與已知條件、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是間接證明反證法 4 4、整體把握、整體把握l演繹推理與合情推理并重演繹推理與合情推理并重l以實際問題與已學問題為主以實際問題與已學問題為主要素材開展教學要素材開展教學l長期滲透、控制難度長期滲透、控制難度在在“合情推理合情推理”和和“演繹推理演繹推理”教學中，要通過具體實例理解合情教學中，要通過具體實例理解合情推理與演

19、繹推理，不追求對概念的推理與演繹推理，不追求對概念的抽象表述。抽象表述。補充的實例也應以補充的實例也應以“已經學過已經學過的數學實例和生活中的實例的數學實例和生活中的實例”為準，為準，對證明的問題的難度也要加以控制。對證明的問題的難度也要加以控制。 一點說明 本章的教學屬于思想方法的教學范疇，對于思想方法的教學，一般都應采取先讓學生自己獨立思考、實踐，再討論、歸納、概括的方式進行，這是因為思想方法不能靠講解、灌輸、記憶而學會，只能通過在實踐基礎上的領悟而掌握。 重視過程、理清思路猶為重要。四、關于復數四、關于復數 與以往教科書不同的是，本章在引入復數之前，首先在具體問題情境（即方程x210在實

20、數集中無解，如何通過數系的擴充使該方程有解）中，展現了實數系的擴充過程，然后引入了復數的相關概念，并類比實數的幾何意義說明了復數的幾何意義 對復數教學的二個建議 1.加強復數引入過程的教學，體現實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用 2.加強復數與實數、有理數、平面向量及其加減運算、多項式及其加減運算之間的聯系 發展要求：發展要求：總結一些重要的數學方法在解決數學問題中的流程。 說明：說明：本節學習要緊扣增強學生應用流程圖解決實際問題的能力來安排。 發展要求：發展要求：選擇必修各冊教材中的某些數知識（如不等式、函數、解析幾何、立體幾何等），運用結構圖按數學知識

21、體系進行梳理，并與他人做交流，體會各知識塊的內涵與外延。 說明：說明：本節學習要緊扣增強學生應用結構圖解決實際問題的能力來安排，并注意揭示其與流程圖的聯系與區別。 ：（共6課時） 4.1流程圖 約3課時 4.2結構圖 約2課時 小結 約1課時框圖教學建議框圖教學建議： 4.1的重點和難點都是構造流程圖的方法。 4.1流程圖的教學可分為兩步實現： 一是通過讀圖，認識流程圖; 二是結合簡單的具體問題學會繪制流程圖， 同時，滲透流程圖作用及優越性的體驗。框圖教學建議框圖教學建議： 第一課時，認識流程圖。 對例1的教學要把握兩點：一是聯系必修3算法，回憶已經學過的框圖知識，二是由此引出流程圖的概念。接

22、著的“圖書借閱流程圖”和“診病流程圖”意在讓學生讀圖，并體會流程圖的優越性，揭示流程圖的特征。本節課教學目標應該是：讓學生讀懂流程圖，體會流程圖的優越性，初步認識其特征。框圖教學建議框圖教學建議： 第二節課，學習繪制流程圖。 要在復習的基礎上引出例2，由此出發，學習用流程圖表示解決問題的過程，例2后的思考要安排較充分的時間，讓學生嘗試運用流程圖解決問題，并組織交流，促進學生通過思維活動認識流程圖的繪制方法。例3既是學習繪制流程圖的過程，也是運用流程圖的過程，因此，例3后的思考，也要加以重視，這里安排的思考既可以體會流程圖的作用，也可以概括出流程圖的特征，同時，在思考的小結中，還可以聯系前面例題

23、表明繪制流程圖的重要方法“先粗后細”。框圖教學建議框圖教學建議： 第三節課，可以由本節的探究開始，設計學生活動的情境，繼續學習流程圖的繪制，體會流程圖的作用。 這里“兒童之家”活動設計的探究問題，相比前面流程圖的設計有所不同，它有兩條主線，需要學生在原有經驗基礎之上，經過思維活動，動手嘗試才能解決，而解決后對理解流程圖的繪制會大有幫助。 探究問題的小結中，又引入了綜合法和分析法的解題過程的流程圖，由此突出一個觀點“數學問題是不勝枚舉的，解決問題的方法也千差萬別，但解決問題的過程是類似的”，并用流程圖做了直觀的表示，教學中，要突出流程圖運用的作用，突出以上觀點。框圖教學建議框圖教學建議： 4.2的重點和難點都是構造結構圖的方法。 4.2結構圖的教學也可分兩步完成， 一是通過讀圖認