1、有效數字及其運算規則有效數字及其運算規則在定量分析中，測定結果為數字，其不在定量分析中，測定結果為數字，其不僅表示大小，而且還準確反映測量的準僅表示大小，而且還準確反映測量的準確程度。也就是說，在實驗數據的記錄確程度。也就是說，在實驗數據的記錄和結果的計算中，數字位數的保留不能和結果的計算中，數字位數的保留不能是隨意的，要根據是隨意的，要根據測量儀器測量儀器（在科學實（在科學實驗中，對于任一物理量的測定，其準確驗中，對于任一物理量的測定，其準確度都是有一定限度的）和度都是有一定限度的）和分析方法的準分析方法的準確度確度來決定。來決定。一、有效數字一、有效數字1 1、定義、定義有效數字就是實際能

2、測到的數字。有效數有效數字就是實際能測到的數字。有效數字的位數和分析過程所用的分析方法、測量方字的位數和分析過程所用的分析方法、測量方法、測量儀器的準確度有關。我們可以把有效法、測量儀器的準確度有關。我們可以把有效數字這樣表示。數字這樣表示。有效數字所有的可靠數字有效數字所有的可靠數字 + + 一位可疑數字一位可疑數字在實驗記錄的數據中，只有最后一位是估計的，在實驗記錄的數據中，只有最后一位是估計的，這一位數字叫不定數字。例如讀滴定管中的液面這一位數字叫不定數字。例如讀滴定管中的液面位置數時，甲可能讀為位置數時，甲可能讀為21.32，乙可能讀為，乙可能讀為21.33，丙可能讀為丙可能讀為21.

3、31。由此可見。由此可見21.3是滴定管上顯示是滴定管上顯示出來的。因實驗者不同，可能得到不同的估計值，出來的。因實驗者不同，可能得到不同的估計值，但這一位估計數字卻是客觀存在的，因此它是有但這一位估計數字卻是客觀存在的，因此它是有效數字。也就是說有效數字是實際測到的數字加效數字。也就是說有效數字是實際測到的數字加一位估讀數字。一位估讀數字。表示含義：如果有一個結果表示有效數字的位數表示含義：如果有一個結果表示有效數字的位數不同，說明用的稱量儀器的準確度不同。不同，說明用的稱量儀器的準確度不同。例：例：7.57.5克用的是粗天平克用的是粗天平7.527.52克克 用的是扭力天平用的是扭力天平7

4、.51877.5187克克 用的是分析天平用的是分析天平2、確定有效數字位數的原則：、確定有效數字位數的原則：一個量值只保留一位不確定數字，在記錄一個量值只保留一位不確定數字，在記錄測量值時必須記一位不確定的數字，且只測量值時必須記一位不確定的數字，且只能記一位；能記一位；數字數字0 09都是有效數字，當都是有效數字，當0只是作為定小只是作為定小數點位置時不是有效數字。數點位置時不是有效數字。不能因為變換單位而改變有效數字的位數。不能因為變換單位而改變有效數字的位數。如如12.40L用用mL作單位時，不能寫成作單位時，不能寫成12400 mL而應而應寫成寫成12.40103mL。在分析化學計算

5、中，常遇到倍數、分數關系。這在分析化學計算中，常遇到倍數、分數關系。這些數據都是自然數而不是測量所得到的，因此它些數據都是自然數而不是測量所得到的，因此它們的有效數字位數可以認為沒有限制。們的有效數字位數可以認為沒有限制。在分析化學中還經常遇到在分析化學中還經常遇到pH、lgC、lgK等對數等對數值，其有效數字的位數僅取決于小數部分（尾數）值，其有效數字的位數僅取決于小數部分（尾數）數字的位數，因整數部分（首數）只代表該數的數字的位數，因整數部分（首數）只代表該數的方次。方次。 通過下面幾個有效數字的位數確定來說明。通過下面幾個有效數字的位數確定來說明。 0.003，4108 1位有效數字位有

6、效數字。0.20，pH =6.70 2位有效數字位有效數字。4.44，15.3 % 3位有效數字位有效數字。110，88 準確數字或有效數字位數不確定數字準確數字或有效數字位數不確定數字3、有效數字的修約規則修約修約: :一個數據的有效數字位數確定之后，舍棄多余一個數據的有效數字位數確定之后，舍棄多余數字的過程叫修約。數字的過程叫修約。 規則規則:四舍六入、五后有數進位、五后無數前位數成四舍六入、五后有數進位、五后無數前位數成雙、修約須一次完成，不能分次修約。雙、修約須一次完成，不能分次修約。例題例題:將下列數據保留二位有效數字將下列數據保留二位有效數字3.1483.1，7.39767.4，0

7、.7367.410-1 75.57.6 101，2.4512.5，83.50098.4 101尾數等于尾數等于5而后面的數都為而后面的數都為0時，時，5前面為偶數前面為偶數則舍，則舍，5前面為奇數則入；尾數等于前面為奇數則入；尾數等于5而后面而后面還有不為還有不為0的任何數字，無論的任何數字，無論5前面是奇或是前面是奇或是偶都入。偶都入。例：將下列數字修約為例：將下列數字修約為4位有效數字。位有效數字。修約前修約后修約前修約后10.23500-10.24250.65000-250.618.085002-18.091. 加減法加減法 幾個數據相加或減時，有效數字位數的保留幾個數據相加或減時，有效

8、數字位數的保留，應以小數點后位數最少的數據為準，其他的數，應以小數點后位數最少的數據為準，其他的數據均修約到這一位。據均修約到這一位。05782.164.250121.071.2506.164.2501.0修約修約4、有效數字的計算規則 50.1 0.1 50.1 1.46 0.01 1.5 + 0.5812 0.001 + 0.6 52.1412 52.2 52.12. 乘除法乘除法: 幾個數據相乘除時，有效數字的位數應以幾個幾個數據相乘除時，有效數字的位數應以幾個數中有效數字位數最少的那個為準，數中有效數字位數最少的那個為準，計算結果計算結果的有效數字的位數也和有效數字位數最少的那的有效數

9、字的位數也和有效數字位數最少的那個數位數相同。個數位數相同。例例1 0.012125.641.05782 0.012125.61.06 0.328例例2：0.012125.645 =？5是一個有效數字位數不確定數字，或是一是一個有效數字位數不確定數字，或是一個準確數字，則有效數字位數最少的數是個準確數字，則有效數字位數最少的數是0.0121三位有效數字，則把三位有效數字，則把25.64也修約位三位有效數也修約位三位有效數字，即字，即25.6。0.012125.645=0.012125.65 =1.55有效數字雖經修約，可是運算結果只能用有效數字雖經修約，可是運算結果只能用等號，不得用約等號。等

10、號，不得用約等號。說明：說明：（1）在乘除法的運算中，經常會遇到）在乘除法的運算中，經常會遇到9以上的大數，如以上的大數，如9.00，9.86等。它們的等。它們的相對誤差相對誤差的絕對值約為的絕對值約為0.1%，與，與10.06和和12.08這些四位有效數字的數值的這些四位有效數字的數值的相對誤差相對誤差的絕對的絕對值接近，所以通常將它們當作四位有效數字的數值處理。值接近，所以通常將它們當作四位有效數字的數值處理。（2）在計算過程中，為了提高計算結果的可靠性，可以）在計算過程中，為了提高計算結果的可靠性，可以暫時多保留一位數字，而在得到最后結果時，則應舍棄多暫時多保留一位數字，而在得到最后結果

11、時，則應舍棄多余的數字，使最后計算結果恢復與準確度相適應的有效數余的數字，使最后計算結果恢復與準確度相適應的有效數字位數。字位數。習題：習題：下列數據各包括了幾位有效數字？下列數據各包括了幾位有效數字？（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.710-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00答：（答：（1）三位有效數字）三位有效數字 （2）五位有效數字）五位有效數字 （3）四位有效數字）四位有效數字 （4） 兩位有效數字兩位有效數字 （5）兩位有效數字）兩位有效數字 （6）兩位有效數字）兩位有效數字練習：練習：1. 0.600的有效數字是的有效

12、數字是 () A. 1個個B. 2個個C. 3個個D. 4個個2. 0.01249保留三位有效數字的近似數保留三位有效數字的近似數_3. (1)1.5982(精確到精確到0.01)(2)0.03049(保留兩位有效數字保留兩位有效數字)(3)81.661(保留三位有效數字保留三位有效數字) 含量（質量分數）含量（質量分數）/%10%1 1 0%1%結果報告的位數結果報告的位數 4位位 3位位 2位位（3）在實際分析工作中一般按下列原則進行。）在實際分析工作中一般按下列原則進行。（4）分析中的各類誤差通常?。┓治鲋械母黝愓`差通常取12位有效數字。位有效數字。習題：習題：如果分析天平的稱量誤差為如

13、果分析天平的稱量誤差為0.2mg0.2mg，擬分別稱，擬分別稱取試樣取試樣0.10000g0.10000g和和1.0000g1.0000g左右，稱量的相對誤差各為左右，稱量的相對誤差各為多少？這些結果說明了什么問題？多少？這些結果說明了什么問題？解：因分析天平的稱量誤差為解：因分析天平的稱量誤差為0.2mg0.2mg。故讀數的絕對。故讀數的絕對誤差誤差E=E=0.0002g 0.0002g 根據根據 %100TrX%2 . 0%1001000. 00002. 01 . 0gggr%02. 0%1000000. 10002. 01gggr這說明，兩試樣稱量的絕對誤差相等，但他們的相對誤差這說明，

14、兩試樣稱量的絕對誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當被測定的量較大時，相對誤差就并不相同。也就是說，當被測定的量較大時，相對誤差就比較小，測定的準確程度也就比較高。比較小，測定的準確程度也就比較高。 習題：習題：滴定管的讀數誤差為滴定管的讀數誤差為0.02mL0.02mL。如果滴定中用去標。如果滴定中用去標準溶液的體積分別為準溶液的體積分別為2mL2mL和和20mL20mL左右，讀數的相對誤差各是左右，讀數的相對誤差各是多少？從相對誤差的大小說明了什么問題？多少？從相對誤差的大小說明了什么問題？解：因滴定管的讀數誤差為解：因滴定管的讀數誤差為0.02mL0.02mL，故讀數的絕對誤

15、差，故讀數的絕對誤差E=0.02mLE=0.02mL 根據根據 %100TrX%1%100202. 02mLmLmLr%1 . 0%1002002. 020mLmLmLr這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相對誤差這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當被測定的量較大時，測量的相對并不相同。也就是說，當被測定的量較大時，測量的相對誤差較小，測定的準確程度也就較高。誤差較小，測定的準確程度也就較高。 習題：習題：將將0.089g Mg0.089g Mg2 2P P2 2O O7 7沉淀換算為沉淀換算為MgOMgO的質量，問的質量，問計算時在下列換算因數（計算

16、時在下列換算因數（2MgO/Mg2MgO/Mg2 2P P2 2O O7 7 = = 2 240.30/222.640.30/222.6）中取哪個數值較為合適：）中取哪個數值較為合適：0.3623,0.362,0.360.3623,0.362,0.36？計算結果應以幾位有效數字？計算結果應以幾位有效數字報出。報出。答答: :：0.362 0.362 應以三位有效數字報出。應以三位有效數字報出。習題：習題：用返滴定法測定軟錳礦中用返滴定法測定軟錳礦中MnOMnO2 2的質量分數，的質量分數，其結果按下式進行計算：其結果按下式進行計算：問測定結果應以幾位有效數字報出？問測定結果應以幾位有效數字報出

17、？%1005000. 094.86)25101000. 000. 807.1268000. 0(32MnO答答: :：應以四位有效數字報出。：應以四位有效數字報出。%1005000.094.86)002000.0006346.0(%1005000.094.86)25101000.000.807.1268000.0(32MnO習題習題：用加熱揮發法測定：用加熱揮發法測定BaClBaCl2 22H2H2 2O O中結晶水的質中結晶水的質量分數時，使用萬分之一的分析天平稱樣量分數時，使用萬分之一的分析天平稱樣0.5000g0.5000g，問測定結果應以幾位有效數字報出？問測定結果應以幾位有效數字報出

18、？答答: :：應以四位有效數字報出。：應以四位有效數字報出。%1003.24402.1825000.02OH習題習題：兩位分析者同時測定某一試樣中硫的質量：兩位分析者同時測定某一試樣中硫的質量分數，稱取試樣均為分數，稱取試樣均為3.5g，分別報告結果如下：，分別報告結果如下：甲：甲：0.042%，0.041%；乙：；乙：0.04099%,0.04201%。 問哪一份報告是合理的，為什么？問哪一份報告是合理的，為什么？答答:：甲的報告合理。因為在稱樣時取了兩位有效：甲的報告合理。因為在稱樣時取了兩位有效數字，所以計算結果應和稱樣時相同，都取兩位數字，所以計算結果應和稱樣時相同，都取兩位有效數字。有效數字。3 數據的記錄和計算規則1、記錄測定結果時，只應保留一位可疑數字。在、記錄測定結果時，只應保留一位可疑數字。在分析化學中幾個重要物理量的測