1、第第6章章 大數定理和中心極限定理大數定理和中心極限定理大數定理大數定理中心極限定理中心極限定理馬爾科夫不等式馬爾科夫不等式 若為只取非負值的隨機變量，則對任意常數0，有EP )(證明證明我們只證明為連續型隨機變量的情形。設的密度函數為f（y）。當y0，則2DEP 證證222222)()(DEPDEEEP即）（）（由馬爾科夫不等式，有定義定義服從大數定律。則稱序列，有，對如存在一個常數序列令是隨機變量序列，設0lim02121nnnnnnnnaPan 辛欽大數定理辛欽大數定理 設1，2，n，是獨立同分布的隨機變量，且Ei =a，則對任意0，有0)(limaPnnn21其中 證證nnDnDDan

2、EnEEDniiniiniiniii2211112)()(令)(0)()(0)(, 0222naPnnDEP即有由契比雪夫不等式，對伯努利大數定律伯努利大數定律定理定理 設nB(n，p)，其中n=1,2, ，0p0，有0limpnPnn 證證 由n服從二項分布B(n，p) 知Ennp Dnnp(1p)pnnpnEn故nppnpnpnDn1120102 nnnpppnP0limpnPnn由契比雪夫不等式，對任意正數，有6.2 中心極限定理中心極限定理n獨立同分布的中心極限定理Levy-Lindberg萊維林德伯格n棣莫弗拉普拉斯中心極限定理De MoivreLaplace獨立同分布的中心極限定理

3、獨立同分布的中心極限定理定理定理 設1,2 , ,n , 為獨立同分布的隨機變量，Ei=和Di=2，02 ，令)()(111niiniiniinDExtnndtexP2221lim則對任意實數x，有1) n 獨立同分布，2) Dn 。) 1 , 0()()(111NDEniiniinii定理的等價形式定理的等價形式則當n較大時，例例1 某保險公司對一種電視機進行保險，現有3000個用戶，各購得此種電視機一臺，在保險期內，這種電視機的損壞率為0.001，參加保險的客戶每戶交付保險費10元，電視機損壞時可向保險公司領取2000元，求保險公司在投保期內:（）虧本的概率；（）獲利不少于10000元的概

4、率。解解則個客戶處獲得的盈利，表示保險公司從第設nn3000, 2 , 1n00. 8999. 010001. 01990En001. 01990999. 010nnPP，個客戶電視機沒有損壞第個客戶電視機損壞第nnn1019904060999. 010001. 01990E222n3996644060EED2n2nn000,988,1139963000D3000Dn30001nn000,2400. 83000E3000En30001nn（）虧本的概率：（）虧本的概率：3996300000. 83000030001300013000130001iiiiiiiiDEPP014. 7114. 7（

5、）獲利不少于（）獲利不少于10000元的概率：元的概率：3996300000. 83000100001100001100003000130001300013000130001iiiiiiiiiiDEPPP999995. 017. 417. 41棣莫弗拉普拉斯中心極限定理棣莫弗拉普拉斯中心極限定理 設1,2, ,n, 獨立同分布，i的分布是 P(i=1)=p， P(i=0)=1p (0p1)則對任意實數x，有 xtniindtexpnpnpP21221)1 (lim),(1pnBnii顯然nB(n,p) 1 , 0( NDEnnn定理的等價形式定理的等價形式則當n較大時，例例2 2 已知一大批種

6、子的良種率是1/6，現從中任意選出600粒，求這600粒種子中，良種所占的比例值與1/6之差的絕對值不超過0.02的概率.從一大批種子中任選600粒，內含良種的粒數為隨機變量，有B(600,1/6) .解解所求概率可表為02. 061600P10061600np其中3/250123/250100P32506561600npq13/25012212100 P如不用中心極限定理，則應如下求解：112886006006561)11288()12100(02. 061600kkkkCPPP作業作業1、3、6、8作業評講：作業評講：1、得證。)(0221101122022121112nnDEPnDnnD

7、DEnnEEDEEniiniiniiniiiii2、得證。)(0111101111022121112nnDEPnDnnDDEnnEEDEEniiniiniiniiiii2、1423. 0)667. 1(30100096830100096830109101100001000101100007PPnpqnp出現的次數。表示數字3、1357. 02 . 11561655665512121101101101101101iiiiiiiiiiiiDEPDEDE4、100100,100, 2 , 1) 1 ()100(10011001100110021DDEEiPPiiiiiii則相互獨立，且令，則設報名人數為隨機變量 0228. 021100100120120100110011001iiiiiiDEPP7、9973. 01)3(2515152530012112103001300130013001iiiiiiiiiiiDPPDDEi個加數的誤差。則表示第9、9090009. 09 . 01 . 009 .