1、0)()(sincos)(. 1221 xykxykxckxcxy滿滿足足方方程程?)(02xyyky，如如何何解解出出反反過過來來，由由方方程程 的的值值使使式式子子成成立立的的的的解解代代數數方方程程xxf:0)( 求求曲曲線線方方程程點點且且過過的的斜斜率率上上各各點點曲曲線線.)2 , 1(,2),()(. 2xkyxxyy )(,)()(. 32tstskmgtsm求求受受阻阻落落體體運運動動 )(,)()(. 4tiEtRidttdiLLR求求電電路路的的電電流流 ),(0. 5yxuuuyyxx的的函函數數求求滿滿足足 )(現現未知函數的導數必須出未知函數的導數必須出變量之間的方

2、程式變量之間的方程式未知函數及其導數與自未知函數及其導數與自定義定義階階 方程中出現的未知函數最高階導數的階數方程中出現的未知函數最高階導數的階數四四階階三三階階xyyyyyxyxyxyx2sin51210434)4(223 二階及二階以上的微分方程稱為二階及二階以上的微分方程稱為高高 階階微分方程微分方程), ,(0), ,()1()()( nnnyyyxfyyyyxF顯顯式式形形式式一一般般形形式式只討論顯式形式的常微分方程只討論顯式形式的常微分方程,且且 f 連續的情況連續的情況0),(),( dyyxNdxyxM一一階階方方程程的的微微分分形形式式n階常微分方程的形式階常微分方程的形式

3、常微分方程常微分方程:一元一元+導數導數 偏偏 微分方程微分方程:多元多元+偏導數偏導數 微分方程的解微分方程的解 代入方程使成為代入方程使成為恒等式恒等式的的函數函數上上的的解解為為微微分分方方程程在在區區間間則則稱稱上上階階連連續續導導數數，若若在在區區間間有有設設IxxxxxFInxyn)(0)(,),( ),(,)()( 通解通解 含有任意常數的解含有任意常數的解,且且常數的個數常數的個數=階數階數 特解特解 通解中滿足問題所給的特定條件的解通解中滿足問題所給的特定條件的解的的通通解解是是微微分分方方程程0sincos221 ykykxckxcy的的特特解解的的滿滿足足是是方方程程 k

4、yyykykxy)0(0)0(0sin2 1) 除了極個別情況除了極個別情況, 通解包含所有的解通解包含所有的解2) 幾何上幾何上, ,通解表示平面曲線族通解表示平面曲線族, 特解為曲線族中的一條曲線特解為曲線族中的一條曲線 的的通通解解是是不不微微分分方方程程0sin2cos21 ykykxkxcy 100000)(,)() ,()(),(yxyyxyyyxfyyxyyxfy二二階階一一階階初值問題初值問題 求微分方程特解的問題求微分方程特解的問題 1) 只介紹某些類型的常微分方程的求解方法只介紹某些類型的常微分方程的求解方法 不討論相關的理論問題不討論相關的理論問題(存在性存在性 唯一性唯

5、一性 穩定性穩定性)2) 解法具有針對性解法具有針對性,不同類型方程用不同的解法不同類型方程用不同的解法.100000)()()(:yxyyxyyxy 二二階階一一階階初初始始條條件件的的給給法法初始條件初始條件 特解中的特定條件特解中的特定條件階階數數任任意意常常數數的的個個數數初初始始條條件件的的個個數數 初始條件要適當給定初始條件要適當給定: 稱為稱為適定適定 特特解解確確定定常常數數初初始始條條件件通通解解 解方程解方程 回代常數回代常數 無無法法求求積積分分含含有有未未知知函函數數若若兩兩端端積積分分,)(2,2dxxxyy CxyCxy 2211兩兩端端積積分分)(/ )(),(y

6、gxhyxfy 可可即即是是方方程程的的隱隱式式通通解解函函數數隱隱式式確確定定的的兩兩邊邊積積分分方方程程寫寫成成)()()()()()()()(xyCdxxhdyygdxxhdyyg 解法解法的的通通解解求求微微分分方方程程22xyy 例例1 1解解滿滿足足方方程程故故)(xy證證),(/ )()()(,)()()()1(ygxhydxxhdyygxy 即即式式兩兩邊邊求求微微分分式式確確定定的的隱隱函函數數是是由由設設失失根根增增根根防防止止xdxydy22 方方程程寫寫成成 Cdxxhdyygxxhxyxygxyy)()(,)()( )()()2(左端換元有左端換元有積分積分對對是方程

7、的解，是方程的解，設設式式確確定定的的函函數數故故方方程程的的解解必必為為)( 可正可負即可可正可負即可而常數而常數寫成寫成可正可負可正可負若若1,lnln,cyyy12lnln,2,0)1cxyxdxydyy 時時當當為為任任意意常常數數，顯顯然然是是解解。cceyyx20)2 可可正正可可負負c22211,xxxceecyecy 01 c的的通通解解求求xyy2 0)()(22 dyyxydxxyx解解方方程程cxydxxxdyyyln)1ln()1ln(,112222 )0()1(122 cxcy例例2 2解解例例3 3解解)2(2)47( 1212，作業作業 ex)(,tv下下落落速速

8、度度時時速速度度為為零零，求求降降落落傘傘離離塔塔正正比比所所受受空空氣氣阻阻力力與與速速度度成成設設降降落落傘傘下下落落ktkckvg ln)ln(積積分分0)0(,)()( vvmkmgtvm且且由由牛牛二二定定律律ktktcekgvkcekvg 通通解解kgcv 0)0()1()(ktekgtv 特特解解dtkvgdv )(分分離離變變量量).(,)0(.0tMMMMM 鈾鈾含含量量求求已已知知成成正正比比變變的的鈾鈾含含量量放放射射鈾鈾衰衰變變速速度度與與未未衰衰）（衰衰變變常常數數由由題題意意0 kkMdtdMvkdtMdM 分離變量分離變量tkceMktcM 1ln積積分分kteM

9、MMcMM 000)0(故故代代入入得得初初始始條條件件例例5 5解解例例4 4解解Rhorhdhh ,內內設設在在時時間間段段ttt dhhRhdhrdVt)2(, 022 當當dtghSdhhRh262. 0)2(2 )(程程微微元元分分析析法法建建立立微微分分方方dhghhdt262. 0)200(3 )()310107(265. 45335thhhhgt Chhgt )340052(262. 035100)0( h)(107265. 4, 05sgth 流流盡盡時時可分離變量可分離變量和和流流盡盡所所需需時時間間。求求液液面面高高度度流流出出小小孔孔水水從從底底部部半半球球形形容容器器

10、盛盛滿滿水水高高)(,1,12thcmSm ghSdtdVQ262. 0, 流流量量根根據據水水力力學學定定律律例例6 6解解hrVhhh 2,則則降降至至水水面面由由隱隱)(),(xyFyxfy 可可解法解法)(uFuxuuxuy 代代入入得得有有 xdxuuFduxdxuuFdu)(,)(積積分分分分離離變變量量)()()(xxuxyxu 解解出出可可分分離離齊齊次次),(),(00tytxfyxftn 次次齊齊次次函函數數xxyxu)()( 令令22xxyydxdy 解解方方程程齊齊次次右右1)(2 xyxyxyuceyceux 故故cxuuxdxduuulnlnln,1 積積分分得得分

11、分離離變變量量1122 uuuuuudxdux代代入入原原方方程程得得例例1 1解解xyu 令令xyu 令令的的特特解解滿滿足足求求方方程程6)1(tan yxyxyy例例2 2uuxuxuytan, 代代入入原原方方程程得得解解xcucxuxdxudu sin.lnlnsinln,tan積積分分分分離離2sin216)1(.sinxxyCyCxxy 特特解解通通解解xyu 令令00)(1111 cccybxacbyaxFy或或解法解法 進行變換進行變換,化為齊次或可分離變量方程化為齊次或可分離變量方程可可分分離離齊齊次次則則且且，令令當當)(000)1(1111111YbXabYaXFdXd

12、YdxdyckbhacbkahkYyhXxbaab XYu 令令0)14()1( dyxydxyx解方程解方程例例3 3齊齊次次有有令令1)(4141 XYXYXYXYdXdYYyXx 0101401141khkhkhxyyxdxdy得得解解解解XdXduuuuudXduXuuXY 14141412有有再再令令cXuu ln22arctan)14ln(2cxyxyxyu 12arctan)1(4ln122得得回回代代cuXuX 2arctan)4ln(222byaxubbaa 令令時時當當,)2(11為為可可分分離離變變量量方方程程則則)(1cucubFau 解解yxu 令令211uuuy 有

13、有由由CxyxCxu )arctan(arctan即即解解得得xyu 令令解解 )()()(|ln)()()(ufuguduugCxufuguduugxdx通通解解0)()()( duugdxxuuguf則則有有解解xyz 令令zdxdzdxdyxydxdz2sin1 得得由由則則CxxyxyCxzz 4)2sin(242sin2即即解解得得的的通通解解求求2)(yxy 例例4 4.0)()(通解通解求求 xdyxygydxxyf例例5 5通解通解求求xyxyxdxdy )(sin12例例6 6)2(2)36( 1312，作業作業 ex 齊次齊次非齊次非齊次00)()(xQyxPy齊次方程的通

14、解齊次方程的通解非齊次方程的通解非齊次方程的通解 常數變易法常數變易法為待定函數為待定函數設有解設有解)(,)()()(xcexcxydxxP dxxPcexy)()(dxxPydy)( 代代入入原原非非齊齊次次方方程程和和將將)()(xyxy )()()()()()( )()()(xQexcxPexPxcexcdxxPdxxPdxxP CdxexQxcexQxcdxxPdxxP )()()()(,)()( 積積分分即即)()()( dxexQCeydxxPdxxPcdxxPyln)(ln dxexQeCexydxxPdxxPdxxP )()()()()(=齊通齊通+特解特解1)2(,sin

15、yxyxy求求解解初初值值問問題題例例1 1解解)cos2(121)2(xxyCy 得得初初始始條條件件)cos(1)sin()(xCxdxexxCexyxdxxdx 2033,xyyyxydxx 求求導導依依題題解解663)3(22 xxCedxexCeyxdxdx通通解解60)0( Cy得得由由6)22(32 xxeyx)(.)(, 0,3xfSxfxx求求如如圖圖 例例2 2xyox3xy )(xfy S0)2(22 dyyxyxdxy解解方方程程例例3 3線線性性對對)(1)21()(2yxxyyyx ) 1()()(11122222121 yyyceyeceydyecexdyyydy

16、yy解解)34(7),1(2)238( 1412，作業作業 exny解法解法)()1 ()()1 ()1 (11xQnyxPnyynnn )()(1xyxzn 令令)1 , 0()()( nxQyxPy1 nB方方程程通通解解求求12 xyyy例例5 5)4(4222 dxxecezxzzxx解解得得有有12)4(2222 xcedxxeceyxxx解解)2(2222Cxxzyxzxdxdz 解解得得有有解解通通解解求求yxyxdxdy24 例例6 621 nB方方程程)1(1 yz令令yz 令令02)6(2 yyxy解解方方程程例例4 4)21()2(23333yCydyeyCexyxyxd

17、yydyy 得得解解)()()()(xQyfxPyyf 定義定義與與路路徑徑無無關關之之隱隱函函數數故故通通解解使使CyxuCyxuyxduQdyPdxyxuQPxy ),(.),(0),(),(解法解法xyQPQPdyyxQdxyxP 偏偏導導連連續續且且,0),(),(00),( dxdyQPdxdyuuxCyxuyx即即求求導導對對.0成成立立故故 QdyPdx xxyyyyxxdxyxPdyyxQdyyxQdxyxPyxu0000),(),(),(),(),()100或或)234( 1512 ex作業作業2) 直接湊直接湊全微分全微分)(ln )(lnxydyxxdyydxyxdyxx

18、dyydx )(arctan)(212222yxdyxxdyydxyxdydyxdx )()()(22xydxydxxdyyxdyxdyydxxydydxxdy 0)()(2 dyyxdxyx解解方方程程例例1 1方方程程為為全全微微分分方方程程 1xyQP解解確確定定的的隱隱函函數數是是方方程程的的由由cyxyx 2323解解1 123)(),(23002yxyxdyyxdxxyxuyx 0)23(232323 xyyxddxyydxd0)(2 xdyydxydydxx解解2 2成成為為全全微微分分使使一一般般若若0, 0),(, QdyPdxyxQPxy),(yx 有有時時可可觀觀察察得得

19、到到一一般般不不易易求求出出確確定定要要由由.,)()(xyQP 0 xdyydx解解方方程程例例2 2解解cxyxxdyydxcyxyxdyydx 0;022或或cyxxyxdyydxyxdxyyx ln0)(ln1),(0)2()2(22 dyyxxdxxyy解解方方程程0)()(2222 dyxdxyxydcyxxyyxdxyd 2222ln10)ln(ln)1(例例3 3解解 221yx0)22()(22 ydyxdxxyxdyydx個個任任意意常常數數的的表表達達式式含含有有次次。逐逐次次積積分分nyncxcdxdxxfycdxxfynn21)2(1)1()()( )()(xfyn

20、一一解法解法的的函函數數右右端端僅僅是是x), ,()1()( nnyyyxfy顯顯式式形形式式xxy sin)3(解解方方程程例例1122coscxxy 2136sincxcxxy 32214224coscxcxcxxy 解解 逐次積分逐次積分例例20)0(, 0)0(),1()( xxktAtx解解初初值值問問題題12)2()(ctktAtx 解解232)62()(ckttAtx 01 c)62()(32kttAtx 02 c的的特特解解求求3)0(, 1)0(, 2)1(2 yyxyyx例例3解解)0(122 PPxxPPy代代入入得得)1()1(lnln2121xcyxcP 即即積積分

21、分231)3(cxxcy 再再積積分分得得1, 321 cc代代初初始始條條件件得得1)3(33 xxy，令令Py 解解),() 4(xPy 令令PPx 代入原方程代入原方程xCyP1)4(120 解方程解方程542332514CxCxCxCxCy 次次得得再再積積分分.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy例例4),( 1cxyP 設設其其通通解解y右右端端不不含含為為一一階階方方程程代代入入方方程程得得),(PxfP 21),(cdxcxy )(yx,fy 二二解法解法)(xPy 令令的的微微分分方方程程為為代代入入方方程程)(),(yPPyfdydPP 進進而而有有設設其其解解為

22、為),(1cydxdyP 21),(cxcydy )(yy,fy 三三解法解法)()( xyPxyy 令令xyyydydPPyyxyPxy662333,3131323223 x右右端端不不含含dydPPdxdPy 有有中中間間變變量量作作為為將將)(xy)0(0122 yyyy的的通通解解求求例例5解解)()(xyyP 令令21211111cxcycxcy 進進而而有有212)1(12 ycdxdyPydyPdPP得得有有的的通通解解求求微微分分方方程程02 yyy例例6解解1)( yyP 令令2PdydPyP 有有xcecyycyPydyPdPP121., 0 進進而而有有得得有有當當20c

23、yP ，有有當當為任意為任意12,1cecyxc 通解通解ycyyydxdyyyyy1222, 0)(,1 故故兩端同乘兩端同乘解解2)25(2)10, 8 , 5( 1612，作業作業 ex 非非齊齊次次齊齊次次00)()()()1(1)(xfyxPyxPynnn的的函函數數均均是是和和自自由由項項系系數數函函數數均均是是一一次次的的關關于于特特征征xxfxPyyyin)()()2(, ,)1()(有很多實際問題中的方程是高階線性微分方程有很多實際問題中的方程是高階線性微分方程)2()1()(0)()( xfyxQyxPy二階二階 0)(,01 xykknniiii使使個個常常數數的的不不全

24、全為為0)(,01 xykkniiii才才使使時時全全為為只只有有有有定定義義在在設設函函數數組組Ixyxyxyn)(,),(),(21線性相關線性相關線性無關線性無關定義定義線性相關線性相關xx22cos,sin, 132, 1xxx線線性性無無關關齊次方程齊次方程的的通通解解是是方方程程則則線線性性無無關關和和若若的的解解也也是是則則的的解解是是和和設設)1()(,)()(.)1()(,)1()()(21221121xYxyxyyCyCxYxyxy 非齊次方程非齊次方程 yYxy非非齊齊特特解解對對應應齊齊通通通通解解)(通解。通解。為為包含兩個任意常數包含兩個任意常數相加相加為非次特解為

25、非次特解為齊次通解為齊次通解)2()()()()(,)()()(0)()(* yYyxfyYQyYxPyYxfyxQyxPyyYxQYxPYY證證非非齊齊次次方方程程 2xyy2sincos22212* xxcxcyxy通通解解驗驗證證例例1解解的的通通解解是是方方程程0sincos21 yyxcxcY riiirixykxyrnixy)()(,1),(使使線線性性相相關關的的情情形形關關注注2 n線性線性微分方程的微分方程的迭加原理迭加原理的解的解是是則則的解的解是是的解的解是是設設)()()()(,)()()(,)()()(21212211xfxfyxQyxPyyyxfyxQyxPyyxf

26、yxQyxPyy 的的解解是是方方程程的的兩兩特特解解之之差差方方程程)1()2(21 yy的的通通解解，求求方方程程的的一一特特解解已已知知齊齊次次方方程程)2()()1(1xy例例2 2解解為所求為所求3322311)()(yyyCyyC 的的通通解解求求的的解解線線性性無無關關且且都都是是方方程程設設)2(,)2()(),(),(321xyxyxyp299)()()(1xyxuxy 設設代入方程代入方程(2)()()()(2(111111xfuyxQyxPyuyxPyuy 待待定定)(xu6712 ex作業作業111)()(2yxfuxPyyu )(1)(12)(21 dxexfyCey

27、vdxxPdxxP解解得得,uv 令令dxvdxeyCCxudxxP *)(21211)(再再積積分分方程方程(2)通解通解dxvydxeyyCyCydxxP *1)(2112111的的通通解解求求非非齊齊次次方方程程xeyyyx 2例例3 3xeueuueuuuexxxx )(2)2(代代入入方方程程得得令令齊齊次次方方程程有有特特解解),(.xueyexx xxexececyxxxln21 通解通解xxxccuxuln,.121 積積分分兩兩次次得得即即解解齊次通解齊次通解非齊特解非齊特解另一無關的齊解另一無關的齊解已知對應齊次方程通解已知對應齊次方程通解)()()(2211xyCxyCx

28、Y 設非齊次方程通解為設非齊次方程通解為)()()()(2211xyxcxyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 0)()()()(2211 xcxyxcxy令令22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc (5)()()(,)()()(1221xwxfyxcxwxfyxc 解解得得(4),(5)聯立方程組聯立方程組 0)()()()()(,122121 xyxyxyxyxwyy線線性性無無

29、關關)()()()()(2211xfxcxyxcxy 有有.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy例例4解解為為齊齊次次方方程程的的解解和和xdxeeeedxxxxxx 121.21xeCxCY 相相應應齊齊次次方方程程通通解解xexcxxcy)()(21 設原方程的通解設原方程的通解應應滿滿足足方方程程組組代代入入原原方方程程得得)(),()(21xcxcxy 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx xxexcxc)(1)(21解解得得xexCxcxCxc )1()()(2211，xxeexCxxCy)1()(21 故故方方程程通通解解 dxxwxfyCxc)()

30、()(211 dxxwxfyCxc)()()(122方程通解為方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy積分得積分得0)(,2 qprreeyrxrx代代入入可可得得是是方方程程的的解解設設 0rxe02 qprr特征方程特征方程0 qyypy)4(210. 122, 1qppr 有有兩兩個個不不相相等等的的特特征征根根xrxreyey2121, 兩兩線線性性無無關關特特解解通解通解xrxreCeCy2121 cxuyyyeyxr )(,.12211設設另另一一特特解解有有一一特特解解代代入入方方程程并并化化簡簡，將將xrexuy1)(2 , 0)

31、()2(1211 uuqprrupru通解通解xrexCCy1)(21 xxu )(取取20. 221prr 有有兩兩個個相相等等的的特特征征根根線線性性無無關關xeyxeyxx sin,cos21通解通解)sincos(21xCxCeyx 是是方方程程的的解解)sin(cos)(2,1xixeeexxixr 也也是是方方程程的的解解)(21),(21212121xrxrxrxreeiyeey ir 2, 10. 3有有一一對對共共軛軛復復特特征征根根的的通通解解求求032 yyy例例1 1xxececyrrrr3212123, 1032 通通解解特特征征方方程程解解的的通通解解求求0222

32、yyyxexccyrrrr221212)(20222 通通解解特特征征方方程程例例2 2解解的的通通解解求求032 yyy)2sin2cos(,2121xcxceyirx 特特征征根根例例3 3解解)36(2)2458( 1812，作業作業 ex的的解解法法二二01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0)()()()(22 tsrrqprrbraraxkkkexCxCCar)()(1110 對對應應的的通通解解項項為為的的共共軛軛復復根根是是其其中中tsrri 2每個特征根都對應著通解中一項每個特征根都對應著通解中一項, 帶有一個任意常數帶有一個任意常數.通通解解求求052

33、)4( yyyirrrrr21, 0, 0)52(4,32, 122 特特征征根根特特征征方方程程的通解的通解求求022)3()4()5( yyyyyy1),(, 0) 1() 1(522 rirrr二二重重特特征征根根特特征征方方程程xecxxccxxccy 54321sin)(cos)(通通解解例例4 4解解例例5 5解解)2sin2cos()(4321xcxcexccyx 通通解解sin)(cos)()(111011102xxDxDDxxCxCCetsrrkkkkxk 對對應應項項為為)(xfqyypy ，通通解解求求一一特特解解 y*yYy )(,(次次多多項項式式實實數數mxPm 特

34、特解解時時可可以以用用待待定定系系數數法法求求和和當當)()(sin)(cos)()(xPexfxxPxxPexfmxnlx xnexQy )(*設設?,)( nxQnn系數待定系數待定次多項式次多項式)()(*xQxQeynnx )()(2)(2*xQxQxQeynnnx 型型一一)()(xPexfmx xmexfxPxf )()()(和和特特殊殊情情形形）（3)()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQmnnn0)12 qp)()(,xQxQmnmn 必必xmexQy )(*有有得得代代入入方方程程約約去去將將xeyyy , ,*)()(1)3(xxQxQmnmn 有有由由02)3

35、2 pqp02 , 0)22 pqp)()(2)3(2xQxxQmnmn 有有由由xmexQxy )(2*有有:綜綜合合)2 , 1 , 0()(* kkexQxyxmk重特征根重特征根是是xmexQxy )(*有有通通解解的的步步驟驟求求xmexPqpyy )()4*2,)(. 4)(), 1 , 0(,. 3)()()()( )2()()()(. 2. 1yYyexQxyxQmibxPxQqpxQpxQxQxxQYxmkmimmk 通通解解特特解解得得求求出出比比較較同同次次冪冪的的系系數數代代入入設設寫寫出出齊齊次次解解通通求求相相應應齊齊次次方方程程特特征征根根*21yxyy的的一一個

36、個特特解解求求 22122byxbby 12 xy1, 1, 0021 bbb比比較較對對應應項項系系數數0, 1)(2 xxPm不不是是根根而而特特征征根根特特征征方方程程0. 0, 012 irr12222102 xxbxbbb代代入入方方程程得得例例1 1解解2210 xbxbby 設設的通解的通解求求xxeyyy223 2)( xxPm)(2, 1023212單根單根特征根特征根特征方程特征方程 rrrr例例2 2解解xexxy22*)2( 1,2101 bb比比較較系系數數得得11022bQxbbQ xxbbb )2(2)3(101式得，式得，代入代入xxxexxececy22221

37、)2( 通通解解xxexQebxbxy2201)()( 設設xxeyyy42 求求例例3xxbbxbbxQbxxbxQ462)3(62)(32)( 1010120 得得，代代入入32010 bb比比較較系系數數得得32)(321xxexexccy 故故通通解解323*xexy 14)( xxPm解解xxexQexbbxy)()(102 設設)(1, 0122, 12二重根二重根特征根特征根特征方程特征方程 rrr特特解解形形式式 是是特特征征根根不不是是特特征征根根iik10,max nlm sin)(cos)(*xxRxxQexymmxk 型型二二sin)(cos)()(xxPxxPexfn

38、lx 0, 0sin)()()21, 0sincos)()1 lnnlPxxPxfPPxxxf：特特殊殊情情形形的的一一個個特特解解xeyyyxcos23 例例4sin2cos2sin)(cos)(00*0000*xbxdeyxbdxbdeyxx 2, 121 rr特特征征根根)sincos(00*xdxbeyx 設設解解 212101000000dbbdbdxxbdxbdcossin)(cos)(0000 代入方程得代入方程得)sincos(2*xxeyx 0)(, 1)(1 xPxPiinl的的通通解解求求xxyysin4 例例5代代入入原原方方程程)4()22(sin)4()22(cos

39、sin)2(cos)2(22*22*dxxcbadxbxxadcbxyxbxxadcxdxxcbay iiPxxPln 0,4)(irr 特特征征根根特特征征方方程程012sin)(cos)(*xdxcxbxaxy 令令解解xxbxadxxdxcbsin44)(2sincos4)(2 010044)(204)(2adbcbdxbxaddxcb再再比比較較比比較較xxxxysincos2* xxxxxcxcysincossincos221 通通解解的的通通解解求求1sin42 xxxyy例例6xxxxyxxyycossinsin4, 52*2 有有特特解解由由例例xxxxxxcxcycossin

40、1sincos2221 通通解解的的特特解解是是故故1sin4cossin1222*2*1* xxxyyxxxxxyyy11, 12*12 xyxyy有有特特解解由由例例解解6)10,148( 1912，作業作業 ex特特解解的的形形式式寫寫出出xexyyxsin3)4( 例例7irrrr 4,32,124, 00 特特征征根根特特征征方方程程)(2*1BAxxy xCey *2)sincos()(2*xExDxCeBAxxyx 解解)sincos(*3xExDxy 齊次方程齊次方程).(xyFdxdy 可分離可分離令令 xyu可化為齊次可化為齊次齊次齊次令令 kYyhXx)(/ )(ygxh

41、y dxxhdyyg)()(可分離變量可分離變量線性方程線性方程伯努利方程伯努利方程線線性性令令 nyz1)()(xQyxPdxdy )()()( dxexQceydxxPdxxPnyxQyxPdxdy)()( 111cybxacbyaxdxdy 0),( QdyPdxyxdu全微分方程全微分方程Cyxu ),(例例1.1cossin2sin) 1(sin222化化為為可可分分離離變變量量方方程程將將 xxxyxyy解解222)1sin(coscos)1(sin)1(sin2 xyxyxxyxyy21sinuuuxy 可可得得令令解解1例例2例例3解解的的通通解解。求求xyxyy2 齊次方程或

42、齊次方程或B方程方程xcxyxxcdxexcezxdxxdx 通通解解)1(22xxzzyz12, 令令xcuxdxuuduxyulnln)1ln(.2, 積積分分令令)()(sincossincosxcedxeeceyxxdxxxdx 的的通通解解求求xexyysincos 一階線性方程一階線性方程解解2的的特特解解，求求0)1(0)2( ydyyxedxeyy例例5)1 ()()2(22yeycedyeeycexyyyyy 解解1yyexx 21)0( x一階線性方程一階線性方程解解20)(22 yxedydyxdedxeyyy全微分方程全微分方程解解例例4B方程方程例例61)()(23

43、xyxxyxy解解B方程方程解解)()(313 cdxexeuxyxxuuxx1)( xyu令令23)()()(xyxxyxxy 的通解的通解求求)(sincossin2yxxxyy xCxCxdxxxy2222cscsin32)sincos2(csc xxyycos2cot)(2)(22 例例8的通解的通解求求yxxy 2解解22uuxy 有有uuuxu )(22方方程程化化為為Cyxxyx 23)(332通解通解22 xux222d232)2(uCudueCexuduuu xyxu 2令令例例7解解的通解的通解求求yxyyyysin2sincoscos yyxyx2sintan)( )co

44、s2(cos)2sin(coslncoslnyCydyyeCexyy x(y)一階線性方程一階線性方程)(, 2)0(),()()(,xffyfexfeyxfyxxy求求且且有有 例例9解解)0()(fexfx )()(1lim)()(lim)(00hhfexfhehxfhxfxfxhhh )2()(cxexfx 0)0( fxexcexfxxsin)sin()( 得得xexfxfQPxxycos)()( 即即解解.)()(cos)(. 0)0(,),()(路徑無關路徑無關使使求求且且導數連續導數連續在在設設 Lxdyxfdxxyfxyexffxf例例10例例11解解求曲線滿足的微分方程求曲線

45、滿足的微分方程的橫坐標的橫坐標截距等于切點截距等于切點其上各點切線在軸上的其上各點切線在軸上的曲線過曲線過.),1 , 1(1)1(, 1.)(),( yxyyxxyyxyyYyxXyyYyx初初始始條條件件故故有有依依題題意意有有軸軸上上截截距距切切線線方方程程設設曲曲線線上上動動點點升升求求容容器器內內所所含含鹽鹽量量出出鹽鹽水水管管抽抽分分從從升升同同時時以以管管放放入入凈凈水水分分從從升升現現以以升升升升鹽鹽水水含含鹽鹽)(./2,/3.10100txBA例例13AB)(,)(3)(400 xfdttfxdtttfxxx求求有有對對 例例12)( )(2,)(3)(0 xxfxfdtt

46、fxxfx 再再求求導導求求導導解解212)(lnln)(ln2)()(xcxfcxxfxdxxfxdf 積積分分252)100(10)100(100)(2ttcxttxdtdx 得得ttxNtNtxttt)23(100)()(2, 而而時時段段解解10)0( x0sec)1 (tan3. 12 ydyeydxexx二二3)1(tanlntanln)1ln(3 xxeyccye解解可分離變量可分離變量yxyxdydxln dyyuuuduuyx1ln 有有令令)1(ln)1(lnln)1ln(lnln yxcucycuy即即解解齊次方程齊次方程1212 xyyx解解) 1()()(121122

47、11222 yyydyyydyyyceyeceydyecex一階線性方程一階線性方程dyyydxeexxtansec132 0)ln(ln. 2 ydxdyyxx0)2(. 322 yyyxyx0)1(. 4 xdyydxxy21yyxdxdy )2(1)(1)(1211xcxxdxcxdxecezydxxdxx 11,1 zxdxdzyz令令解解1B方程方程02022 yxdxdyxdyydxxdx解解2yxyydydx1ln1 )ln21(ln1)ln(ln12ycydyyycy 解解)1(ln1ln1dyeycexdyyydyyy 一階線性方程一階線性方程0)ln(ln. 5 dyyxy

48、dxy齊齊次次方方程程可可分分離離變變量量線線性性方方程程貝貝努努利利方方程程齊齊次次方方程程全全微微分分方方程程0)32( . 60ln33. 50)2( . 40. 30)()( . 20)()(. 1222422222222 ydyxdxxyxxxyyxyyyyyxdxxyydxxdydyeedxeedyyxyxxdxyxyxyyyxxyx一一 判別類型判別類型0)ln(ln. 50)1(. 40)2(. 30)ln(ln. 20sec)1(tan3. 1222 dyyxydxyxdyydxxyyyyxyxydxdyyxxydyeydxexx二二 解方程解方程特特解解形形式式)(.3xP

49、eqpyymx )2 , 1 , 0()(* kkexQxyxmk重特征根重特征根是是,max nlm 特特解解形形式式sin)(cos)(. 4xxPxxPeqpyynlx 2211ycycY *yYy 02 qprr特特征征方方程程0. 2 qyypy)sincos()(212121121xCxCeYexCCYeCeCYxxrxrxr irrrrr2,12121特特征征根根通解通解)()()(0)()(. 1xfyxQyxPyyxQyxPy )1 , 0( kki重特征根重特征根是是通解通解sin)(cos)(*xxRxxQexymmxk xxxxxxxxexxfxeeyxfyyyrrrr

50、eyeyyeyyyeeyyy)21()()(2 020)2)(1(2,22,2*122221*3*222*3*11 代代入入有有為為其其特特解解。且且方方程程即即特特征征方方程程為為相相應應齊齊次次二二無無關關解解為為齊齊次次的的解解048 5 204852)2)(2()1()4(2342 yyyyyrrrririrr所所求求齊齊次次線線性性方方程程irxyxy22sin,2cos24,343 知知，由由特特解解)(1,2,121二二重重根根知知由由特特解解 rxeyeyxx為為解解的的二二階階方方程程。求求以以xxxxxxexeexeexe ,2例例2解解解解性性齊齊次次微微分分方方程程。為

51、為特特解解的的四四階階常常系系數數線線例例1xyxyxeyeyxx2sin,2cos2,4321 確確定定以以212323cecxxxyx xxxecxxcdxexePy 121222)(令令xeccY 12齊齊次次通通解解2131 CBA，代代入入原原方方程程得得)(102*CBxAxxyr 重重特特征征根根，設設是是例例4的的通通解解。求求2xyy 解解1解解2，求求其其滿滿足足的的微微分分方方程程已已知知函函數數221xcxcy 例例3解解對對應應方方程程為為二二階階2212 ,2cyxccy , 2 21212xyyxcycyc 為為所所求求022 2 yxyyx2 21) (xyxx

52、yyy 代代入入通通解解表表達達式式可可得得：xeCeCyxx2cos51121 xBxAyi2sin2cos.202*2 設設不不是是特特征征根根）（1.01*1*1 yDy設設不不是是特特征征根根）（. 1, 012,12 rr特特征征根根為為特特征征方方程程5/2cos, 0512cos*2xyBAxyy ，得得代代入入例例5xyy2sin2 求求解解解解)()(2cos121xfxfx 例例6 6的的通通解解求求xeyyxcos 解解xCxCYsincos21 齊齊次次通通解解xxyeyxsin21,2*2*1 非非齊齊特特解解xxexCxCyxsin212sincos21 )(yPy

53、 令令yCPyPdydPP122121 解得解得2111121CxyCCyCdxdy 通解通解.)(),(2和和方方程程通通解解，求求方方程程有有一一特特解解xfxpx例例7 7，對應齊次，對應齊次有一特解有一特解設設xxfyxpy1)()( .x方程不顯含方程不顯含21.2yyy 求求通通解解例例8解解解解 得得33)(xxf 331xyxy 11,422221取取由由降降階階法法 CdxexxCyxyxdx.1221xxCCy 通通解解)()(1223xfxpxx 0)(22 xxpxxp1)( ，為為齊齊次次兩兩無無關關解解xyx1, 1*2 2212PxPxPPy 有有令令2112xu

54、xuPu 有有令令2112221)1(1xxccdxxxxuP xccxxcccdxxcxy 121212212ln2解解例例9的的通通解解。求求yxyyx 222y不不顯顯含含)(,)()(sin)(,)(0 xfdttftxxxfxfx求求滿足滿足連續連續 例例10解解dttfxxfx 0)(cos)(求導，求導，xxfxfsin)()( 再再求求導導， 1)0(0)0(ff且且有有xxxcxcxfcos21sincos)(21 通通解解121) 0(, 0) 0(21 cfcfxxxxfcos21sin21)( 023 rffrff rrfuuuzzyyxx)(),(3232ff rrz

55、rfuff rryrfuzzyy )(32ff rrxrfuxx rfxrxrfux )(222121221),()(,)(zyxcczyxurccrfrcrf ),(,)(, 0)(),(222zyxurfzyxruuurfzyxuzzyyxx求求二二階階導導數數連連續續其其中中滿滿足足已已知知 例例11解解)()(,2)0(0)0(),(2)(),()(xgxfgfxfexgxgxfx求求設設 例例12解解xxexcxcxfxfexgxf sincos)()(2)()(21xexxxfff sincos)(2)0(, 0)0(又又xexxxg sincos)(的的和和函函數數求求! )3(

56、)230nxnn 例例13解解(02考研考研)xnneyyynxxy 滿滿足足方方程程驗驗證證函函數數! )3()()130 xxxexCxCeyyyeyyy31)23sin23cos(0)0(, 1)0()2212 通通解解解解)(3123cos32! )3(203 xexenxxxnn0,32,21 CC代代入入初初始始條條件件xnnenx 0! 03013023! )3(! )13(! )23()1nnnnnnnxnxnxyyyxxyy2coscos. 3 xxcos213cos21 xxbxaxbxa3cos21sin3cos3sin93cos9 解解xcxcYirrsincos01212 xyab3cos161161,