1、一、正態分布的概率密度函數與分布函數一、正態分布的概率密度函數與分布函數1.1.背景：背景：正態分布是現代統計學的基礎。正態分布是現代統計學的基礎。1818世紀科學家發現測世紀科學家發現測量的誤差具有驚人的規律性，這種規律性滿足類似于某種特殊量的誤差具有驚人的規律性，這種規律性滿足類似于某種特殊的的“中間大，兩頭小中間大，兩頭小”的特征，現實中眾多的問題都具有這種的特征，現實中眾多的問題都具有這種特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究類似現象并發現了特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究類似現象并發現了其密度和分布的數學家。他們將這種分布稱為正態分布。其密度和分布的數學家。他們將這種分布稱為正

2、態分布。2.2.一般正態分布的概率密度函數與分布函數一般正態分布的概率密度函數與分布函數 21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxXxPxFxfdxxfxFxFxXPX，或或且且的的密密度度與與分分布布關關系系如如下下我我們們已已知知連連續續隨隨機機變變量量 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理.,2 N記作記作 其中其中 及及 0 0都為常數，這種分布叫做都為常數，這種分布叫做正態分布正態分布或或高斯分布高斯分布。設連續型隨機變量設連續型隨機變量 X X 的概率密度為的概率密度為 xexfx,21)(222)( d

3、xxfdxex22221 xtdtet2221 1)21(1 02222dtet ,21,02212dssdtst 則則令令dsesdtest 212212 dsesdtedxxfst 021022122222 1.正態變量的密度函數正態變量的密度函數 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理特別地，當特別地，當 時，正態分布時，正態分布 叫做叫做標準正態分布標準正態分布。 其概率密度為其概率密度為 xexx,2122 1,0N1, 0 2.2.正態分布正態分布 的密度曲線的密度曲線 2, NO 21 xfx 22221 xexf若固定若固定=0 O xf

4、x ）（21 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理O1 xFx0.5 的的表表達達式式為為：因因此此，正正態態分分布布2, N dtexFxt222 21 3.3.正態變量的分布函數正態變量的分布函數 xdxxfxFxFxf)()(),()(的的關關系系式式是是首首先先：分分布布函函數數與與密密度度的關系式為：與其密度，則數則表示為標準正態變量的分布函來表示，的密度函數用符號一般地，標準正態分布)()()()(xxxxdtedxxxxxtxx2221)()(),()( 4.4.標準正態分布的密度函數與分布函數標準正態分布的密度函數與分布函數表示。分布用

5、符號。一般地，將標準正態正態分布，記作服從標準的正態分布，則稱，服從若隨機變量)() 1 , 0(102xNXX 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理4.4.正態密度函數的性質正態密度函數的性質 積積分分的的特特殊殊性性函函數數，還還具具有有對對稱稱區區間間標標準準正正態態密密度度由由于于是是偶偶，數數的的非非負負規規范范性性，另另外外首首先先都都具具有有一一般般密密度度函函和和標標準準正正態態密密度度的的密密度度正正態態密密度度22222221)(21)(),(xxexexfN 12122212221)(1)()(02022222 dxedxedxe

6、xdxxdxxfxxx 是是偶偶函函數數且且.21)()(100dxxdxx）（ 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理（3 3） xx 1)()(xXPxXPy 軸軸對對稱稱，即即標標準準正正態態分分布布密密度度關關于于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（即即 212121020222 dxedxexx ）。）容易得到（由（；）（2121)0(2 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理dxexFxFxXxPNXxxx2122 21221221)()(),(有對于一般正態變量)(). 5xFx 求（用 12

7、22 2 22121xtxtdtedte)()()()()()()(12121221 xxttxFxFxXxP xt 212221xxtdte)()()()(,22221xxxXPxx也可求單側概率：).()(xxx值求出據態分布函數表，可以根統計教材后都有標準正一般概率的數值已經編制成表，標準正態分布函數 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理, 3, 2, 1k 若若 , 求求X 落在區間落在區間 內的概率，內的概率， kk,其中其中例題例題4.1.2 2, NX例題例題4.1.1，試求已知) 1 , 0( NX(3)PX 1.5P x , (3)(

8、 3)1(3)10.99870.0013PX 解：查表可得：解：查表可得：(3)0.9987(1.5)0.9332故1.5( 1.51.5)(1.5)( 1.5)(1.5)1(1.5)2(1.5) 12 0.9332 10.8664P xPX 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理解解 kXkP kXP k 12k 查表得查表得 6826. 0112 XP 9544. 01222 XP 9973. 01323 XP 99994. 01424 XP kk k 9999994. 01)5(25 XP 9973. 01323 XP注注意意到到：003. 000

9、2. 09973. 013 XP 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理O 21 xfx 2 3 2 3 拐點拐點 拐點拐點 隨機變量隨機變量 X 落在落在 3,3之外的概率小于之外的概率小于3。 通常認為這一概率很小，根據小概率事件的實際不可能性通常認為這一概率很小，根據小概率事件的實際不可能性 原理，我們常把區間原理，我們常把區間 3,3看作是隨機變量看作是隨機變量 X 的的 實際可能的取值區間這一原理叫做實際可能的取值區間這一原理叫做三倍標準差原理三倍標準差原理（或（或3 法則法則）。）。 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大

10、數定律與中心極限定理 例例4.1.3 把溫度調節器放入儲存著某種液體的容器中，調節器的設定溫度 為d 度,已知液體的溫度T是隨機變量，且)5 . 0 ,(2dNX90d 89T （1）若度的概率；度，求（2）若要求保持液體的溫度至少為80度的概率不少于0.99，問d至少為多少度？解解 （1）由已知，所求的概率為899089( 2)1( 3)1 0.97720.0228.0.5P T （2）據題意，需求d,使得800.99P T 因為808018010.990.5dP TP X 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理800.010.5d利用0.9901正態

11、分布表，有所以(2.33)0.9901( 2.33)0.01 即故設定溫度d至少為81.165度.u一般地，給定實數) 10(存在實數)(uXP使得為隨機變量X上的u則稱百分位點.百分位點的解釋和應用在數理統計部分還要詳細說明 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理二、正態分布的數字特征二、正態分布的數字特征1.1.數學期望數學期望 dxxxfXE)()(義義：根根據據數數學學期期望望即即均均值值定定代代入入公公式式的的密密度度函函數數將將正正態態分分布布021)(),(222)(2 xexfNxdxxeXEx222)(21)( xtdtett22)(2

12、1 dttedtett 2222221分分，后后者者為為奇奇函函數數對對稱稱積積）（前前者者為為區區間間積積分分加加倍倍且且分分為為零零，而而偶偶函函數數對對稱稱注注意意奇奇函函數數對對稱稱區區間間積積 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理1.1.方差方差 將將正正態態分分布布密密度度代代入入由由方方差差定定義義 dxxfXExXD)()()(2 dxexXDx222)(2)(21)( xtdtett22222 ),(2 NX021)(222)( xexfx )(XE3.3.中心矩中心矩 dxxfXExXkk)()( 由由中中心心矩矩公公式式是偶函數是

13、偶函數dtett 0222222 stesdtest 2,221222則則令令22202120212)21(212)23(222222)( dsesdsessXDss 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理dxexXxkk222)()(21)( xtdtettkk222 若若 k 為偶數，為偶數，2122kkk , 6, 4, 2!)!1( kkk 22tz dzzekkzk02122 若若 k 為奇數，奇函數對稱積分為奇數，奇函數對稱積分, 5, 3, 10 kk 則：則：dtettkkk02222 的的一一切切奇奇數數的的階階乘乘到到表表示示從從注注

14、意意1!)!1( kk1 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例題例題4.1.4._)(_,)(,1)(122 xDxEexfXxx則則的的概概率率密密度度為為已已知知 度度恒恒等等變變形形為為正正態態分分布布密密解解：將將X222)(21)( xexf222)212(121221211)(xxxxeexf 21)(, 1)(),21, 1(2 xDxENX其中：其中：則則22)212()1(2121 xe 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例題4.1.5（2009，4分）._)()(),21(7 . 0)(

15、3 . 0)( XExxxxFX函函數數，則則為為標標準準正正態態分分布布的的分分布布其其中中的的分分布布函函數數為為設設隨隨機機變變量量2121)21(7 . 0)(3 . 0)()(),(的的復復合合函函數數是是注注意意由由密密度度與與分分布布的的關關系系：的的密密度度為為分分析析：設設xxxxxFxfxfX dxxxdxxxdxxxfEX)21(35. 0)(3 . 0)( 故只要積第二個即可故只要積第二個即可，為為為奇函數對稱區間積分為奇函數對稱區間積分是偶函數，是偶函數，注意到注意到0)()(xxx dttdtttdtttEX)(7 . 0)(4 . 12)()12(35. 0 7

16、. 0)(7 . 0)(700 dtt . 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理二維隨機變量二維隨機變量( ( X X, ,Y Y ) ) 的正態分布概率密度表示如下：的正態分布概率密度表示如下： 22 22 22121 2121,yyyxyxxxyyxrxryxeryxf 其中，參數其中，參數 及及 分別是隨機變量分別是隨機變量 X X 及及 Y Y 的數的數學期望，學期望， x y 及及 分別是它們的標準差，分別是它們的標準差，x y 參數參數參數參數 r r 是它們的相關系數。是它們的相關系數。三、二維正態分布三、二維正態分布1.1.二維正態分布

17、的密度二維正態分布的密度 yxdudvvufyxFyx,),(),(),().,(,2222YXYXYXYXNrrNYX，即記成經常地，將）記作（ 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理2.2.二維正態分布的邊緣密度二維正態分布的邊緣密度，可以計算出由dyyxfxxFxfX),(),()(定理定理4.2.1 ),(),(),(,222211222121NYNXNYX，則）若（( , )2121( )21t x yXfxedy 2212122211()()1( , )22(1)xyxt x y 其中 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、

18、大數定律與中心極限定理dyexfyxtX,221121)(21212)(121xe22222)(221),()(xYedxyxfyf同理),(222NY).,(),(),(222211222121NNN，分別為分布都是一維正態分布的兩個邊緣因此，二維正態分布置換積分變量21221()11yxu但是，一定注意，反過來，兩個一維正態分布未必能確定二維正態分布. 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理3.3.二維正態分布的獨立性與相關系數二維正態分布的獨立性與相關系數.)(,)(,)(,)(),(),(222121222121YDXDYExENYX則我們已經知

19、道，若;),cov(.),(21YXYXR代入協方差計算公式得)0 ,(,20),(10222121222121NYXYXYXYXYXN）（不相關且、，則獨立且都服從正態分布與）若（。獨立且都服從正態分布與），則不相關（、變量的）若二維正態分布定理：（()( )(, )()( )EXE XYE YR X YD X D Y應用相關系數公式能夠計算出： 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理.21)()(222221212121yxYXeyfxf另外另外, 若設相關系數為零，則若設相關系數為零，則 22222121212121,yxeyxf222221212

20、22 12121xyee yfxfYX 如果隨機變量如果隨機變量X與與 Y 獨立獨立, 并且都服從正態分布并且都服從正態分布,則則 ，代入密度函數yfxfyxfYX,0)0 ,(,222121，即）得（NYX在二維正態分布中，獨立性與不相關是一致的，在二維正態分布中，獨立性與不相關是一致的，這是二維正態分布的一個重要特征. 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例例4.2.2 設隨機變量設隨機變量X 與與Y 獨立獨立, 并且都服從正態分布并且都服從正態分布 N (0, 1) ,求求22YXZ 的的概率密度概率密度. 解解 ,21),(2 22yxeyxf

21、 , 0 時時當當 zzyxyxZdxdyezF22222 21)( zrrdred02 20221 2 1ze)()( zFdzdzfZZ 0 , 00 ,2121 zzezzxyo22YXZ ) 2(2 . 0, 0 zZPzFz時時當當 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例題例題4.2.3.)()()();()()();()();()()()/()(),(/yfxfDyfxfCyfBxfAyxfXyYYXyfxfYXYXYXYXYXYXYX 密密度度的的條條件件概概率率的的條條件件下下，的的概概率率密密度度，則則在在、分分別別表表示示不不相相關

22、關，與與服服從從二二維維正正態態分分布布，且且和和設設隨隨機機變變量量獨獨立立。與與由由已已知知，于于獨獨立立，因因此此布布情情況況下下，不不相相關關等等效效分分析析：因因為為二二維維正正態態分分YX)()/()()/(),()/(/xfyxfBPABPAPBAPXYX 密度與分布同理：密度與分布同理：獨立時的等價定義：獨立時的等價定義：來來判判斷斷。并并求求出出及及等等效效獨獨立立性性代代入入注注：也也可可根根據據)(),()/()()(),(0/yfyxfyxfyfxfyxfrYYXYX 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理四、正態變量的線性函數的

23、分布四、正態變量的線性函數的分布定理定理4.3.1., ,222 bbaNbXaYNX則則設設的分布bXaY. 1證證 22221 xXexfX的的概概率率密密度度函函數數為為：的的分分布布函函數數為為（)0 bbXaY 222221)(1)()( bbayXYYebbayfbyFyf 由于由于 bxay是單調函數，且反函數為是單調函數，且反函數為 ,bayx,1bxy)()()()()(bayFbayXPybXaPyYPyFX 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理.1 , 0*,2NXXNX 則則設設推論推論則則得得：在在如如上上定定理理中中，若若令

24、令,1, ba bayfbyfbXY1)(0 時時的的密密度度為為同同理理求求22,yyxxNYNXYX ，獨獨立立，且且與與設設定理定理4.3.2.,22yxyxNYXZ 則則證證 ,21222xxxxXexf 的的概概率率密密度度函函數數為為與與YX .21222yyyyYeyf 的的概概率率密密度度函函數數為為YXZ .)(dxxzfxfzfYXZ 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理dxezfyyxxxzxyxZ22222121)( 經過計算可得結論如下)(2)(22222 21)(yxyxzyxZezf222)()()()()()()()(Y

25、XZYXZYDXDYXDZDYEXEYXEZEYXZ 時時并并且且態態，隨隨機機變變量量的的和和仍仍服服從從正正定定理理表表明明，獨獨立立的的正正態態以上結論還可以推廣到更一般的情況以上結論還可以推廣到更一般的情況 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例題例題4.3.1;21)1()(;21)0()(;21)1()(;21)0()(),1 , 1(),1 , 0( YXPDYXPCYXPBYXPANNYX則則：分分別別服服從從正正態態分分布布與與設設兩兩個個獨獨立立的的隨隨機機變變量量)2 , 1(),2 , 1(, NYXTNYXZYXTYXZ也也服

26、服從從正正態態分分布布，且且差差均均值值。因因此此分分析析：獨獨立立可可加加減減，方方21)0()()()(, ，考考慮慮到到即即由由題題要要求求，標標準準求求 zzFzZPPZniNXXXXiiin, 2 , 1,221，獨獨立立，且且設設 定理定理4.3.321211,iniiniiiniiiccNXc 則則 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理21)0()211()1()1()1( ZFZPYXPB故故選選例題例題4.3.2的的方方差差。量量的的正正態態分分布布，求求隨隨機機變變，方方差差為為值值為為相相互互獨獨立立，且且都都服服從從均均設設兩兩

27、個個隨隨機機變變量量YXYX 210,為為標標準準正正態態分分布布即即為為服服從從正正態態分分布布，且且均均值值也也，因因此此獨獨立立可可加加減減，方方差差均均值值解解：令令)1 , 0(. 1, 0,NZDYDXDZEYEXEZZYXZ ), 0(,2,2221)(,)()(220222 tzdzdtztdzzedzezZEdzzzZEzz令令偶偶偶偶的的偶偶： 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理 0202222)(2dtedzzeZEtz 222)1(22 101)()()(),(1, 02222 ZEDZZEZEZEDZEZ即即：求求由由已已知

28、知 21)()()()(2222 ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式：由方差的均值公式： 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理四、切比雪夫定理四、切比雪夫定理 1.1.背景：背景：若已知一個隨機變量分布的均值與方差，那么隨若已知一個隨機變量分布的均值與方差，那么隨機變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級機變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級10001000名名學生線性代數課程成績的均值為學生線性代數課程成績的均值為8585分，我們關心的是，有多少分，我們關心的是，有多少學生的成績集中在均值附近？學生的成績集中在均值附近？2

29、.2.切比雪夫定理（不等式）：切比雪夫定理（不等式）：。即即：內內的的概概率率不不小小于于（取取值值在在則則對對于于任任一一設設22211)(.11),0,)(,)(kkxPkkkxkXDXE 0 dxxfxxExD)()()()(222 證證：為為密密度度函函數數，且且非非負負。其其中中)(xf 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理 非非負負且且由由于于域域分分成成三三部部分分證證：將將積積分分按按照照積積分分區區 kkkkkkdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx)()()()()()()()()()()(,2222222222222

30、)(,)(, kxkxkxkxkx 得得出出：同同理理，第第二二個個積積分分也也可可所所以以對對第第一一個個積積分分，由由于于 kkdxxfkdxxfk)()(22222 即即： kkdxxfdxxfk)()(12 21)()(21xxdxxfxXxP：由由區區間間概概率率和和密密度度關關系系 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理)()()()( xkPkxPdxxfdxxfkk 所所以以：)()()(12 kxPdxxfdxxfkkk 即即：211)(1)(kkxPkxP )()()( kxPkxPkxP )(1112 kxPk 即即：22)(1)(

31、;)()(, xDXExPxDxExPk ：則則得得到到切切比比雪雪夫夫不不等等式式在在切切比比雪雪夫夫定定理理中中，令令 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理例題例題4.4.1_)2)(2 xExPx估估計計，根根據據切切比比雪雪夫夫不不等等式式的的方方差差為為設設變變量量2122)()2)(2)(222 xDxExPxD所所以以，由由已已知知中中，令令解解；在在切切比比雪雪夫夫不不等等式式設獨立隨機變量設獨立隨機變量 ,21nXXX并且方差是并且方差是一致有上界一致有上界的，即存在某的，即存在某, 2 , 1,)( niKXDi 則對于任何正數則對

32、于任何正數 ，恒有，恒有 定理定理2（切比雪夫大數定理）（切比雪夫大數定理）分別有數學期望分別有數學期望 ),(,),(),(21nXEXEXE,),(,),(2 nXDXD及方差及方差 D(X1),一常數一常數K，使得使得 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理1)(11lim11 niiniinXEnXnP證證)(1)1()()()(1)1()()(,1121111 niiniiniiniiniiXDnXnDXDzDXEnXnEXEzEXnXz對對隨隨機機變變量量)(1 11 )(11 ,1,)(1)(1221112 niiniiniiniiXDnX

33、EnXnPXnXzzDzEzP 即：即：代入代入由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理2211nnK .12 nK 所所以以上上式式：因因為為,)(KXDi )(1 11 )(11 12211 niiniiniiXDnXEnXnP 1)1lim)(11lim211 nKXEnXnPnniiniin（1lim, 1 PPn即即又又由由概概率率性性質質1)(11lim11 niiniinXEnXnP推推論論視視為為切切比比雪雪夫夫不不等等式式的的該該不不等等式式可可)(1 11 )(11 12211 niiniiniiX

34、DnXEnXnP 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理3.3.依概率收斂定義依概率收斂定義：時時趨趨于于的的概概率率當當事事件件若若對對任任何何正正數數1, naXn 1lim aXPnnanXn時依概率收斂于時依概率收斂于當當則稱隨機變量則稱隨機變量 推論：推論： 存在存在:;,2, 1,)(,)(2 niXDXEii 11lim1 niinXnP設獨立隨機變量設獨立隨機變量服從同一分布服從同一分布,期望及方差期望及方差nXXX,21 則對于任何正數則對于任何正數 ，有，有代代入入即即可可，在在切切比比雪雪夫夫大大數數定定理理中中 nnXEnniXD

35、XEniiii1)(1;,2, 1,)(,)(12 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理在獨立試驗序列中在獨立試驗序列中,設事件設事件 A 的概率的概率P(A) = = p， . 1)(lim pAfPnn定理定理3(3(伯努利定理）伯努利定理）按概率收斂于事件按概率收斂于事件 A 的概率的概率p.即對于任何正數即對于任何正數則事件則事件 A在在 n 次獨立試驗中發生的頻率次獨立試驗中發生的頻率fn(A),當試驗次數當試驗次數時，時， n , 有有證證設隨機變量設隨機變量 Xi 表示事件表示事件A 在第在第 i 次試驗中發生的次數次試驗中發生的次數(i

36、=1,2, ,n, ),則這些隨機變量相互獨立，服從相同的則這些隨機變量相互獨立，服從相同的0-10-1分布，分布，且有數學期望與方差：且有數學期望與方差：, 2 , 1,)(,)(nipqXDpXEii 由切比雪夫定理的推論即得由切比雪夫定理的推論即得11lim1pXnPniin)(11AfnmXnnnii 而而 niiX1就是事件就是事件A在在n次試驗中發生的次數次試驗中發生的次數m，由此可知，由此可知 . 1)(lim pAfPnn 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理五、中心極限定理五、中心極限定理1.1.背景背景：大數定理告訴我們，隨機變量個

37、數很大時，獨立隨大數定理告訴我們，隨機變量個數很大時，獨立隨機變量之和收斂于其均值的和。此時，獨立隨機變量之和的機變量之和收斂于其均值的和。此時，獨立隨機變量之和的標準變量的概率分布應是什么狀態？中心極限定理告訴我們，標準變量的概率分布應是什么狀態？中心極限定理告訴我們，變量個數很大時，和的分布依概率收斂于標準正態分布。變量個數很大時，和的分布依概率收斂于標準正態分布。設隨機變量之和為設隨機變量之和為: ,1 niinXY且數學期望和方差都存在：且數學期望和方差都存在： , ,.2()()01,2,iiiiE X D Xin 設隨機變量設隨機變量 ,21nXXX相互獨立相互獨立, )(nYE(

38、)nD Y則則,1nii=21 nii=.n2s1()1()()nnnniii=nnY - E YZX - sD Y則和的標準變量為：則和的標準變量為：2.2.中心極限定理變量的設定中心極限定理變量的設定 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理服從相同的分布，服從相同的分布，并且有數學期望和方差：并且有數學期望和方差： ., 2 , 1, 0)(,)(2 niXDXEii則當則當 時，時，n,21lim212ztniindteznnXP (z 為任意實數為任意實數) 設獨立隨機變量設獨立隨機變量 ,21nXXX它們和的極限分布是正態分布，即它們和的極限分

39、布是正態分布，即需要熟練地記住：所以，它的條件和結論經常出現在考試題中，中心極限定理行詳細解說，但是列維該定理的證明我們不進1)(, 0)( nnZDZE即即正態分布時就會服從標準當個變量和的標準變量則定的條件，個獨立隨機變量滿足一要中心極限定理指出，只nYYEYznnnnn)()( 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理112=nii=XnxnxnPnnn 121()nii =PxXx ) 1 , 0()()(,) 1 (121NnnXYYEYznXXXnniinnnn 即：量服從標準正態分布：時，它們的和的標準變存在，就說明，期望方差只要滿足獨立，同分布個隨機變量dtezZPzFzt 2221)()( 即即：)()()(12221212zzdtezZzPzzt )()()(1221zznnxZnnxP 第四章第四章 正態分布、大數定律與中心極限定理正態分布、大數定律與中心極限定理各次實驗中發生的概率為各次實驗中發生的概率為，10 pp棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理n 次實驗中發生的次數次實驗中發生的次數, 則有則有ztnndteznpqnpYP，2221lim 其中其中z 是任何實數，是任何實數，. 1 qp設在獨立實驗序列中設在獨立實驗序列中,事件事件A 在在nY隨機變量隨機變量 表示事件表