1、代數(shù)精度插值求積及復(fù)化公式代數(shù)精度插值求積及復(fù)化公式第一頁，共37頁。1.1 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 定積分I=ab f (x)dx在幾何上為x=a, x=b, y=0和y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù)f (x)，在區(qū)間a, b 內(nèi)至少存在一點，使：)()()( fabdxxfIba也就是說,曲邊梯形的面積I 恰好等于底為b-a, 高為f ()的規(guī)則圖形矩形的面積(圖7-1), f ()為曲邊梯形的平均高度,然而點的具體位置一般是不知道的,因此難以準確地求出f ()的值。但是,由此可以得到這

2、樣的啟發(fā),只要能對平均高度f ()提供一種近似算法,便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。 圖圖7-1 )(xfy )(f如用兩端點的函數(shù)值f (a)與f (b)取算術(shù)平均值作為平均高度f ()的近似值,這樣可導(dǎo)出求積公式： 第二頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-3更一般地在區(qū)間a, b 上適當選取某些點xk (k=0,1,n), 然后用f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示f (),這樣得到一般的求積公式： 1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI其中其中,點點xk 稱為求積節(jié)點稱為求積節(jié)點,系數(shù)系數(shù)Ak 稱為求積系數(shù)，稱為求積系數(shù)，Ak 僅僅與節(jié)點僅僅與節(jié)點xk 的選取有關(guān)

3、的選取有關(guān),而不依賴于被積函數(shù)而不依賴于被積函數(shù)f (x)的具體形式。的具體形式。 ( )( ( )( ) 2 , ( )() 22bababaIf x dxf af bababIf x dxba f梯形公式取中矩形公式另一方面定積分的定義，另一方面定積分的定義，0 00( )lim()kk nnbkkaMaxxkIf x dxf xx 其中xk是a, b 的每一個分割小區(qū)間的長度,它與f (x)無關(guān),去掉極限,由此得到近似計算公式： nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()(第三頁，共37頁。 因此，式（因此，式（7-1）可作為一般的求積公式）可作為一般的求積公式,其特點是

4、將積分問題歸結(jié)其特點是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算為函數(shù)值的計算,從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難的困難,適合于函數(shù)給出時計算積分適合于函數(shù)給出時計算積分,也非常便于設(shè)計算法也非常便于設(shè)計算法,便于上機計便于上機計算。算。 求積公式（求積公式（7-1）的截斷誤差為：）的截斷誤差為： 0( )( )()nbnnkkakR fRIIf x dxA f x Rn也稱為也稱為積分余項積分余項.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度 如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于m的多項式都精確成立的多項式都精確成立，而至少對一個，而至少

5、對一個m +1次多項式不精確成，則稱該公式具有次多項式不精確成，則稱該公式具有m次次代數(shù)精度。代數(shù)精度。 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義1容易得到下面定理。 數(shù)值積分是一種近似計算數(shù)值積分是一種近似計算,但其中有的公式能對較多的函數(shù)準確但其中有的公式能對較多的函數(shù)準確成立成立,而有的只對較少的函數(shù)準確成立。為了反映數(shù)值積分公式的準而有的只對較少的函數(shù)準確成立。為了反映數(shù)值積分公式的準確差別確差別,引入代數(shù)精度的概念。引入代數(shù)精度的概念。 第四頁，共37頁。試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。 例例1 22 22 223322 2 ,( )

6、1,1d,(11),.21( ),d(),()222. 1( ),d(),(),32,.1,bababafxbaxbabababafxxx xbaabbafxxxxbaabx解對 于 梯 形 公 式 當時左 端右 端此 時 公 式 精 確 成 立當時 左 端右 端公 式 也 精 確 成 立當時 左 端右 端此 時 左 端右 端 即 公 式 對不 精 確 成 立故 由 定 理 知 梯 形 公 式.的 代 數(shù) 精 度 為 一 次定理定理1 一個求積公式具有一個求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對對 1,x,x2,xm 精確成立，而對精確成立，而對

7、xm+1不精確成立。不精確成立。 第五頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-6 上述過程表明上述過程表明,可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式. 如如,對于求積公式（對于求積公式（7-1）,若事先選定一組求積節(jié)點若事先選定一組求積節(jié)點xk (k=0,1,n,), xk可以可以選為等距點選為等距點,也可以選為非等距點也可以選為非等距點,令公式對令公式對f(x)=1,x,xn 精確成立精確成立,即得即得：2)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn 這是關(guān)于這是關(guān)于A0、A1、An的線性方程組

8、的線性方程組,系數(shù)行列式為范德蒙行列系數(shù)行列式為范德蒙行列式式,其值不等于零其值不等于零,故方程組存在唯一的一組解。故方程組存在唯一的一組解。 求解方程組求解方程組(7-2)確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak,這樣所得到的求積公式這樣所得到的求積公式(7-1)至少具有至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 第六頁，共37頁。例例2 確定求積公式確定求積公式 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 解：求積公式中含有三個待定參數(shù)解：求積公式中含有三個待定參數(shù),可假定近似式（可假定近似式（7-3）的代數(shù)精度）的代數(shù)精度為為m =2,則當則當f (x)=1，x，x2時，式（時，式（7-3）應(yīng)準

9、確成立，即有：）應(yīng)準確成立，即有：代回去可得代回去可得： ) 37()() 0()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh) 47()(3) 0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfba 檢查（檢查（7-4）對）對 m = 3 是否成立是否成立,為此為此,令令 f(x)=x3 代入（代入（7-4）,此時此時左邊左邊 ,3)(333右邊hhhh第七頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-8),(3)(344hhhh 右邊左邊再檢查（再檢查（7-4）對）對m=4是否成立是否成立,令令f(x)=x4代入代入(7-

10、4),此時此時:因此近似式（因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為）的代數(shù)精度為m=3.由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計式，只能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準確程度。上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。第八頁，共37頁。1.3 插值型求積公式插值型求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點a x0 x1 xn-1xn b，且已知f (x) 在這些節(jié)點上的函數(shù)值，則可求 得f (x)的拉格朗日插值多項式： nkkknxlxfxL0)()()(其中其中l(wèi)k(x) 為為n次插值基函數(shù)。取次插值基函數(shù)。取f (x) Ln(x)，則有：，則有： nkkbak

11、bankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d)(d)(記：記：5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(則有：則有：這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱為插值型求積公式. 根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：其中其中 a,b 與與x有關(guān)有關(guān).6)-(7 d)()!1()(d )()( 0) 1( bankknbannnxxxnfxxLxfIIR第九頁，共37頁。關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精

12、度，有如下定理。 具有具有n +1個節(jié)點的數(shù)值求積公式（個節(jié)點的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積公式的充）是插值型求積公式的充分必要條件是該公式至少具有分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。定理2說明,當求積公式（7-1）選定求積節(jié)點xk后,確定求積系數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程 組（7-2）或者計算積分（7-5）,即利用n次代數(shù)精度或插值型積分來確定求積系數(shù). 由此得到的求積公式都是插值型的,其代數(shù)精度均不小于n次. 0( )() (7-1)nbkknakIf x dxA f xI 證：證：(充分性充分性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7-1）至少具有）至少具有n次代

13、數(shù)精度次代數(shù)精度,那么那么,由于由于插值基函數(shù)插值基函數(shù) li(x) (i=0,1,n)均是次數(shù)為均是次數(shù)為n的多項式的多項式,故式（故式（7-1）對）對li(x)精精確成立確成立,即即: ( d niikk ikik 0biia1ki)l ( x)l ( x )A l ( x )A0(ki)l ( x) xA(i0,1,n)71由于滿足： 所以：故：所以，求積公式是插值型的。 第十頁，共37頁。 (必要性必要性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7-1）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于n的的多項式多項式f (x)，按（，按（7-6）其求積余項）其求積余項Rn = 0，即

14、這時插值型求積公式是精，即這時插值型求積公式是精確成立的。由定義確成立的。由定義1,n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精次代數(shù)精度。（證畢）度。（證畢）例例3考察求積公式：考察求積公式： 111f ( x )dx( f ( 1)2 f (0 )f (1)2具有幾次代數(shù)精度具有幾次代數(shù)精度. 次代數(shù)精度。所以此求積公式具有一右邊左邊時當右邊左邊時當右邊公式左邊時檢查當解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfxxxxfxxf 注：注：n+1個節(jié)點的求積公

15、式不一定具有個節(jié)點的求積公式不一定具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度.其原因是此求積其原因是此求積公式不一定是插值型的。公式不一定是插值型的。 例：例：第十一頁，共37頁。2 牛頓一柯特斯牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式公式 本節(jié)介紹節(jié)點等距分布時的插值型求積公式，即牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。 2.1 牛頓一柯特斯（牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式 設(shè)將積分區(qū)間a, b 劃分為n等分,步長h=(b-a)/n,求積節(jié)點取為xk = a+kh(k=0,1,n),由此構(gòu)造插值型求積公式,則其求積系數(shù)為: 0nn 0 0j 0j 0j kj k( )dd (0

16、,1,)( 1):d()d (0,1,)!()!引引入入變變換換則則有有nbbjkkaajkjjknknnkxxAlxxxknxathxxtjbaAhttjtknkjnknk 記：記：7)-(7 ), 1 , 0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求積公式則,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxfCabI第十二頁，共37頁。稱之為稱之為n階牛頓一柯特斯（階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式簡記為簡記為N-C公式公式， 稱稱 為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)

17、f (x) 和積和積分區(qū)間分區(qū)間a, b 無關(guān)，且為多項式積分，其值可以事先求出備用。無關(guān)，且為多項式積分，其值可以事先求出備用。表表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。中給了了部分柯特斯系數(shù)。 )(nkC柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù) 表表7-1 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/8 1

18、 4 1 ), 1 ,0( )(nkBACknknABk第十三頁，共37頁。經(jīng)計算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對應(yīng)的牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。 當當n =1時時,按公式（按公式（7-7）有：）有： 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC得求積公式得求積公式：9)-(7 )()(2)()(10) 1 (1TbfafabxfCabIkkk即即梯形公式梯形公式 0122 2(2)0 01 2(2)1 01 2(2)2 0,(77):2( 1)1(1)(2)2 0! 2!6( 1)4(2)2 1! 1!6( 1)1(2)2 1! 1

19、!6abxa xxbCttdtCt tdtCt tdt 相相應(yīng)應(yīng)的的節(jié)節(jié)點點按按公公式式當當n =2時時第十四頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-15相應(yīng)的求積公式：相應(yīng)的求積公式：10)-(7 )(24)(62SbfbafafabI稱為稱為辛卜生辛卜生(Simpson)公式公式. 4 4( 4 )0 03 4( 4 )1 02 4( 4 )2 01 4( 4 )3 0( 4 )4(1)7(1)(2)(3)(4)40! 4!90(1)32(2)(3)(4),4 1! 3!90(1)12(1)(3)(4)42! 2!90(1)32(1)(2)(4),43! 1!90(1CttttdtCt t

20、ttdtCt tttdtCt tttdtC，0 4 0)7(1)(2)(3)44! 0!90t tttdt當當n=4時，所得的公式稱作時，所得的公式稱作柯特斯公式柯特斯公式，它有五個節(jié)點，其系數(shù)：，它有五個節(jié)點，其系數(shù)：第十五頁，共37頁。所以柯特斯公式是所以柯特斯公式是：11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC (0,1,2,3,4), 4其其中中kbaxakh kh 柯特斯系數(shù)的性質(zhì)柯特斯系數(shù)的性質(zhì)1、與積分區(qū)間無關(guān)與積分區(qū)間無關(guān):當當n確定后確定后,其系數(shù)和都等于其系數(shù)和都等于1,即即 10)(nknkC2、對稱性對稱性：)()(nkn

21、nkCC此特性由表此特性由表7-1很容易看出，對一般情況可以證明。很容易看出，對一般情況可以證明。(略略) 3、柯特斯系數(shù)并不永遠都是正的。表7-1看出當n = 8時,出現(xiàn)了負系數(shù),在實際計算中將使舍入誤差增大,并且往往難以估計, 從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證,因此實際計算中不用高階的。 第十六頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-17102100N -C1 !1 !nnbnjajnnxathnnjfRxxdxnhftjdtnn+1個 節(jié) 點 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 :第十七頁，共37頁。第七章 數(shù)值積分與微分7-182n階階Newton-Cotes公式至

22、少具有公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 我們知道，由n次插值多項式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公式至少具有n次代數(shù)精度. 由于節(jié)點等距，更進一步有以下結(jié)論：定理證：計算知由證：計算知由2n次插值多項式導(dǎo)出的求積公式次插值多項式導(dǎo)出的求積公式 的截斷誤差為的截斷誤差為0即可即可.31.NCnn定理 實際上是說,n+1個節(jié)點的公式的代數(shù)精度 為偶時為 222221200222122200222222-N-C21 !,=14=0nnnnnjnnnnnjnnnhRftjdtnfxxRhtj dthx xxxndx2n+1個 節(jié) 點 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 :取第十八頁，共37頁

23、。例例4驗證辛卜生(Simpson)公式: )()2(4)(6bfbafafabS具有三次代數(shù)精度。（定理具有三次代數(shù)精度。（定理3直接得到）直接得到）解：由定理解：由定理2, 3個節(jié)點的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精個節(jié)點的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度度,因此只需檢查對因此只需檢查對f (x)=x3成立否。當成立否。當f (x)=x3時：時： 4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而所以I = S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式準確

24、成立，用同樣的方法可以驗證對于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達到三次。 在幾種低階N-C公式中, 感興趣的是梯形公式（最簡單,最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。第十九頁，共37頁。例例5解：解：由由梯形公式（梯形公式（7-9）： 由由辛卜生公式（辛卜生公式（7-10）得：得：由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得：2449787. 011179 . 011328 . 011127 . 011326 . 0117906 . 0122222CI事實上，事實上，積分的積分的精確值精確值：24497866.0d1116.01 6.0 2arctgxxxI 與之相比

25、可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差最差,只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字。 分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算積分：1 6.0 2d11xxI2449546. 01118 . 01146 . 01166 . 01222 SI2470588.01116 .01126 .0122 TI第二十頁，共37頁。2.2 幾種低價幾種低價N-C求積公式的余項求積公式的余項 n考察梯形公式考察梯形公式,按按N-c的

26、截斷誤差知的截斷誤差知,梯形公式（梯形公式（7-9） 的余項的余項： 3 1 0()()()d2!=() (1)dt2!bTafRITxaxbxbaft t這里被積函數(shù)中的因子t(t1)在區(qū)間0, 1 上不變號（非正），故由積分中值定理，在0, 1 內(nèi)至少存在一點，使： 3 13 0( )( )=(1)dt=() , , (7-12)2!12TbaffRt tbaa b2. 對于辛卜生公式對于辛卜生公式, (4) 2 54(4)(4)( )()() ()d4!2()( )=( ) ( , ) (7-13)18022880bSafabRxaxxbxbababaffa b 第二十一頁，共37頁。需

27、要注意的是，關(guān)于牛頓-科特斯公式的收斂性，可以證明，并非對一切連續(xù)函數(shù)f (x),都有： , 也就是說牛頓柯特斯公式的收斂性沒有保證。當n趨于無窮時，它的穩(wěn)定性也沒有保證，因此，在實際計算中，一般不采用高階(n 8) 的牛頓-柯特斯公式。0limnnR3. 柯特斯公式（6-10）的余項為)147(, ),(4945)(2)6(6bafababCIRC第二十二頁，共37頁。在實際計算中常用前面三種低價N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當n 8時，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用

28、高階的公式。事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必然會提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式。為提高精度，當增加求積節(jié)點時，考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 第二十三頁，共37頁。3.1 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式用分段線性插值函數(shù)來近似被積函數(shù),等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積,即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值.這樣求得的近似值顯然比整區(qū)間上用梯形公式計算精度高。 a,bnddk 1kkkk 1n 1n-1bxkk 1axk 0k 0ba,h,xakh(k

29、0,1,n).n x ,x(k0,1,n1),hf ( x ) xf ( x ) x f ( x )f ( x)2將積分區(qū)間等分 記在每個小區(qū)間上用梯形公式并求和 得15)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得式（式（7-15）稱為）稱為復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式。第二十四頁，共37頁。因為f (x) 在a, b 連續(xù)，由介值定理，存在(a, b)，使得： 10)(1)(nkkfnf從而有：從而有：16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT 這就是這就是復(fù)化梯形公式的截斷誤差復(fù)化梯形公式的截斷誤差. ba

30、nkknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截斷誤差為上在小區(qū)間如果第二十五頁，共37頁。3.2 復(fù)化復(fù)化Simpson公式和復(fù)化公式和復(fù)化Cotes公式公式 如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式。 22222222221 22122 1 0221 , ,(0,1,2 ),2,:( )d()4()()3( )d( )d()4()(6kkkkkkkkxkkkxnbxaxkkka b

31、nxakh knbahxxxnSimpsonhfxxfxfxfxfxxfxxhfxfxfx將 區(qū) 間分 成 2 等 分 分 點 為小 區(qū) 間的 中 點 為用公 式 求 積 分 則 有求 和 得 ：12201121201)( )4()2()( )3nkknnkkkkhfafxfxf b第二十六頁，共37頁。如果f (x)C(4)a, b,由式（7-13）可得復(fù)化Simpson公式的截斷誤差為：11 221 005(4)2221()( )d( )( )2()4()32() ,2880nnbSkkakknkkkkkhRff xxf af bf xf xhfxx整理得：整理得：式（式（7-17）稱為）

32、稱為復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式。 11 221 10( )d ( )( )2()4() (7-17)3nnbkknakkhf xxf af bf xf xS因為因為f (4)(x) 連續(xù)，故存在連續(xù)，故存在 (a, b)，使得：，使得：4(4)()( ) ( , ) (7-18)180SbaRfh fa b (4)(4)11( )()nkkffn第二十七頁，共37頁。若用復(fù)化求積公式計算積分若用復(fù)化求積公式計算積分:的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？ 1 0 dexIx解解 因為當因為當0 x1時有時有0.3e-1e-x1于是

33、：于是： 1de3 .01 0 xx要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字,即要求誤差不超過即要求誤差不超過10-4 / 2.又因為又因為:422102112)(121 hfhRT 1 , 0 1e)()(xxfxk由復(fù)化梯形公式誤差估計式：由復(fù)化梯形公式誤差估計式： 式（式（7-18）表明）表明,步長步長h越小越小,截斷誤差越小截斷誤差越小.與復(fù)化梯形公式的分析相與復(fù)化梯形公式的分析相類似類似,可以證明可以證明,當當n 時時,用復(fù)化用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于公式所求得的近似值收斂于積分值積分值,而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性.4(4)()( )

34、( , ) (7-18)180SbaRfh fa b 第二十八頁，共37頁。 例子的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復(fù)化例子的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復(fù)化Simpson公式所需公式所需的計算量比復(fù)化梯形公式少，這也說明了復(fù)化的計算量比復(fù)化梯形公式少，這也說明了復(fù)化Simpson公式的精度較高，公式的精度較高，實際計算時多采用復(fù)化實際計算時多采用復(fù)化Simpson公式。公式。 復(fù)化求積方法又稱為定步長方法。復(fù)化求積公式,根據(jù)預(yù)先給定的精度能估計出合適的步長或 n,進而確定對積分區(qū)間的等分數(shù),如同例7一樣. 然而當被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計式給出合適的步長，就要估計被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的

35、上界值，而這一點是相當困難的。8 .40106142nn即：因此若用復(fù)化梯形公式求積分因此若用復(fù)化梯形公式求積分,n應(yīng)等于應(yīng)等于41即即41等分才能達到精度等分才能達到精度.若用復(fù)化若用復(fù)化Simpson公式公式,由式（由式（7-18） 44)4(41021180)(180hfhRS即得即得n 1.6.故應(yīng)取故應(yīng)取n = 2即即4等分等分. h=1/nh=1/2n第二十九頁，共37頁。復(fù)化Cotes公式 將區(qū)間將區(qū)間a, b分成分成n 等分等分,分點為：分點為：nabhnkkhaxk ),1 ,0(在每個小區(qū)間：在每個小區(qū)間：,1kkxx上，共五個點：1434241,kkkkkxxxxx19)

36、-(7 )(7)(14)(32)(12)(32)(79010114/31010424/1 nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)(2)()6(6bafhabCIfRnc第三十頁，共37頁。881125, 0,1342.01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhfhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取時當故：所以由于1 0 sindxxxI要使截斷誤差