1、1.若對于函數(shù)若對于函數(shù) f(x) 定義域內(nèi)任意一個定義域內(nèi)任意一個 x, 都有都有 f(- -x)=f(x), 則則稱稱 f(x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù). 一、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性2.若對于函數(shù)若對于函數(shù) f(x) 定義域內(nèi)任意一個定義域內(nèi)任意一個 x, 都有都有 f(- -x)=- -f(x), 則則稱稱 f(x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù). 二、簡單性質(zhì)二、簡單性質(zhì) 研究半個區(qū)間！研究半個區(qū)間！1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點原點對稱對稱, 偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸軸對稱對稱.反之成立！反之成立！2.單調(diào)性單調(diào)性:3.奇函數(shù)奇函數(shù): f(0)=0( (0 在定義域中在

2、定義域中) ), 偶函數(shù)偶函數(shù): f(x)=f(|x|). 3.若若函數(shù)函數(shù) f(x) 不具有上述性質(zhì)不具有上述性質(zhì), 則則稱稱 f(x) 不具有奇偶性不具有奇偶性; 若若函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì), 則則 f(x) 既是奇函數(shù)既是奇函數(shù), 又是偶函數(shù)又是偶函數(shù).例例: 函數(shù)函數(shù) f(x)=0( (xD, D關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱) )是是既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù). 三、三、函數(shù)奇偶性的判定方法函數(shù)奇偶性的判定方法 1.根據(jù)定義判定根據(jù)定義判定:首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱原點對稱, 若不對稱若不對稱, 則函則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)數(shù)是非奇非

3、偶函數(shù); 若對稱若對稱, 再判定再判定 f(- -x)=f(x) 或或 f(- -x)=- -f(x). 2.利用定理利用定理, 借助函數(shù)的圖象判定借助函數(shù)的圖象判定: 3.性質(zhì)法判定性質(zhì)法判定: 在公共定義域內(nèi)在公共定義域內(nèi),兩奇函數(shù)之積兩奇函數(shù)之積( (商商) )為偶函數(shù)為偶函數(shù);兩偶函數(shù)之積兩偶函數(shù)之積( (商商) )也為偶函數(shù)也為偶函數(shù); 一奇一偶函數(shù)之積一奇一偶函數(shù)之積( (商商) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). ( (注意取商時分母不為零注意取商時分母不為零!)!) 有時判定有時判定 f(- -x)=f(x) 比較困難比較困難, 可考慮判定可考慮判定 f(- -x) f(x)=0或判定或判定

4、 = 1. f(x) f(- -x) 四、函數(shù)的周期性四、函數(shù)的周期性 如果存在一個非零常數(shù)如果存在一個非零常數(shù) T, 使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意 x,都有都有 f(x+T)=f(x), 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x) 為為周期函數(shù)周期函數(shù), T 為函數(shù)的一個周為函數(shù)的一個周期期. 若若f(x)的周期中的周期中, 存在一個最小的正數(shù)存在一個最小的正數(shù), 則稱它為函數(shù)的則稱它為函數(shù)的最小最小正周期正周期.五、典型例題五、典型例題1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) 若周期函數(shù)若周期函

5、數(shù) f(x) 的最小正周期為的最小正周期為 T, 則則 f( x)( 0) 也為周也為周期函數(shù)期函數(shù), 且最小正周期為且最小正周期為 . | | T (1) f(x)= ; 2x (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (3) f(x)=log2( 1- -x2 + x2- -1 +1); (4) f(x)=(1- -x) ; 1- -x 1+x 奇函數(shù)奇函數(shù) (5) f(x)= ; |x+3|- -3 lg(1- -x2) 偶函數(shù)偶函數(shù) (6) f(x)=x( + ). 3x- -1 1 12 2.(1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域關(guān)于原點對稱的定義域關(guān)于原點對稱,

6、判斷下列函數(shù)的奇判斷下列函數(shù)的奇偶性偶性: F(x)= f(x)+f(- -x); G(x)= f(x)- -f(- -x); 1212(2)試將函數(shù)試將函數(shù) y=2x 表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和. 3.設(shè)設(shè)f(x)與與g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù), 若若f(x)- -g(x)=( )x, 比比12較較 f(1)、g(0)、g(- -2) 的大小的大小. 4.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域關(guān)于原點對稱的定義域關(guān)于原點對稱, 且滿足且滿足: 存在正常存在正常數(shù)數(shù) a, 使使 f(a)=1; f(x1- - x2)= . 求證求證: (1

7、) f(x) 是奇函是奇函數(shù)數(shù); (2) f(x) 是周期函數(shù)是周期函數(shù), 并且有一個周期為并且有一個周期為 4a.f(x1)f(x2)+1 f(x2)- -f(x1) f(1)g(0)g(- -2) 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) y= (2x- -2- -x)+ (2x+2- -x) 1212g(x)=- - (2- -x+2x). 12f(x)= (2- -x- -2x), 12f(a+x)=1- - , f(x)+1 2f(2a+x)=- - , f(x) 1f(4a+x)=f(x). 5.已知已知 f(x) 是定義在是定義在 R 上的函數(shù)上的函數(shù), 且對于任意的且對于任意的 a, bR

8、都滿足都滿足: f(a+b)+f(a- -b)=2f(a)f(b) 且且 f(0) 0. (1)求證求證: f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù); (2)若存在正數(shù)若存在正數(shù) m, 使使 f(m)=0, 求滿足求滿足 f(x+T)=f(x) 的一個的一個 T(T 0)的值的值.(1)f(0)=1, f(- -b)=f(b), (2)考慮考慮 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m). 1.設(shè)設(shè) f(x)( (xR) )是以是以 3 為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù), 且且 f(1)1, f(2)=a, 則則( ) A. a2 B. a1 D. a0 時的表達式為時的表達式為 f(x)=2x - - ,

9、 則當則當 x0 B. f(x)0 C. f(x)+f(- -x)0 課堂練習 3.函數(shù)函數(shù) f(x)= 的奇偶性是的奇偶性是( ) A.奇函數(shù)奇函數(shù) B.偶函數(shù)偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)|x- -2| 4- -x2 D B C 4.已知已知 y=f(x- -1) 是偶函數(shù)是偶函數(shù), 則則 y=f(x) 的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于( ) A.直線直線 x+1=0 對稱對稱 B.直線直線 x- -1=0 對稱對稱 C.直線直線 x- - =0 對稱對稱 D. y 軸對稱軸對稱 12A 5.奇函數(shù)奇函數(shù) f(x) 在在 3, 7 上是增函數(shù)上是增函

10、數(shù), 在在 3, 6 上的最大值為上的最大值為 8,最小值為最小值為 - -1, 則則 2f(- -6)+f(- -3) 的值為的值為( ) A. 5 B. - -5 C. - -13 D. - -15 6.奇函數(shù)奇函數(shù) f(x) 在在-1, 0 上是減函數(shù)上是減函數(shù), , 是銳角三角形的兩是銳角三角形的兩個內(nèi)角個內(nèi)角, 且且 , 則下列不等式中正確的是則下列不等式中正確的是( ) A. f(cos )f(cos ) B. f(sin )f(sin ) C. f(cos )f(cos ) D. f(sin )f(cos )D D 7.已知已知 f(x) 的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x=a 對

11、稱對稱, 又關(guān)于點又關(guān)于點 (m, n) 對稱對稱, 其中其中 m a. 求證求證 f(x) 是以是以 4(a- -m) 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).證證: 由已知由已知, f(x)=f(2a- -x), 且且 f(x)+f(2m- -x)=2n, f4(a- -m)+x=f2a- -(4m- -2a- -x)=f(4m- -2a- -x)=f2m- -(2a+x- -2m)=2n- -f(2m- -x)=f(x).f(x) 是以是以 4(a- -m) 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). =2n- -f(2a+x- -2m)=2n- -f2a- -(2m- -x) 5.已知定義在已知定義在 R 上的函數(shù)上的函數(shù) y=f(x) 滿足滿足 f(2+x)=f(2- -x), 且且 f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù), 當當 x 0, 2 時時, f(x)=2x- -1, 求求 x - -4, 0 時時 f(x) 的表的表達式達式. 6.已知已知 f(x) 是定義在是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的且