1、第三講第三講 導數及求導法則導數及求導法則 1 1 導數概念導數概念定義定義1 1：處的導數處的導數在在0)(xxfy 00000000)()(lim )()(limlim)(0 xxxfxfxxxxxfxxfxyxfxxxx ).()(,:)(,)(, 000000 xydxxdfdxdyyxxfxxfxxxxxx 或或處導數也記作處導數也記作在在處可導處可導在在則稱則稱若上式右端極限存在若上式右端極限存在定義定義2 2：:.,)(,)()(lim)(,)(0其中其中簡稱為導數簡稱為導數的導函數的導函數稱它為稱它為上定義了一個函數上定義了一個函數則上式在則上式在與之對應與之對應有有即即上每一

2、點都可導上每一點都可導在區間在區間若若xfIxxfxxfxfIxIxfx .)(,)(dxxdfydxdyxf或或也記作也記作 定義定義3 3：.)()(lim)( ;)()(lim)( )(000000000 xxxfxfxfxxxfxfxfxxfxxxx 右導數右導數處的左導數處的左導數在點在點定理定理1 1：.)(),()(,)(0000存在且相等存在且相等存在存在即即處可導處可導在在xfxfxfxxf 例例1 1、.0)(處的導數處的導數在在求求 xxf.)()2( ; 0 00 1sin)()1(2xxfxxxxxf 例例2 2、)0 , 0( )2( )1 , 0( )1(. 過下

3、列點的切線和法線過下列點的切線和法線求求xey )(:000 xxxfyy 切線方程切線方程)()(1:000 xxxfyy 法線方程法線方程定理定理2 2：.)()(00反之不真反之不真連續連續在在則則可導可導在在若若xxf，xxf連續不一定可導的例子：連續不一定可導的例子：.0)()2(;0)()1(3連續但不可導連續但不可導在在連續但不可導連續但不可導在在 xxxfxxxf如圖：如圖：xxoyxy oy3xy 練練 習習 題題).()0()(,)(,)0()3( ; 0)()2( ; 1)0()1( :)().()()( ,)0)(. 2).0(, 211)(lim,0)(. 10 xf

4、fxfxffxffxfyfxfyxfyxxffxxfxxfx 且且也存在也存在則則存在存在若若具有以下性質具有以下性質試證試證滿足關系式滿足關系式對于任意實數對于任意實數設函數設函數求求且且的鄰域連續的鄰域連續在在設設2 2 四則運算求導法則四則運算求導法則定理定理1 1：).0)( )()()()()()()()4();( )()3();()()()( )()()2();()( )()()1(:,)(),(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxuCxCuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxxvxu則則可導可導在點在點若若推論：推論：.)(2();()( )()()1(wuvwvuvwu

5、uvwxvxuxvxu 例例3 3、求導數。、求導數。xxeyxxyxxxyxxyx 1cos)4( sin1cos)3(lncos)2( )1()1(33 3 復合函數求導法則復合函數求導法則定理定理2 2：).()(,)(,)()(,)(xufuyydxdududydxdyxxfyxuuufyxxuxux 或或且且可導可導在點在點則復合函數則復合函數可導可導在對應點在對應點可導可導在點在點若若例例4 4、求導數。、求導數。xxyeyxaryxyyxyxx 11arctan)6( )5(sinh)4( 2tanln)3(2)2( sin)1(1sincos222例例5 5、求冪指函數的導數。

6、、求冪指函數的導數。xxxyxy1sin)(cos)2( )1( 例例6 6、求抽象函數的導數。、求抽象函數的導數。. )()(,)2(;)(,)1(22)(xgxfygfeefyfxfx 可導可導可導可導4 4 高階導數高階導數.)(),(,)()()( 2222dxxfddxydxfyxfxfyxfy或或記作記作的二階導數的二階導數的導數為的導數為的導數的導數稱稱 .)(),(,)()1()( )()(nnnnnndxxfddxydxfynxfnxfy或或記作記作階導數階導數的的階導數的導數為階導數的導數為的的稱稱 例例7 7、求二階導數。、求二階導數。xxygtharctan)1()2(

7、 21)1(22 例例8 8、導出下列函數的、導出下列函數的n階導數。階導數。)()1()6( cos)5(sin)4( )1ln()3()2( )1(Nxyxyxyxyxeyeyxx 定理定理3 3：( (Leibniz公式公式) ) nkkknknnvuCuvnxvxu0)()()(.)(,)(),(則則階可導階可導設設例例9 9、.sin)2( )1( :22)(xeyexyyxxn 求求例例1010、.3211)2( cossin)1( :244)(xxyxxyyn 求求練練 習習 題題)(cos)(sin)4( )(ln)(ln)3()29(9(2005()2( )()2()1(.,

8、)(. 122xfxfyxfxfyxfffyxffyyxfx 求求可導可導設設).(0 00 )1ln()(. 222xfxxxxfx 的導數的導數求函數求函數5 5 隱函數的導數隱函數的導數 顯函數：顯函數：;)1ln(,122等等如如xxyxy 隱函數：隱函數：., 0sin22等等如如ayxyxy ., 0)(,(,)(:.)(0),(即可即可解出解出求導求導兩邊對兩邊對則則代入方程代入方程將將現求其導數現求其導數稱為隱函數稱為隱函數所確定的函數所確定的函數由二元函數由二元函數yxxyxFxyyxyyyxF 例例1111、.y 求求).0(,1)2();10( 0sin)1(yxeyyxyxy 并求并求 例例1212、.y 求求).0(,1)2(;arctanln)1(22yxeyxyyxy 并求并求例例1313、用對數求導法求下列函數的導數。、用對數求導法求下列函數的導數。343225sin)4()3()2)(1()4( 11)3()1()2( )1( xxxxyxxxyxxyyxxxy6 6 參數式的導數參數式的導數.,),()()(22dxyddxdyxyytyytxx求求確定確定設設 .)2(;)1(