1、12 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布常見的離散型隨機變量及其分布常見的離散型隨機變量及其分布小結小結2022-3-222若隨機變量若隨機變量 X 可能取值的個數為可能取值的個數為有限個有限個或或 可列個可列個，則稱，則稱 X 為為離散隨機變量離散隨機變量. .若隨機變量若隨機變量 X 的可能取值的可能取值充滿充滿某個區間，則稱某個區間，則稱 X 為為連續隨連續隨機變量機變量. .如取到的次品個數，收到的呼叫次數等為離散隨機變量；如取到的次品個數，收到的呼叫次數等為離散隨機變量； 而電視機的壽命則為連續隨機變量而電視機的壽命則為連續隨機變量. .兩類隨機變量兩

2、類隨機變量2022-3-223 設離散隨機變量設離散隨機變量 X X 的可能取值為：的可能取值為：x1，x2，xk， X x1 x2 xk P p1 p2 pk 分布律也可用表格形式表示：分布律也可用表格形式表示：,1,2,kkP Xxp k為為X的的分布律.一、離散型隨機變量及其分布一、離散型隨機變量及其分布2022-3-224分布律的基本性質分布律的基本性質 (1) (2), 2 , 1, 0 kpk(正則性正則性)(非負性非負性)11 kkp2022-3-225 設設X是一個離散型隨機變量，它可能取的是一個離散型隨機變量，它可能取的值是值是 x1, x2 , 。 為了描述隨機變量為了描述

3、隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨，我們不僅需要知道隨機變量機變量X的取值，而且還應知道的取值，而且還應知道X取每個值的概率。取每個值的概率。例例1從盒中任取從盒中任取3 球球, 記記X為取到白球數。為取到白球數。則則X是一隨機變量。是一隨機變量。X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3列表法列表法公式法公式法2 , 1 , 0,)(35233 kCCCkXPkk2022-3-226例例2. 某籃球運動員投中籃圈概率是某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次，求他兩次獨立投籃，投中次數獨立投籃，投中次數X的概率分布。的概率分布。解：解： X可取可取0、1、2為值為值 P(X =0)=(0.1

4、)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1X 0 1 2P 0.01 0.18 0.812022-3-227練習練習1： 已知已知 X 的分布律如下：的分布律如下：X 1 2 3 4P 1/2 1/4 1/8 a答案：答案：433)2(81)1( XPa練習練習2 甲、乙、丙三人對同一目標各自獨立進行射甲、乙、丙三人對同一目標各自獨立進行射 擊擊, 每人射擊一次，各人擊中目標的概率依次為每人射擊一次，各人擊中目標的概率依次為 0.7，0.6，0.5,求

5、目標被擊中次數求目標被擊中次數X的分布律的分布律.求求（1 1）a; （2 2）PX3 . .2022-3-228設隨機變量設隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值兩個值 , 它的分它的分布律為布律為二、常見的離散型隨機變量的概率分布二、常見的離散型隨機變量的概率分布1.1.（0-10-1）分布分布Xkp0p 11p則稱則稱 X 服從服從 (0-1) 分布分布或或兩點分布兩點分布.記為記為Xb(1,p)2022-3-229實例實例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗,觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機變量隨機變量 X 服從服從 (0-1) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面當

6、當 e.反面反面當當 eXkp012121其分布律為其分布律為2022-3-2210 兩點分布是最簡單的一種分布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有任何一個只有兩種可能結果的隨機現象兩種可能結果的隨機現象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發芽等女、明天是否下雨、種籽是否發芽等, 都屬于兩點都屬于兩點分布分布.說明說明2022-3-2211引例引例1 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p, 生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4個嬰兒中個嬰兒中“男孩男孩”的個數。的個數。我們來求我們來求X的概率分布。的概率分布。

7、2.二項分布二項分布2022-3-22124 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44 kppCkXPkkkX的概率分布是：的概率分布是：男男 女女X表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男孩的個數，個嬰兒中男孩的個數，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.2022-3-2213引例引例2 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰子拋擲3次，令次，令X 表示表示3 3次中出次中出現現“4”4”點的次數。點的次數。3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33 kCkXPkkk不難求得，不難求得，X的概率分布是：的概率分布是：2

8、022-3-2214 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 一般地，一般地，設在一次試驗中只考慮兩個互逆的結果設在一次試驗中只考慮兩個互逆的結果，或者形象地把兩個互逆結果叫做或者形象地把兩個互逆結果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”。 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產品：抽驗產品：“是正品是正品”，“是次品是次品”再設重復地進行再設重復地進行n次獨立試驗次獨立試驗 ( ( “重復重復”是指這是指這次試驗中各次試驗條件相同次試驗中各次試驗條件相同 ) )2022-3-2215 這樣的這樣的n次獨立重復試驗稱作次獨立重復試驗稱作n重貝努里試驗，

9、重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或簡稱貝努里試驗或貝努里概型貝努里概型. . 每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率都是都是q=1-=1-p. .注注: 貝努里概型對試驗結果有下述要求：貝努里概型對試驗結果有下述要求：（1）每次試驗條件相同；）每次試驗條件相同；A（3）各次試驗相互獨立。）各次試驗相互獨立。（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果）每次試驗只考慮兩個互逆結果 且且P(A)=p ， ； pAP 1)(2022-3-2216若若X的分布律為：的分布律為：則則nkqpCkXPknkkn0,1,2, 稱隨機變量稱隨機變量X X服從參數為服從參數為n,pn,p的的二項

10、分布二項分布。記為記為 (,)Xb np, ,其中其中q q1 1p p二項分布二項分布1 n兩點分布兩點分布 二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現重貝努里試驗中出現“成功成功”次數次數X的概率分布的概率分布.2022-3-2217二項分布的圖形二項分布的圖形2022-3-2218例例1 在相同條件下相互獨立地進行在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊次射擊,每每次射擊時擊中目標的概率為次射擊時擊中目標的概率為 0.6 ,則擊中目標的次則擊中目標的次數數 X 服從服從 b (5,0.6) 的二項分布的二項分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 .

11、025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp0123452022-3-2219?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一級品的概率是多少一級品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件問問只只現在從中隨機地抽查現在從中隨機地抽查品率為品率為級級已知某一大批產品的一已知某一大批產品的一小時的為一級品小時的為一級品用壽命超過用壽命超過某種型號電子元件的使某種型號電子元件的使按規定按規定 kk分析分析 這是不放回抽樣這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數很大但由于這批元件的總數很大, 且且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又很小抽查元件的數量相

12、對于元件的總數來說又很小,因而此抽樣因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理可近似當作放回抽樣來處理.2020,重重伯伯努努利利試試驗驗只只元元件件相相當當于于做做檢檢查查試試驗驗否否為為一一級級品品看看成成是是一一次次把把檢檢查查一一只只元元件件看看它它是是例例22022-3-2220解解,20 只只元元件件中中一一級級品品的的只只數數記記以以 X (20, 0.2),Xb則因此所求概率為因此所求概率為.,).().(201080202020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP0

13、55. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP時時當當11,001. 0 kkXP2022-3-2221圖示概率分布圖示概率分布2022-3-2222.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨獨立立射射擊擊設設每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進進行行射射擊擊解解,X設擊中的次數為設擊中的次數為 (400,0.02).Xb則的的分分布布律律為為X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1

14、 .9972. 0 例例32022-3-22233. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!, 2, 1, 0 XXkkekXPk記記為為泊泊松松分分布布的的服服從從參參數數為為則則稱稱是是常常數數其其中中值值的的概概率率為為而而取取各各個個的的值值為為設設隨隨機機變變量量所所有有可可能能取取2022-3-2224泊松分布的圖形泊松分布的圖形2022-3-2225泊松分布的背景及應用泊松分布的背景及應用二十世紀初羅瑟福和蓋克兩位科學家在觀察二十世紀初羅瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的與分析放射性物質放出的 粒子個數的情況時粒子個數的情況時, ,他們做了他們做了

15、2608 2608 次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5 7.5 秒秒) )發現發現放射性物質在規定的一段時間內放射性物質在規定的一段時間內, , 其放射的粒子其放射的粒子數數X X 服從泊松分布服從泊松分布. . 2022-3-2226地震地震 在生物學在生物學、醫學醫學、工業統計、保險科學及工業統計、保險科學及公用事業的排隊等問題中公用事業的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發、特大洪水、交換臺的電例如地震、火山爆發、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數等話呼喚次數等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.火山爆發火山爆發特大洪水特大洪水2022-3-2227

16、電話呼喚次數電話呼喚次數交通事故次數交通事故次數商場接待的顧客數商場接待的顧客數 在生物學在生物學、醫學醫學、工業統計、保險科學及工業統計、保險科學及公用事業的排隊等問題中公用事業的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發、特大洪水、交換臺的電例如地震、火山爆發、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數等話呼喚次數等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.2022-3-2228二項分布二項分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我們提到上面我們提到2022-3-2229 設設1000 輛車通過輛車通過,出事故的次出事故的次數為數為 X , 則則可利用泊松定理計可利用泊

17、松定理計算算, 1 . 00001. 01000 所求概率所求概率為為99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 11 . 0!011 . 01 . 0 ee解解2 XP1012 XPXPXP(1000,0.0001),Xb例例 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設每設每輛汽車輛汽車,在一天的某段時間內出事故的概率在一天的某段時間內出事故的概率0.0001,在每天的該段時間內有在每天的該段時間內有1000 輛汽車通過輛汽車通過,問出事故問出事故的次數不小于的次數不小于2的概率是多少的概率是多少?2022-3-2230二項分布二項分布泊松分布泊松分布1010.p,n 兩點分布兩點分布1 n三、小結三、小結1、離散型隨機變量的分布、離散型隨機變量的分布2022-3-2231).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni參數為參數為服從二項分布服從二項分