1、2-62-6函數的極大（小）值與最大（?。┲岛瘮档臉O大（?。┲蹬c最大（?。┲?)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一個個極極小小值值是是函函數數就就稱稱均均成成立立外外除除了了點點任任何何點點對對于于這這鄰鄰域域內內的的的的一一個個鄰鄰域域如如果果存存在在著著點點的的一一個個極極大大值值是是函函數數就就稱稱均均成成立立外外除除了了點點任任何何點點對對于于這這鄰鄰域域內內的的的的一一個個鄰鄰域域如如果果存存在在著著點點內內的的一一個個點點是是內內有有定定義義在在區區間間設設函函數數xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義

2、函數的極大值與極小值統稱為函數的極大值與極小值統稱為極值極值,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.1.函數極大（?。┲登蠓ê瘮禈O大（?。┲登蠓╫xyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x局部最大（?。┲迭c（極值點）局部最大（?。┲迭c（極值點） 設設)(xf在點在點0 x處具有導數處具有導數, ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的的駐駐點點做做函函數數叫叫的的實實根根即即方方程程使使導導數數為為零零的的點點xfxf 注意注意:.,)(是極值點是極值

3、點但函數的駐點卻不一定但函數的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數可導函數xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值. .( (3 3) )如如果果當當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf符符號號相相

4、同同, ,則則)(xf在在0 x處處無無極極值值. .判別法判別法1(1(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)設設 是可能的極值點，是可能的極值點，0 xxyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數求導數(2) 求臨界點即（駐點和不可導點）(3)( ),;fx檢查在臨界點左右的正負號 判斷極值點.)4(求極值求極值(不是極值點情形不是極值點情形)例例解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數求出函數 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時時當當xfx 時時，當當2 x; 0)( xf時

5、時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點點連連續續但但函函數數xfM 設設)(xf在在0 x處處具具有有二二階階導導數數, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )當當0)(0 xf時時, , 函函數數)(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值; ;( (2 2) )當當0)(0 xf時時, , 函函數數)(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值. .判別法判別法2(2(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 00()()fxxfxx故由保號性與異號，時，時

6、，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數函數)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).220000()()()()()2fxf xhf xfx hho h2200()()()2fxf xho h22000()()()()2fxf xhf xho h220212 ()( ()2o hfxhh000()()()hf xhf xfx當 很小時與同號證明2例例2 2解解.20243)(23的的極極值值求求出出函函數數 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐

7、駐點點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下3、最大（?。┲档那蠓?、最大（?。┲档那蠓╫xyoxybaoxyabab只要函數只要函數f(x)在閉區間在閉區間a,b上連續，它在上連續，它在a,b上必有最大值和最小值。上必有最大值和最小值。步驟步驟1.求臨界點（駐點和不可導點）求臨界點（駐點和不可導點）;2.求區間端點及臨界點的函數值求區間端點及臨界點的函數值,比較大小比較大小,那那個大那個就是最大值個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值那個

8、小那個就是最小值;注意注意: :如果區間內只有一個極值如果區間內只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例1：求：求 在在-1,4上的最值，上的最值，32)5()(xxxf 解：解： f (x)在在-1,4上連續，上連續，33)2(5)( xxxf x=0處處f (x)不存在，不存在，x=2為為f (x)的駐點，的駐點，, 0)0( f,43)2(3 f, 6)1( f.16)4(3 f經比較知：經比較知：f (x)的最大值為的最大值為f(0)=0，最小值為，最小值為f (-1)= -6。解解,0000)( xxexxxexfxx 000)(xxe

9、exxxeexfxxxx不不可可導導令令f (x)=0, 得得 x =1，, 01| )()1(1 xxxxxeeef x=1為極大值點，極大值為極大值點，極大值f(1) 在在(-1，0)內，內， f (x)0;例例2 求求 的極值，并求其在的極值，并求其在-1,1上的最值。上的最值。xexxf |)( x=0為極小值點，極小值為極小值點，極小值 f (0)=0. 0)0(,)1(,0)0()1(,)1(1 feffefef最最小小值值得得最最大大值值比比較較與與又又實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意: :(1)建立目標函數建立目標函數;(2)求最值求最值;小小）值值值值即即為為所所求求

10、的的最最（或或最最點點，則則該該點點的的函函數數若若目目標標函函數數只只有有唯唯一一駐駐例例1 1某房地產公司有某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定套公寓要出租，當租金定為每月為每月180元時，公寓會全部租出去當租元時，公寓會全部租出去當租金每月增加金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費而租出去的房子每月需花費20元的整修維護元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？費試問房租定為多少可獲得最大收入？解解 設房租為每月設房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR

11、)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時收入最高元時收入最高.最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 例例2 2形形面面積積最最大大所所圍圍成成的的三三角角及及線線處處的的切切線線與與直直使使曲曲線線在在該該點點上上求求一一點點，曲曲邊邊成成一一個個曲曲邊邊三三角角形形，在在圍圍及及拋拋物物線線，由由直直線線808022 xyxyxyxy解解如圖如圖,),(00yxP設設所所求求切切點點為為為為則切

12、線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41020 xxS解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .274096)316(為為極極大大值值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角形中面積的故故 s經整理得：經整理得：)25632(4102030 xxxS因此，因此，niinxxxxxxxxxf1222221)()()()()(niixxxf1)(2)(0

13、)( xf得駐點niixnx1102)( nxfniixx12)(為最小niixnx11例例4 4 討論方程討論方程 lnx=kx(klnx=kx(k不等不等0)0)有幾個根有幾個根？(P128)解：f(x)=lnx-kx f (x)=1/x k=0 x=1/k K0 (0,1/k) f(x)0 (1/k,) f(x) k=1/e只有一個根x=1/k=e 2）f(1/k)=-lnk-1 k1/e 無根。 3）f(1/k)=-lnk-10 = 0k1/e有兩個根, 位于（0，1/k),(1/k,+ )；0lim( )xf x 4) k0 至少有一個根位于（0，1) f (x)=1/x k0 所以

14、有唯一的一個根lnlim( )lim(),xxxf xxkx 公公里里5 . 0(1)建立敵我相距函數關系建立敵我相距函數關系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發起處發起為我軍從為我軍從設設Bt敵我相距函數敵我相距函數22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值點的最小值點求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分分鐘鐘射射擊擊最最好好處處發發起起追追擊擊后后故故得得我我警警從從B例例5罪犯乘汽車從河北岸罪犯乘汽車從河北岸A處以處以1千米

15、千米/分鐘速度向正北逃竄，分鐘速度向正北逃竄，警車從河南岸警車從河南岸B處向正東追擊，速度為處向正東追擊，速度為2千米千米/分鐘問警車分鐘問警車車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？解解例例6 某人正處在森林地帶中距公路某人正處在森林地帶中距公路2公里的公里的A處，在公路右方處，在公路右方8公公里處有一個車站里處有一個車站B，假定此人在森林地帶中每步行的速度為，假定此人在森林地帶中每步行的速度為6公里公里/小時，沿公路行走的速度為小時，沿公路行走的速度為8公里公里/小時，為了近快趕到車站，他小時，為了近快趕到車站，他選擇選擇ACB，問，問C應在公路右方多少？他

16、最快能在多少時間內應在公路右方多少？他最快能在多少時間內到達到達B？解：設解：設C點在公路右方點在公路右方x 公里處（公里處（0 x8），則），則,42 xACxCB 8行走時間為行走時間為8864)(2xxxT 32434( )244xxT xxACBox唯一駐點唯一駐點 , 0)( xT760 x22. 11271)(0 xT37. 16/68)8(,33. 13/4)0( TT)(0 xT為最小值，為最小值，C點應在公路右方點應在公路右方 公里處。公里處。7762.: 2ln(1)xarctgxx例 求證2:( )2ln(1)f xxarctgxx證 令22( )20,01fxxx又是極

17、小點).1ln(22xxarctgx 即即證明不等式：( )20,0fxarctgxx得唯一駐點(0)0.( )0,ff x是最小值例證明(P124) ( )(01)(0,)f xxx在區間最大值f(1)=1-并證明不等式1111(0,0,0,0,1)pqabababpqpqpq12( )0,( )(1)0(01)fxxfxxx 唯一駐點x =1 (0,)在區間最大值f(1)=1-1,pqapxb111()(1)1qppqpqafaba bfbppq ()pqafb1qpqpaba bp11pqababpq兩端同乘 bq 得思考與練習思考與練習(L. P500 題4)1. 設, 1)()()(lim2axafxfax則在點 a 處( ).)()(xfA的導數存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值 ;)()(xfC取得極小值;)()(xfD的導數不存在.B提示提示: 利用極限的保號性 .2. 設)(xf在0 x的某鄰域內連續, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點0 x處).()(xf(A) 不可導 ;(B) 可導, 且;0)0( f(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示提示: 利用極限的保號性 .3. 設)(xfy