1、線性代數(shù)習(xí)題和答案第一局部 選擇題 (共28分)一、 單項(xiàng)選擇題本大題共14小題，每題2分，共28分在每題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式=m，=n，那么行列式等于 A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，那么A *中位于1，2的元素是 A. 6B. 6 C. 2D. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，那么必有 A. A =0B. BC時A=0 C. A0時B=CD. |A|0時B=C5.3×4矩陣A

2、的行向量組線性無關(guān)，那么秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.設(shè)兩個向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，那么 A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩為r，那么A中 A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組

3、，1，2是其任意2個解，那么以下結(jié)論錯誤的選項(xiàng)是 A.1+2是Ax=0的一個解B.1+2是Ax=b的一個解 C.1-2是Ax=0的一個解D.21-2是Ax=b的一個解9.設(shè)n階方陣A不可逆，那么必有 A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個n(3)階方陣，以下陳述中正確的選項(xiàng)是 A.如存在數(shù)和向量使A=，那么是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如1，2，3是A的3個互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，那么1，2

4、，3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，那么必有 A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.設(shè)A是正交矩陣，那么以下結(jié)論錯誤的選項(xiàng)是 A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行列向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.那么 A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣的為 A.B. C.D.第二局部 非選擇題共72分二、填空題本大題共10小題，每題2分，共20分不寫解答過程，將正確的答案寫在每題的

5、空格內(nèi)。錯填或不填均無分。15. .16.設(shè)A=，B=.那么A+2B= .17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式i,j=1,2,3,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量2，-3，5與向量-4，6，a線性相關(guān)，那么a= .19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，假設(shè)1，2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，那么它的通解為 .20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，那么齊次線性方程組Ax=

6、0的一個根底解系中含有解的個數(shù)為 .21.設(shè)向量、的長度依次為2和3，那么向量+與-的內(nèi)積+，-= .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個特征值-1和4，那么另一特征值為 .23.設(shè)矩陣A=，=是它的一個特征向量，那么所對應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，那么其標(biāo)準(zhǔn)形為 .三、計算題本大題共7小題，每題6分，共42分25.設(shè)A=，B=.求1ABT；2|4A|.26.試計算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；假設(shè)是，那么求出

7、組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：1秩A；2A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題本大題共2小題，每題5分，共10分32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，1，2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個根底解系.試證明11=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； 20，1，2線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題本大題共14小題，每題2分，共28分1.D2.B

8、3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題本大題共10空，每空2分，共20分15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c為任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計算題本大題共7小題，每題6分，共42分25.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·-2=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為2，1，1.解二 考慮4=

9、x11+x22+x33，即 方程組有唯一解2，1，1T，組合系數(shù)為2，1，1.29.解 對矩陣A施行初等行變換A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是30.解 A的屬于特征值=1的2個線性無關(guān)的特征向量為1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得1=，2=.=-8的一個特征向量為3=，經(jīng)單位化得3=所求正交矩陣為 T=.對角矩陣 D=也可取T=.31.解 f(x1，x2，x3)=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.設(shè)， 即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32 .四、證明題本大題共2小題，每題5分，共10分32.證 由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2 .33.證 由假設(shè)A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1