1、2020年北京高考數學模擬試題一、選擇題(1)已知復數z=2+i,則zZ()(A)73(B)娓(C)3(2)已知集合A=x|T<x<2,B=x|x>1,貝UAuB=()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-1,+8)(3)下列函數中，在區間(0,+)上單調遞增的是()1(A)vY5(B)y=2x(C)y10g父yx2(4) y=yx2x11og2(4x2)的定義域是()A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0U(1,2)C.(-2,0)U1,2)D.-2,0U1,2(D)5(D)(1,+8)/、1(D)yx在平面直角坐標系xOy中，以點(0,1)為圓心且與直線x-by

2、+2b+1=0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為()A.x2+(y1)2=4B.x2+(y1)2=2C.x2+(y1)2=8D.x2+(y1)2=16兀(6)若函數f(x)=sincox(w>0)在區間0,§上單調遞增，在區間兀兀，32上單倜遞減，則3=()A.3B.2C.D.(7)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是()A.3D.8C.6(8)已知f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)單調遞增，f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為()A.x|0<x<1或x>2B.x|x<

3、0或x>2C.x|x<0或x>3D.x|xv1或x>122(9)“k<9”是“方程會不十4=1表示雙曲線”的()25kk9A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件(10)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為()A6升B.8升C.10升D.12升二、填空題(11)設雙曲線，一，=1(a>0,b>0

4、)的虛軸長為2,焦距為273,則雙曲線的漸近線方程為(12)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+b與a2b共線，則m的值為(13)O為坐標原點，F為拋物線C:y24cx的焦點，P為C上一點，若|PF|4J2,則POF的面積為.(14)設ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若bc2a,3sinA5sinB,則角0=1、ccX,x>0,_(15)已知函數f(x)=2若f(2a2)>f(|a|),則實數a的取值范圍是2x-x2,x<0,三、解答題(16)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的

5、位置，且PFXBF.(I)證明：平面PEF，平面ABFD;(n)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.(17)已知等差數列an滿足aa210,a4a32.(i)求an的通項公式；(n)設等比數列bn滿足b2a3，b3a7,問：生與數列小的第幾項相等?了四種商品的情況，整(18)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、理成如下統計表，其中表示購買，“x”表示未購買.商顧壽品客、人數、甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX(I)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(n)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3中商品的概率；(出)如果顧客購買了甲

6、，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大?(19)設橢圓孑十笆=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的離心率為當，點A的坐標為(b,0),且|FB|AB|=6乖.(I)求橢圓的方程.(II)設直線l：y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P,且l與直線AB交于點Q,"AQI52右前=-1sin/AOQ（O為原點），求k的值.IPQI4(20)已知函數f(x)=ex-ax2.(1)若2=1,證明：當x>0時，f(x)>1；(n)若f(x)在(0,+oo)只有一個零點，求a.)設nCN*,對1,2,，n的一個排列1血in,如果當s

7、vt時，有is>it,則稱(is,it)是排列i1i2in的一個逆序，排列i1i2in的所有逆序的總個數稱為其逆序數.例如：對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數為2.記fn(k)為1,2,，n的所有排列中逆序數為k的全部排列的個數.(1)求£3(2),f4(2)的值；(n)求fn(2)(n>5)的表達式(用n表示).答案、選擇題題號12345答案DCACB題號678910答案CCAAB、填空題11、y=72x12、213、2V314、215、(-1,1)三、解答題16、解：(1)證明：由已知可得BF±PF,BFX

8、EF,又PFAEF=F,所以BF，平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEF，平面ABFD.(2)如圖，作PHXEF,垂足為H.由(1)得，PH，平面ABFD.以H為坐標原點，HF,HP的方向分別為y軸，z軸正方向，|BF|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.由(1)可得，DELPE.又DP=2,DE=1,所以pe=V3.又PF=1,EF=2,所以PEXPF.33所以PH=彳,EH=2.一33一則H(0,0,0),P0,0,D-1,20,涼=1,3能=0,0,乎.又而為平面ABFD的法向量，設DP與平面ABFD所成角為0,、3二L皿|HPDPI4J3則sin0=1、=.&g

9、t;>3i34IHP|DP|3所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為4.17、(i)設等差數列an的公差為d.因為a4a32,所以d2.又因為現a210,所以2ald10,故214.所以an42(n1)2n2(n1,2,).(n)設等比數列bn的公比為q.因為b2a38,bsa716,所以q2,b,4.所以b64261128.由1282n2,得n63.18、(I)從統計表可以看出，在這所以b6與數列an的第63項相等.1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為2000.2.1000(n)從統計表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客

10、同時購買了甲、丙、丁,2種商品.所以顧客在甲、另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為曲2000.3.1000(ID)與(I)同理，可得:顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為2000.2,1000100200300八八0.6,顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為1000100八.0.1,1000所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大第6頁共8頁解：(1)設橢圓的焦距為2c,C25由已知有-2-=又由a2=b2+c2,可得2a=3b.a29由已知可得|FB|=a,|AB|='b,又|

11、FB|AB|=6/2,可得ab=6.聯立解得a=3,b=2.，x2v2所以橢圓的方程為x-+y=i.94(2)設點P的坐標為(xi,yi),點Q的坐標為(x2,y2).由已知有yi>y2>0,故|PQ|sinVAOQ=yiy2.又因為|AQ|=/n,而/0AB,所以|AQ|=2y2.,|AQ|52，一一由號sin/AOQ,可得5yi=9y2.|PQ|4y=kx,6k由方程組x2y2消去x,可得yi=.§+4=i：9k2+4易知直線AB的方程為x+y2=0,y=kx,2k由方程組消去x,可得丫2=上.x+y2=0k+i由5yi=9y2,可得5(k+i)=3y9k2+4,兩邊

12、平方，整理得56k2-50k+ii=0,解得k=3或k=.228一一i,ii所以k的值為i或器22820、解：(i)證明：當a=i時，f(x)>i等價于(x2+i)exiw0.設函數g(x)=(x2+i)ex-1,則g'(x)=(x22x+i)ex=(xi)2ex.當xwi時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調遞減.而g(0)=0,故當x>0時，g(x)<0,即f(x)>i.(2)設函數h(x)=i-ax2ex.f(x)在(0,+8)上只有一個零點等價于h(x)在(0,+8)上只有一個零點.(i)當aW0時，h(x)>0,h(x

13、)沒有零點；(ii)當a>0時,h'(x)=ax(x2)ex.當xC(0,2)時，h'(x)<0;當xC(2,+8)時，h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增.故h(2)=1笠是h(x)在(0,+8)上的最小值.當當2h(2)>0,即ave時,4e<,h(2)=0,即a=4時,h(x)在(0,+8)上沒有零點.h(x)在(0,+8)上只有一個零點.當2h(2)<0,即a>e時,4因為h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一個零點.由(1)知，當x>0時，ex>x2,所以h(4

14、a)=1-16ae4aI316a316a31拓-=1-F>1-丁=1-a>。，故h(x)在(2,4a)上有一個零點.因此h(x)在(0,+8)上有兩個零點.e2綜上，當f(x)在(0,+8)上只有一個零點時，a=z.21、解：記abc)為排列abc的逆序數，對1,2,3的所有排列，有123)=0,132)=1,<213)=1,<231)=2,<312)=2,321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.對1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)對一般的n(n>4)的情形，逆序數為0的排列只有一個：12n,所以fn(0)=1.逆序數為1的排列只能是將排列12n中的任意相鄰兩個數字調換位置得