1、12第五章 大數定律和中心極限定理 關鍵詞：契比雪夫不等式大數定律中心極限定理31 大數定律背景 本章的大數定律，對第一章中提出的 “頻率穩定性”，給出理論上的論證為了證明大數定理，先介紹一個重要不等式4222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ：設隨機變量 具有數學期望方差 則對于任意都有：定理的為：等價形式 ,f x證明： 僅就X為連續型時證之 設X的概率密度為 xP Xf x dx則 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f x5 例1：在n重貝努里試驗中，若已知每次試驗事件A 出現的概率為0.75，試利用契比雪夫不等式

2、估 計n,使A出現的頻率在0.74至0.76之間的概率不 小于0.90。nA解：設在 重貝努里試驗中，事件 出現的次數為X，,0.75b n則X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn而20.187510.01nn 187510.90n 18750n6 隨機變量序列依概率收斂的定義 1235.1,0,0,nnnX Xlim P XXpn 。定義：設隨機變量序列X若存在某常數 ， 使得均有： 則稱隨機變量序列依概率收斂于常數 ， 記為：X7122115.2,101limlim1nnnkknnknnkXXnYXnPY

3、PXn 定 理契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 設 隨 機 變 量 序 列 X相 互 獨 立 ， 且 具 有 相 同 的 數 學 期 望和 相 同 的 方 差， 作 前個 隨 機 變 量 的 算 術 平 均 ： 則， 有 ： 111,nnkkE YEXnnn證明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn8大數定律的重要意義：貝努里大數定律建立了在大量重復獨立試驗中事件出現頻率的穩定性，正因為這種穩定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數定律還提供了通過試驗來確定事件概率的方法，既然

4、頻率nA/n與概率p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗確定某事件發生的頻率并把它作為相應的概率估計，這種方法即是在第7章將要介紹的參數估計法，參數估計的重要理論基礎之一就是大數定理。5.3 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理貝努里大數定理 設事件 在每次試驗中發生的概率為 ，記為 次獨立重復試驗 中 發生的次數 則有：,Anb n p證明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEE nnppnnn20,1AnpqPpnn 于是，有2211AAnpqDD nnpqnnnn1Annlim Ppn即得：92 中心極限定理背景： 有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立 的隨機變量

5、的綜合影響所形成的，而其中每 個個別的因素作用都很小，這種隨機變量往 往服從或近似服從正態分布，或者說它的極 限分布是正態分布，中心極限定理正是從數 學上論證了這一現象，它在長達兩個世紀的 時期內曾是概率論研究的中心課題。 105.4 定理獨立同分布的中心極限定理2110,1 .(,),()()().nniinYNN nnbnanP aXbnn nii此定理表明，當 充分大時，近似服從即：X （近似）從而，1X nii=1思考題：X 的近似n分布是什么？2( ,)Nn答案：2122112,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXE XD XiXnnYnXnxRlim P Yxlim P

6、xedtn 設隨機變量X相互獨立同分布，則前 個變量的和的標準化變量為：有： 證明略。115.5 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由定理1 0 iiAiA第 次試驗時 發生證明：令X第 次試驗時 未發生 2201 ,1,lim,(1)2AtbAnannAP Appnnpa bP abedtnpp設為 次貝努里試驗中 發生的次數，則對任何區間，有：12, (1, ).nXXbpi則X相互獨立同分布,X12,AnnXXX由于() (,(1).N np nppA即:n近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 12 例2：設

7、某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指 數分布，現隨機取得16只，設它們的壽命是相互 獨立的,求這16只元件的壽命的總和大于1920小 時的概率。121616,XX解：記只電器元件的壽命分別為X16116iiX則只電器元件的壽命總和為X,2100,100iiE XD X由題設16116 10016000,14 100400iiXXN根據獨立同分布的中心極限定理: Y近似服從 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 13 例3：某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加，每人每年交200元,若老人在該年內死亡，公司付給受益人1萬元。設老年人死亡率為0.01

8、7，試求保險公司在一年內這項保險虧本的概率。200P X,10000,0.017b n pnp解：設X為一年中投保老人的死亡數，則X由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考題：求保險公司至少盈利萬元的概率。答案： 0.93714 例4：設某工廠有400臺同類機器，各臺機器發生故障的概 率都是0.02，各臺機器工作是相互獨立的，試求機 器出故障的臺數不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：設機器出故

9、障的臺數為X 則X，分別用三種方法計算：1. 用二項分布計算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似計算400 0.028 21011 0.0003350.0026840.9969npP XP XP X 查表得3. 用正態分布近似計算15第六章 數理統計的基本概念關鍵詞： 總 體 個 體 樣 本 統 計 量 2分布t 分布F 分布16引言：數理統計學數理統計學是一門關于數據收集、整理、分析 和推斷的科學。在概率論中已經知道，由于大量的隨機試驗中各種結果的出現必然呈現它的規律性，因而從理論上講只要對隨機現象進行足夠多次觀察，各

10、種結果的規律性一定能清楚地呈現，但是實際上所允許的觀察永遠是有限的，甚至是少量的。例如：若規定燈泡壽命低于1000小時者為次品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗是破壞性試驗，不可能把整批燈泡逐一檢測，只能抽取一部分燈泡作為樣本進行檢驗，以樣本的信息來推斷總體的信息，這是數理統計學研究的問題之一。171 總體和樣本總體：研究對象的全體。如一批燈泡。個體：組成總體的每個元素。如某個燈泡。抽樣：從總體X中抽取有限個個體對總體進行觀察的取值過程。隨機樣本：隨機抽取的n個個體的集合(X1,X2,Xn), n為樣本容量簡單隨機樣本：滿足以下兩個條件的隨機樣本(X1,X2,Xn)稱 為簡單隨機樣本。1. 每

11、個Xi與X同分布2. X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量說明：后面提到的樣本均指簡單隨機樣本，由概率論知，若總體X 具有概率密度f(x)， 則樣本（X1,X2,Xn）具有聯合密度函數： 121,nnniifx xxf x18統計量：樣本的不含任何未知參數的函數。常用統計量：設（X1,X2,Xn）為取自總體X的樣本 221231232123323121, 1 X 2 X2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXX 思考題：(一)設在總體中抽取樣本其中 已知，未知 指出在中哪些是統計量，哪些不是統計量， 為什么？111. XniiXn樣本均值1113. 1,2,1 () 1,2,n

12、kkiinkkiikAXknkBXXkn樣本矩階矩：階中心矩：22112. () ,1niiSXXSn樣本方差為樣本標準差222,.,(),()()_,()_,()_.nXXXE XD XE XD XE S1（二）設X是總體 的樣本，若，則答：只有(4)不是統計量。2n219 隨機變量獨立性的兩個定理 1121111211122111126., , 1,2, , ,1 ,iiiknninnknnnkknnnYgXXYgXXXXnygxxxxRikknnngXnkYX設X是相互獨立的 個隨機變量， 定 又設是 個連續函數， 且有則 個隨機變量： 是相互 理： 獨立的。11111111111,1,

13、2, ,6,2,. titntntnn tin ititXXXXit nXXXX設 個隨機變量是相互獨立的， 又設對每一個個隨機變量X是相互獨立的， 定理：隨機變量X是相互 則獨立的。202 常用的分布 12222221,0,1 1,2, 11nnniiiXXXNinnn設隨機變量X相互獨立，X 則稱 服從自由度為 的， 定 指式右端包含分布記為自的獨立變度義：由量的個數 2212101 02 22 0 6 0.3nynxyeynfynyxe dx分布的概率密度為： 其理中定：2分布x( )f x010n 1n 4n 2分布的概率密度函數21 2分布的一些重要性質： 22221. ,2nEn

14、Dn設則有22211221212122. ,YnYnY YYYnn設且相互獨立，則有22分布的可加性性質 稱為，可推廣到有限個的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn設且相互獨立，則 22222,01,nnfdynynn為分布的上 分對給定的概率稱滿足條件的點上 分位數的值可查位數分布表 2n02分布的分位數x( )f x22 2212222122223451, , ,1() )(2) ( ),nniiNXXXXXbXXXk 1例：設總體X已知。是取自總體X的樣本 求(1)統計量 的分布； （2）設n=5,若a(X 則a,b,k各為多少？ 1,2,iiXYin解：(1)作變換

15、 12,0,1 1,2,niY YYYNin顯然相互獨立，且 22211()nniiiiXYn2于是 22212122()(2)(0,2),(1)2XXXXN2223453452(2)2(0,6),(1)6XXXXXXN123452223451222(2)()(2)26XXXXXXXXXX與2相互獨立，故221,21,62.abk23 20,1 ,NYnXTntTtYnY n設X并且X相互獨立， 服從自由度為 的 分布，記 則稱隨變量為機定義： , 01,tnf t n dttnt ntt對給定的稱滿足條件的點為分布的上。 分布的上 分位數可位數查分分布表t分布 1212226.4 ,1, n

16、nntt nf t ntnn 定理：分布的概率密度為： tn f xx0t分布的分位數10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函數1( )( )tntn 24 221211212212, ,/,/nYnYX nFn nFFF n nY nnn設X且X獨立， 則稱隨機變量服定義：從自由度的 分布，記為 其中 稱為第一自由度，稱為第二自由度F分布 12121222121212122122121110 ,1 0, ;, 0 6., 05 1nnnnnnnbF n nn nxnn xxBf x n nxabB a bxxdx分定理：布的概率密度為： 其中ab 11221( ,),(

17、,)FF n nFF n n性質：則25121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 對于給定的稱滿足條件的點為分布的上 分位數。的值可查 分布表0 x12 f x21,20nn 225n 210n F分布的密度函數0 x12,Fn n( )f xF分布的分位數111221( ,)(,)Fn nF n n26z,0,1 ,01XNZP XZZ此外 設若滿足條件 則稱點為標準正態分布的上 分位數。1ZZ 27 正態總體樣本均值和方差的分布222122222 , 1. X,-1 2. 1 6 3. X.6 nnX XXNSNnSnS 設是總體的樣本，X

18、分別是樣定理：本均值和樣本方差，則有：和相互獨立221/11/tn XnSXnt nSn且兩者獨立，由 分布定義得：221,1 ,6.7nXXNSn Xt nS 設是總體的樣本，X和分別是樣本 均值和樣本方差，則有：定理：22216.60,1 ,1/nSXNnn證明：由定理知，281222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3 6.8 nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnXY 設樣本和分別來自總體和 并且它們相互獨立，其樣本方差分別為理：時，定則：當121212221122221221111 ,2WWWWt nnSnnnSn

19、SSSSnn其中292111222121122222212222111,111FnSnSF nnnSSn且兩者獨立，由 分布的定義，有： 22112222122212116.61 ,1nSnSnn證明： 1 由定理知，221212122212121212221212(2)6.6,(,),(,),(,)()()(0,1)XNYNnnXYXYNnnXYNnn由定理且 與 相互獨立，所以，即12120,111XYUNnn 213 222當=時，由（2）得2,且它們相互獨立 故有分布的可加性知：22112222122211 1 ,1nSnSnn又由給定條件知：6.1,UV由定理知： 與 相互獨立221

20、1222122112nSnSVnn121212122112wtXYUt nnVnnSnn于是按 分布知： 31復習思考題復習思考題 6 61.什么叫總體？什么叫簡單隨機樣本？總體X的樣本X1,X2,Xn有 哪兩個主要性質？2.什么是統計量？什么是統計量的值？3.樣本均值和樣本方差如何計算？4.N(0,1)分布,t分布,2分布和F分布的雙側、下側、上側分位點是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點的值？5.對一個正態總體的三個常用統計量及其分布是什么？6.對兩個正態總體的三個常用統計量及其分布是什么？32第七章 參數估計關鍵詞： 矩估計法 極大似然估計法 置信區間 置信度33222222 ,1

21、; , 2,xXXf xex 參數估計是統計推斷的基本問題之一，實際工作中碰到的總體它的分布類型往往是知道的，只是不知道其中的某些參數，例如：產品的質量指標 服從正態分布，其概率密度為：但參數的值未知，要求估計，有時還希望以一定的可靠性來估計 值是在某個范圍內或者不低于某個數。參數估計問題就是要求問題的提出：通過樣本估計總體分布所包含的未知參數的值。參數估計的兩種方法：點估計法和區間估計法341 參數的點估計1212,1,2,niiiniXXXikXXXi 點估計的問題就是根據樣本，對每一個未知參數，構造出一個統計量，作為參數 的估計，稱為。的估計量 點估計有兩種方法： 矩估計法和極大似然估計

22、法35 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 設總體 的分布函數為是待估計的未知參數，假定總體 的 階原點矩存在，則有：對于樣用樣本矩作為總體矩的估計，即本其 階樣本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一個矩估計量一 矩估計法：矩估計法：361210, ,nXXXXX 2222例：設總體 的均值 和方差都存在，且，均未知，是取自 的一個樣本，試求的矩估計。 112221 1()niiXAAXXn2令解：先求總體矩：22212, E XE XD XEX221211

23、11, nniiiiAXXAXnn再求樣本矩：37 1122 01 0 0 ,nXxxf xXXXX例 ：設總體 的密度為：為未知參數，其他，為取自 的樣本，求 的矩估計。 E Xxf x dx解：110 xdx1XE XX令21XX38極大似然估計法極大似然估計法 極大似然估計的原理介紹極大似然估計的原理介紹考察以下例子： 假設在一個罐中放著許多白球和黑球，并假定已經知道兩種球的數目之比是1:3，但不知道哪種顏色的球多。如果用返回抽樣方法從罐中任取n個球，則其中黑球的個數為x的概率為：若取n=3，如何通過x來估計p值先計算抽樣的可能結果x在這兩種p值之下的概率：31;, 1,44xn xnP

24、 x pp qqppx 其中由假設知，或 0 1 2 334,P xx1 649 6427 64 27 641 6427 6427 649 6414,P x二 390,0,4644644 1 932731 2,2 0,2,46446441 2 33,xPPpxxPPxpxxxp從上表看到： 取更合理；類似；,取更合理； 類似； ： 于是有40 ,; ,xp xP x p xP x pPp x極大似然原 對每個 取,使是不同于理：的另一值； 1122211 , , , ,nnininlnL x xxln f xlnLL x xxLL x xx說明 在求的最大值時，通常轉

25、稱為對數似然函換為求：數通常的最大，記為，值121212,( , ),knnXf xp xx xxXXX 設總體 的概率密度為或分布率為未知參數，為參數空間，即 的取值范圍極大似然。設是樣本的一個估計法：觀察值：1211121. 2.,( , ) ), nnniiiinL x xxf xp xL x xx 作似然函數或稱為求使 的極達到最大大似的 值，然估計量4132例 ：求矩估計部分的例 中 的極大似然估計量。 221 niinlnX的極大似然估計量為： 211111,nniinniiiiLf xxx解：似然函數 11ln2niinlnLlnx 111ln0 22niidlnLnxd令1ln

26、niinx 即： 1 01 0 Xxxf x的密度為：其他42 11 4, 0 0, , xnexXf xXXX 例 ：設總體 的概率密度為：其它其中是未知常量為 的樣本，求的矩估計與極大似然估計。 1 矩估計解： E Xxf x dx221xE Xxedx21 1()niiE XXD XXXn令D X21211() 1()niiniiXXnXXXn1xxedx22xxedx2222222E XEX43 2 極大似然估計11,inxiLe 此處不能通過求偏導數獲得 的極大似然估計量，111,niinxnLeL 另一方面，是 的增函數， 取到最大值時， 達到最大。12,inxxmin x xx故

27、 的取值范圍最大不超過111 niixinex 12110niidlnLnXXd 令 121,nXmin XXX故 1XX 11niilnLnlnX 又441250,0 ,nXx xx例 ：設總體 服從上的均勻分布，未知， 試由樣本求出 的極大似然估計和矩估計。 1 極解：大似然估計 1 0;0 xXf x因 的概率密度為：其它 121 0,0 nnx xxL故參數 的似然函數為：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L從義發以下定出求 120,innxxmax x xx因為故 的取值范圍最小為 1LnnnLxLxL又對的 是減函數， 越小， 越大，故時， 最大；012E XxdxX由

28、2 矩估計 12,LnnXmax x xx所以 的極大似然估計量為2X45,0,2 X123例6：設總體 的概率分布率為：其中未知21-3現得到樣本觀測值2，3，2，1，3，求 的矩估計與極大似然估計。 1 矩估計解：kkE Xx p E(X)=X令352223 (1 32) 2.2X 0.32 2 極大似然估計( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.446表表1 1 例例2 2，例，例4 4，例，例5 5中兩種估計方法所得結果中兩種估計方法所得結果 例例 題題 矩估計量矩估計量極大似然估計

29、量極大似然估計量 例 2 例 4 例 521211()1()niiniiXXnXXXn2X nX 11XXX221LniinlnX21XX472 估計量的評選標準 從表1看到，對總體的未知參數可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？ 通常用三條標準檢驗：無偏性無偏性，有效性有效性，相合性相合性 無偏性無偏性 ,nEliEm E若那么若則稱為估計量 的偏差漸近稱 是 的無偏估計量 12,nEXXX滿足 則稱定義是 的一若參數 的估計個無偏量：估計量。482226,XE XD XXS例 ：設總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記 證明：樣本均值 和樣本方差分別是 和的無偏估計。 12,nX

30、XXX證：因與 同分布，故有：X故 是 的無偏估計11niiE XEXn2211()1niiSXXn2211()1niiE SEXXn2211()1niiEXn Xn22211nn22S故是的無偏估計11niiE Xn1nn211()1niiEXXn111niiD XnD Xn49 752LnXX例 ：檢驗例 的矩估計量與極大似然估計量的無偏性。 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于與 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的無偏估計 LnnXX為考察的無偏性，先求的分布，5由第三章第 節知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxd

31、x LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。50 糾偏方法 1,0117,nnnnEaba babanXXXnXX如果 其中是常數，且則是 的無偏估計。在例 中，取則是 的無偏估計 無偏性是對估計量的一個最常見的重要要求，是“好”估計的標準之一。 無偏性的統計意義是指在大量重復試驗下，由所作的估計值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統誤差。51 有效性有效性 121212,DD 設是 的兩個無偏估計， 如果對一切成立 則稱：比定義有效。52 1121280, ,12, 72nXUXXXnXX nnn例 ：設總體是取自 的樣本，已知 的兩個無偏估計 為見例，判別 與哪個有效時 ？ 2

32、2142123DDXnn解： 1 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是221221 32DDnn n因為比 更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n53相合性相合性1,0, 0nnnnnXXnlim P 設為參數 的估計量， 若對于任意，當時， 依概率收斂于 ， 定義：則稱為 即的相有：成立， 合估計量或一 致估計量54 12,EE證： 11290, ,1 2nnXUXXXnXXn例 ：設總體是取自 的樣本， 證明：和是 的相合估計。0,n 由契比雪夫不等式，當時， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估計。 21,3Dn222D

33、n n222DP同理：2220n n553 區間估計 111221112,nnnXXXXXXX 點估計是由樣本求出未知參數 的一個估計值 ， 而區間估計則要由樣本給出參數 的一個估計范圍，并指出 該區間包含 的可靠程度。假設是總體 的一個樣本， 區間估計的方法是給出兩個統計量 使區間以一定的可靠程度引：蓋住言。56 置信區間置信度 1122111121121;01 , ,11 , ,1 7 1nnnnXF xXXXXPXXXX 定義：設總體 的分布函數含有一個未知參數 ，對給定的值如果有兩個統計量， 使得： 隨機區間是 的雙側置信區間 則；稱稱為置信度；和2分別稱為雙側置信下限和雙側置信上限。

34、57 單側置信區間11111 7 1, 7,1, 2,1,nnXXPXX 為 的單側置信下限在以上定義中，若將式改為：則稱隨機區間是 的置信度為單側置 的 。信區間 。2221172,1, , , 731nnXXPXX 又若將式改為：則稱隨機區間是 的置信度為 為 的的單側置信上限單。側置信區間 。58 正態總體均值方差的區間估計2 ,N 一 單個正態總體的情形2212, 1nXXXNXS 來自和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區間 21 已知時, 0,1XXNn是 的無偏估計 由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信區間為： 1-?思考題：均值 的

35、置信度的置信下限是什么呢: X-nz答案59 22 未知時1Xt nSn由 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信區間為： 0t1220t 6022. 方差的置信區間設 未知22211nSn由 22212221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區間為： 222121221-?2思考題:方差的置信度的置信上限是什么221:(n-1)S.(1)n答案61 222210,36,15. ,95 116; 2,16;X cmNcmS 例 ：設某種植物的高度服從正態分布

36、隨機選取棵 其平均高度為就以下兩種情形 求 的 雙側置信區間：未知 36,15,4nX解： 11.961.960.95P XXnn由1.96 41.961513.69336Xn得：1.96 41.961516.30736Xn13.693,16.307的置信區間為62 2 36,15,16nXS20.0250.0251 0.05SSP XtXtnn 由0.025352.0301t查表得：2.0301 42.0301 4 1513.647,1516.35366又：13.647,16.353的置信區間為 9912求置信度為 時 兩種情況下 的置信區間？ 1 13.333,16.667 2 13.18

37、4,16.815?答案：63 12比較兩種情形下 的置信區間：22,16,13.693,16.307已知置信區間：22,16,13.647,16.353S未知置信區間：, ,tX S n2但第二種情形更實用,因為多數時候,未知用 分布求 的置信區間只依賴于樣本數據及統計量區間短精度高區間長精度低64置信區間的含義：, 若反復抽樣多次 每個樣本值確定一個區間每個這樣的區間或者包含 的真值 或者不包含 的真值。見下圖10,0.05,95%0.01,99%在例 中 當即置信水平為時,20個區間中只有大約1個不包含 值； 當即置信水平為時,100個區間中將有99個包含 值；ba0 .9 90 .0 0

38、 50 .0 0 5652211,25,4.25.9599S例 ：一個園藝科學家正在培養一個新品種的蘋果 這種蘋果除了口感好和顏色鮮艷以外 另一個重要特征是單個重量差異不大。為了評估新蘋果 她隨機挑選了個測試重量 單位：克其樣本方差為試求的置信度為 和的的置信區間。 95%解：置信度為時222221 0.0250.025111 0.05nSnSP 220.9750.0252439.4,2412.4;查表得：25 14.2525 14.25 2.59,8.2339.412.4又：2.59,8.232的置信區間為20.99520.00599%,2445.6,249.89,25 14.252.24,

39、45.625 14.2510.319.89置信度為時2.24,10.312的置信區間為66221122 ,NN 二 兩個正態總體的情形1212222121112222211211,11, , 1.nnnnijijXXXNY YYNXX YYSSnn 來自來自和分別為第一 二個總體的樣本方差 置信度為121. 的置信區間 22121 ,已知時22121212,XYNnn由 122212120,1XYNnn有 2212212XYZnn置信區間為： 67 2222122 ,未知1212126.8, 211wXYt nnSnn此時由第六章定理221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中1

40、2212112wXYtnnSnn置信區間為： 6821222. 的置信區間12, 設未知22121222121,1SSF nn由 2212121222122121,11,11SSP FnnFnn 有 22112212122212211,1,11,1SSFnnFnnSS置信區間為： 22211122212122221221111,11,1SSPFnnFnnSS 即 69 例12：兩臺機床生產同一個型號的滾珠，從甲機床生產的滾 珠中抽取8個，從乙機床生產的滾珠中抽取9個，測得這 些滾珠得直徑(毫米)如下: 甲機床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8 乙機床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0 22112212121212211222, ,1 0.18,0.24,0.902 0.904 ,0.90X YXNYN 設兩機床生產的滾珠直徑分別為且求的置信度為的置信區間；若未知，求的置信度為的置信區間；若未知，求的置信度為的置信區間；70221122 8, 15.05, 0.04579, 14.9, 0.0575nxSnyS解：； 12122 0.90當時，的置信度為的未知置信區間為： 11221 ,0.0.18,