1、精選優質文檔-傾情為你奉上2017春季中考數學第五講圖形的平移、旋轉、折疊問題【基礎回顧】考點聚焦1.了解軸對稱圖形和圖形成軸對稱的概念,知道線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等常見的軸對稱圖形；了解平移、旋轉的概念、掌握平移變換、旋轉變換的基本性質,能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形.2.掌握中心對稱的概念,會判斷一些基本圖形的中心對稱性,理解中心對稱與旋轉變換的區別.3.探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合),能靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計.考點一 軸對稱圖形、軸對稱變換例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點A落在BC邊上的點F處

2、,且DEBC,下列結論:BDF是等腰三角形;DE=BC;四邊形ADFE是菱形;BDF+FEC=2A.其中一定正確的個數是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【思路點撥】如圖,分別過點D，E作BC的垂線DG，EH；連接AF,由于折疊是軸對稱變換知AF與DE垂直,因為DEBC，所以AF與BC垂直,且AM=MF,可以證明點D，E分別是AB,AC的中點,即DE是ABC的中位線,所以DE=BC是正確的；由于折疊是軸對稱變換知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以BDF是等腰三角形是正確的；因DGAFEH,所以BDG=DAM,又因為DG是等腰三角形BDF的高,所以BDF=2DAM,同 理 C

3、EF = 2 EAM, 所以 BDF+FEC=2A是正確的；如圖顯然四邊形ADFE不是菱形,是錯誤的【參考答案】C【方法歸納】軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿著一條直線對折后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.軸對稱圖形的性質：(1)對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；(2)對應線段相等、對應角相等,對應的圖形是全等圖形.【誤區提醒】折紙問題是近年來中考中的熱點問題,本題巧妙的運用平行線性質、折疊全等不變性質得到三角形中位線,如果能順利地判斷出這一點,其他問題就將迎刃而解.在解題時不要受給出的圖形影響,如ABC像是等腰三角形,就認為ABC就是等腰三角形,

4、那樣的話四邊形ADFE就是菱形了,造成判斷上的錯誤.此外,軸對稱圖形是指一個圖形,而軸對稱變換是指兩個圖形之間的關系.考點二 中心對稱圖形、中心對稱例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).【思路點撥】把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個圖形是軸對稱圖形； 把一個平面圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形.對照定義,可知A是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形,有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；D既是中心對稱圖形又是軸對稱圖

5、形,有4條對稱軸【參考答案】B【方法歸納】如果一個圖形繞著中心點旋轉180°后能與自身重合,我們把這種圖形叫做中心對稱圖形.成中心對稱的兩個圖形的對稱點的連線都經過對稱中心,并且被對稱中心平分.【誤區提醒】中心對稱圖形是指一個圖形,而中心對稱是指兩個圖形之間的關系.考點三 平移變換例3、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），點A在第一象限內，將OAB沿直線OA的方向平移至OAB的位置，此時點A的橫坐標為3，則點B的坐標為 .【思路點撥】作AMx軸于點M.根據等邊三角形的性質得OA=OB=2，AOB=60°，在RtOAM中,利用含30°

6、角的直角三角形的性質求出OM=1，AM=，從而求得點A的坐標為（1，），直線OA的解析式為y=x,當x=3時，y=3,所以點A的坐標為（3，3），所以點A是由點A向右平移2個單位，向上平移23個單位后得到的，于是得點B的坐標為（4,2）.【參考答案】（4,23）【方法歸納】本題考查了坐標與圖形變化平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同.平移中點的變化規律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.也考查了等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質.求出點A的坐標是解題的關鍵.考點四 旋轉變換例4、在RtABC中,BAC=90°,B=30°

7、,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到FCE,如圖2,再將FCE繞點C順時針旋轉,設旋轉角為(0°90°),連接AF,DE(1)在旋轉過程中,當ACE=150°時,求旋轉角的度數；(2)探究旋轉過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由【思路點撥】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點E和點D在直線AC兩側；點E和點D在直線AC同側；(2)在旋轉過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉的性質,較易證明解：(1)在圖1中,

8、BAC=90°,B=30°,ACE=BAC+B=120°如圖2,當點E和點D在直線AC兩側時,由于ACE=150°,=150°-120°=30°.當點E和點D在直線AC同側時,由于ACB=180°-BAC-B=60°,DCE=ACE-ACB=150°-60°=90°.=180°-DCE=90°.旋轉角為30°或90°(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形BAC=90°,B=30°,AC=BC又AD是BC邊上的中線,

9、AD=DC=BC=AC.ADC為正三角形當=60°時,如圖3,ACE=120°+60°=180°.CA=CE=CD=CF,四邊形ADEF為矩形當60°時,ACF120°,DCE=360°-60°-60°-ACF120°顯然DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180°.ACF+DCE=360°-60°-60°=240°,FAC+CDE=60°.DAF+ADE=120°+60°=180&#

10、176;.AFDE又DEAF,AD=EF,四邊形ADEF為等腰梯形【方法歸納】旋轉的概念：在平面內,將一個圖形繞一個定點沿某一個方向轉動一個角度,這種圖形的運動稱為旋轉,這個定點叫做旋轉中心,轉動的角度叫做旋轉角.旋轉變換的性質：經過旋轉,圖形上每個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度,任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角,對應點到旋轉中心的距離相等,旋轉變換不改變圖形的形狀和大小,是全等變換.【誤區提醒】決定旋轉變換的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度,作圖按三個步驟進行：(1)在已知圖形上找一些關鍵的點；(2)畫出這些關鍵點的對應點；(3)順次連接這些對應點.考點五 圖

11、形變換的應用例5、如圖，矩形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點A和點B都與點E重合；再將CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上的點F處.（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對相似三角形？（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的長.【思路點撥】（1）由矩形的性質得A=B=C=90°，由折疊的性質和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC，所以AMPBPQCQD；（2）先證明MD=MQ，然后根據sinDMF=DFMD=35，設DF=3x，MD=5x，再分別表示出AP，BP，BQ，根據AMPBPQ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）AMPB

12、PQCQD.四邊形ABCD是矩形，A=B=C=90°.由折疊的性質可知APM=EPM，EPQ=BPQ.APM+BPQ=EPM+EPQ=90°.APM+AMP=90°，BPQ=AMP.AMPBPQ.同理：BPQCQD.根據相似的傳遞性可得AMPCQD；（2）ADBC，DQC=MDQ.由折疊的性質可知DQC=DQM.MDQ=DQM.MD=MQ.AM=ME，BQ=EQ，BQ=MQ-ME=MD-AM.sinDMF=，則設DF=3x，MD=5x，則BP=PA=PE=，BQ=5x-1.AMPBPQ，即，解得x=（舍去）或x=2，AB=6.【方法歸納】本題主要考查了相似三角形的

13、判定與性質、矩形的性質、翻折的性質以及銳角三角函數的綜合運用，圖形的折疊是對稱變換，是一種全等變換.【誤區提醒】折疊問題要注意找正確邊角的等量關系，本題求AB長時，關鍵是恰當的設出未知數表示出一對相似三角形的對應邊并列比例式.【例題講解】1.圖形的平移：如圖1，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2, 0），點A在第一象限內，將OAB沿直線OA的方向平移至OBA的位置，此時點A的橫坐標為3，則點B的坐標為（ ）A（4，） B（3，） C（4，） D（3，） 圖1 圖 2 圖3 圖4答案 A思路如下：如圖，當點B的坐標為（2, 0），點A的橫坐標為1當點A'的橫坐標為3時

14、，等邊三角形AOC的邊長為6在RtBCD中，BC4，所以DC2，BD此時B2.圖形的折疊：如圖2，在矩形ABCD中，AD15，點E在邊DC上，聯結AE，ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，過點F作FGAD，垂足為G如果AD3GD，那么DE_答案 思路如下：如圖，過點F作AD的平行線交AB于M，交DC于N因為AD15，當AD3GD時，MFAG10，FNGD5在RtAMF中，AFAD15，MF10，所以AM設DEm，那么NE由AMFFNE，得，即解得m3.圖形的旋轉：如圖3，已知RtABC中，ABC90°，AC6，BC4，將ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到DEC，若點F是

15、DE的中點，連接AF，則AF= 答案 5思路如下：如圖，作FHAC于H由于F是ED的中點，所以HF是ECD的中位線，所以HF3由于AEACEC642，EH2，所以AH4所以AF54.三角形： 如圖4，ABCDEF（點A、B分別與點D、E對應），ABAC5，BC6ABC固定不動，DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動（點E不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M，當AEM是等腰三角形時，BE_答案 或1思路如下：設BEx由ABEECM，得，即等腰三角形AEM分三種情況討論：如圖2，如果AEAM，那么AEMABC所以解得x0，此時E、B重合，舍去如圖3，當EAEM時，解得x1如

16、圖4，當MAME時，MEAABC所以解得x圖2 圖3 圖45.四邊形：如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）A B C5 D6圖5 圖6 圖7答案 C思路如下：拖動點E在AB上運動，可以體驗到，當EF與AC垂直時，四邊形EGFH是菱形（如圖2）如圖3，在RtABC中，AB8，BC4，所以AC由cosBAC，得所以AE5圖2 圖36.圓：如圖1，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PMAB于點M，PNCD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿

17、著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑長為_A. B. C. D. 答案 A思路如下：拖動點P在圓周上運動一周，可以體驗到，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑是圓心角為45°半徑為1的一段弧如圖2，四邊形PMON是矩形，對角線MN與OP互相平分且相等，因此點Q是OP的中點如圖3，當DOP45°時，的長為圖2 圖37.函數圖像：如圖7，直線l與半徑為4的O相切于點A，P是O上一個動點（不與點A重合），過點P作PBl，垂足為B，聯結PA設PAx，PBy，則(xy)的最大值是_答案 2思路如下：拖動點P在圓上運動一周，可以體驗到，AF的長可以表示xy，點F

18、的軌跡象兩葉新樹丫，當AF最大時，OF與AF垂直（如圖2）如圖3，AC為O的直徑，聯結PC由ACPPAB，得，即所以因此所以當x4時，xy最大，最大值為2圖2 圖3【課后練習】1.如圖1，在ABC中，AB4，BC6，B60°，將ABC沿射線BC方向平移2個單位后，得到ABC，聯結AC，則ABC的周長為_（答案 12）圖1 圖2 圖3 圖42.如圖2，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點C、D處，且點C、D、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，DF與BE交于點G設ABt，那么EFG的周長為_（用含t的代數式表

19、示）答案 思路如下：如圖2-1，等邊三角形EFG的高ABt，計算得邊長為圖2-1 圖3-13.如圖3，在ABC中，ABAC5，BC4，D為邊AC上一點，且AD3，如果ABD繞點A逆時針旋轉，使點B與點C重合，點D旋轉至D'，那么線段DD'的長為 答案 思路如下：如圖3-1，由ABCADD'，可得543DD'4.如圖4，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQAE，則AP的長等于_cm答案 1或2思路如下：如圖2，當PQAE時，可證PQ與AE互相垂直在RtADE中，由D

20、AE30°，AD3，可得AE在RtAPM中，由PAM30°，AM，可得AP2在圖3中，ADF30°，當PQDF時，DP2，所以AP1 圖2 圖35. 將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變當B90°時，如圖5-1，測得AC2當B60°時，如圖5-2，AC等于（ ）(A)； (B)2； (C) ； (D) 2圖5-1 圖5-2 圖6答案 (A)思路如下：拖動點A繞著點B旋轉，當B90°時，ABC是等腰直角三角形；當B60°時，ABC是等邊三角形（如圖3）6.如圖6，在矩形ABCD

21、中，AD8，E是AB邊上一點，且AEAB，O經過點E，與邊CD所在直線相切于點G（GEB為銳角），與邊AB所在直線相交于另一點F，且EGEF2當邊AD或BC所在的直線與O相切時，AB的長是_答案 12或4思路如下：拖動點B運動，可以體驗到，O的大小是確定的，O既可以與BC相切（如圖3），也可以與AD相切（如圖4）如圖2，在RtGEH中，由GH8，EGEF2，可以得到EH4在RtOEH中，設O的半徑為r，由勾股定理，得r242(8r)2解得r5設AEx，那么AB4x如圖3，當O與BC相切時，HBr5由ABAEEHHB，得4xx45解得x3此時AB12如圖4，當O與AD相切時，HAr5由AEAHE

22、H，得x541此時AB4圖2 圖3 圖47.如圖所示,在RtABC中,C=90°,BAC=60°,AB=8.半徑為的M與射線BA相切,切點為N,且AN=3.將RtABC順時針旋轉120°后得到RtADE,點B,C的對應點分別是點D,E(1)畫出旋轉后的RtADE； (2)求出RtADE 的直角邊DE被M截得的弦PQ的長度；(3)判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與M的位置關系,并說明理由. 【思路點撥】(1)點A不動,由于BAC=60°,因此旋轉120°后AE與AB在同一條直線上；(2)過點M作MFDE,垂足為F.連接MP,構造出RtMPF，再通過勾股定理解直角三角形并結合垂徑定理即可求解；(3)易猜想AD與M相切.欲證AD與M相切,只需HM=