1、利用空間向量解立體幾何（完整版）作者:日期:#立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題： 一是位置關系，它 主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題， 它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角 等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、 線面垂直及計算線 線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及 面面角的例題不多，給老師對這部分內容的教學及學生解有關這部分 內容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的 想法，起到一個拋磚引玉的作用。基本思路與方法一、基本工具1 .數量積：a b a| b cos2 .射影公式：向量a在

2、b上的射影為a-b b3 .直線Ax By C 0的法向量為 A,B ,方向向量為 B, A4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關系1.平行關系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行瀛線垂直（共面與異面）=二9線的方向線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1.點點距離點 P X1, yi, Z1 與 Q X2, y2,Z2 的f 上 uuu1J2距離為 PQ ，(X2 Xi)(y2 yi)(Z2 Zi)22.點線距離求點P Xo,yo到直線l : Ax By C0的距離:方法：在直線上取一點Q x,y

3、,則向uuurPQ n日 uur ,、上量PQ在法向量n A,B上的射影_ AX0 By0 C即為點P至”的距離.3.點面距離求點P xo,y。到平面的距離:方法：在平面 上去一點Q x,y ,得向量PQ計算平面的法向量n ,計算PuQ在 上的射影，即為點P到面 的距離.四、用向量法解空間角1 .線線夾角（共面與異面）線線夾角兩線的方向向量的夾角或夾角的補角2 .線面夾角求線面夾角的步驟:第4頁共14頁可r若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角3.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角;法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角 .實例分析一、運用法

4、向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a, b所成角0,只要在兩條異面直線uuur uuur-, 一 uuur uuur ,一 ，a, b 上各任取一個向量AA和BB,則角=0或兀-0 ,因為uuur uuur。是銳角，所以 cos e = .uuA BuurAA BB1、運用法向量求直線和平面所成角設平面的法向量為不需要用法向量=(x, y, 1),則直線AB和平面0c所成的角0的正弦值為uursin 0 = cos( j- 0) = |cos| =uuir rAB ?nuuirAB ? n2、運用法向量求二面角設二面角的兩個面的法向量為則或兀- 是所求海。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是

5、鈍角，來決定 第5頁共14頁*求兩條異面直線間的距離1、設異面直線a、b的公共法向量為r n是所是兀-小電項陽用 二、運用法向量求空間距離在a、b上任取一點A、B,則異面直線a、|n|r r其中，n的坐標可利用a、b上的任一向量a,b (或圖中的uur uur、AE,BF ）,rnrnr a r br r n?a 0 r r n?b 0a r解方程組可得nouur r d =AB cos / BAA =|ABr?n| |n|略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線,在a、b上任取一點A B,過A作AA / EF,交a于A ,.uuuur r/ uuu r 則AAn,所以/ B

6、AA = （或其補角）uuu r異面直線a、b的距離d =AB cos/ BAA =|陰？）| *2、求點到面的距離r.求A點到平面口的距禺，設平面的法向重法為n (x, y,1),在uuu r內任取一點b,則a點到平面0c的距離為d =呻?mn的坐標由n與|n|芋面口內的兩個不共線向量的垂直關系,得到方程組(類似于前面所第6頁共14頁下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離r.求直線a到平面0c的距離，設平面0c的法向量法為 n (x, y,1),在直線a上任取一點A,在平面0c內任取一點B,則直線a到平面0c的uur r距離d= 1AM|n|4、求兩平行平面的距離r. 一_.設兩個平行設

7、平面、 B的公共法向量法為n (x,y,1),在平面、uuu rB內各任取一點 A B,則平面0c到平面B的距離d = r？E|n|三、證明線面、面面的平行、垂直關系設平面外的直線a和平面口、(3,兩個面口、B的法向量為nr,u2,則ururaa raan1it urrr ur/n1 n2n1 n2四、應用舉例：(1)求二面角c DE- C的正切值；(2)求直線EG與FD所成的余弦值. ur uuu uuu八八角牛：(I)以A為原點，AB, AD, AAi分力U為x軸，建立空間直角坐標系，力-八 L 則 D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)仁二611 1卜第7

8、頁共14頁/ y軸,z軸的正向、 bZ_ w 越產一0工/FC 4 淄AA= 2. E、F分別是線段 AB BC上的點，且例1:如右下圖，在長方體ABCD-ABGD中，已知AB=4, AD=3,C(4,3,2) uuu .干總DE設法呷：r nuuuruuur(3, 3,0), ECi(1,3,2), FDi( 4,2,2)(x,y,2)與日CiDE垂直，則有r n r n r nuuu DE UUUT EG3x 3y 0x 3y 2z 0(1,uuuQ向量AAi r uuu1,2),(0,0, 2)與平面 CDE垂直n- AA1所成的角為二面角C DEC1的平面角Q costanr uuun

9、? AA1u- UUUu|n| |AAi|210 10、1 1 4 0(II )設EC與FD所成角為（3 ,則uuui uuurDBAlCAEC1cos|ECi I |FDJ1 ( 4) 3 2 2 231224)22122,2114例2:如圖，已知四棱錐 P-ABCD底面ABC奧菱形，/ DAB=6h PD1面 ABCD PD=AD 點E為AB中點，點F為PD中點。（1）證明平面PEDL平面PAB（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：（1） .面ABC匿菱形，/ DAB=6&DB.ABD等邊三角形，又E是AB中點，連結BD. / EDB=30, / BDC=60. / EDC=90

10、如圖建立坐標系 D-ECP設AD=AB=1貝U PF=FD=1 , ED=3 ,P（0，, 3小？，0，0）,B（多 2，。）uur 31uuu.PB=(z )，PE=第8頁共14頁，0, -1),mMMBJIMIIMMP用、PED的一個法不受 陛-(0 J個0個T?W*Abpjr , ，、重為n= 7欠.y, 1)rnrnuuuPBuuuPE、3 1(x,y,1)?(,-, 1)、.3(x,y,1)?(,0, 1)2.3x23x212y 12、3023,0, 1)uuurr uuurDC n=0 即 DC rn 平面PEDL平面PABr解：由（1）知：平面PAB的法向量為n =23, 0,1

11、),設平面一，一,rFAB的法向量為n尸（x, y, -1）由（1）知:一，1 、F (0, 0,；)uurFB =2）urFE（手，0，r n1 r n1uuu FB uuu FE(x, y,(x, y,、.3 1 1)?( ,1, 2 2、.3 1)?( ,0,21)12).3x23x212y1 02,0, -1)二面角 P-AB-F的平面角的余弦值cos 0=icos|n ?nin ? ni5-714例3:在棱長為4的正方體ABCD-AiCD中，O是正方形ABGD的中第11頁共14頁(I)求直線APW平面BCCB所成的角的大小(結果用反三角函數值表uuu0 = |cos| =4.3333

12、e為銳角，直線A由平面bce所成的角e為arcsin鴛r(HI)設平面ABD的法向量為n=(x, y, 1),uuu. AB =(0, 4, 0),uiurAD1 = (-4 , 0, 4)t r uuiu r uuur 由 n，AB , n AD1得y 04x 4 0rn= (1,0, 1)，點PIU平面ABD勺距離d =uur rAP?nin322例4:在長、寬、高分別為 2, 2, 3的長方體ABCD-A1C1D中，OTJlb底面中心，求AO與BC的距離。 “H I 第10頁共14頁長3口圖，建立坐標久acd,則oT1:,(2, 2,F； C(0, 2, 0)uuuruuur AO (

13、1,1, 3) B1C ( 2,0,一 ，一. r設AO與BC的公共法向量為nuuurn AOuuurn B1c(x,y,1)?( 1,1, 3) 0(x,y,1)?( 2,0, 3) 0I， AiO與BC的距離為uuur rd =|ABr?n|n|0,2,0 ? h，1例5:在棱長為1的正方體1A3)c 則(x, y,l),/uuurABi(0,2,0)x2x3113、2211ABCDUBCD 中,的中點，求A到面BDFE勺距離。解：如圖，建立坐標系 D-ACD,則B （1,3232E、F分別是BC、CD1, 0), A(1, 0, 1),r n r n（2,1，1）uur BD uuu B

14、Euuiruur二 BD ( 1, 1,0) BE設面BDFE勺法向量為(x,y,1)?( 1, 1,0)-1(x,y,1)?(,0,1)2r二 n (2, 2,1)1( ?0，1)(x,y,1),x y1-x2uuur A1到面BDFE勺距離為uurAiBd =IABr?n|n|xy2.10,1, 1 ? 2,.222 2 1I 3|3不得IMlr第11頁共14頁1點D到面直線AC到平面PEF的距離已知正四棱柱 ABCD-ABCDi, AB=1,AA=2,點E為CC中點Di2、已知正方形ABCD邊長為1,過D作PDL平面ABCD且PD=1Ci12頁共14F分別是AB和BC的中點，（1）求D到平面PEF的距離點F為BD中點.（1）證明EF為BD與CG的公垂線