1、專題06二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用本專題在初中、高中扮演的角色二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時(shí)還是一個(gè)研究函數(shù)性質(zhì) 的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對(duì)二次函數(shù)的要求，是立足于用代數(shù)方法來(lái) 研究，比如配方結(jié)合頂點(diǎn)式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值)等；再比如待定 系數(shù)法，通過(guò)解方程組的形式來(lái)求二次函數(shù)的解析式高中的函數(shù)立足于集合觀點(diǎn)，對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類討論等 思想方法.高中必備知識(shí)點(diǎn) 1:平移變換問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，

2、可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可.典型考題【典型例題】如圖，拋物線丫 =祖口 +肘1-：5經(jīng)過(guò)就一1£),兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.(1)求a和b的值；(為將拋物線沿y軸方向上下平移，使頂點(diǎn) D落在x軸上.求平移后所得圖象的函數(shù)解析式；E若將平移后的拋物線，再沿x軸方向左右平移得到新拋物線，若 1式夏£2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2,求平移的方向和單位長(zhǎng)度.L +姓個(gè)單匕$ ©k = M一4

3、 + 將拋物線丫 =住_以向左平移點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移 位長(zhǎng)度.口j將 A（-10）, E（3X 代入y = ax:+bM-3,得：如十,二=解得：片雪二”7=a2就一”但一1尸4,;拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（I,-藥."將拋物線沿y軸平移后，頂點(diǎn) D落在x軸上，二平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1理;，平移后的拋物線為¥ =值一 I）3,即y =覽普-2工+ 1.，若將拋物線y = （x- ip向左平移k（k >龍:個(gè)單位長(zhǎng)度，則新拋物線的解析式為y =（3t-l + k）3=當(dāng)1 <x <2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2,;，新拋物線必過(guò)點(diǎn)L2，卜 2

4、= （l-l + ky,解得： =鳳I = TW舍去）；若將拋物線y=（厘向右平移k（k> 口:個(gè)單位長(zhǎng)度，則新拋物線的解析式為y =0一 1 - k）3 ,v當(dāng)1F夫在2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2,:新拋物線必過(guò)點(diǎn)M2卜 2 = (2-1-,解得：% =*泛+11七二調(diào)+舍去'，將拋物線y =(K- i)向左平移J3個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移 L +先個(gè)單位長(zhǎng)度.【變式訓(xùn)練】已知拋物線, =一2十，把它向上平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若叢48c是直角三角形，那么原拋物線應(yīng)向上平移幾個(gè)單位？向上平移3個(gè)單位.由題意知，鼻月可必為等腰直角三角形，設(shè)平移后

5、的拋物線為y =一甘一宣,則門口小),B值陰,代段,阿入拋物線方程得：D =一 貨 +上:.曾=© 舍去)f Jc = 3.所以向上平移3個(gè)單位.【能力提升】已知拋物線 y = x (x-2) +2.(1)用配方法把這個(gè)拋物線的表達(dá)式化成y=a (x+m) 2+k的形式，并寫(xiě)出它的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)將拋物線y=x (x-2) +2上下平移，使頂點(diǎn)移到 x軸上，求新拋物線的表達(dá)式.(1) y= (x-1) 2+1,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1, 1); (2)圖象向下平移 1個(gè)單位得到：y= (x-1) 2.(2) y=x (x-2) +2=x2 2x+2= (x-1) 2+1,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

6、(1, 1)；(3) 將拋物線y=x (x-2) +2上下平移，使頂點(diǎn)移到 x軸上，圖象向下平移1個(gè)單位得到：y= (x-1)高中必備知識(shí)點(diǎn)2:對(duì)稱變換在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置或開(kāi)口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù) 的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向來(lái)解決問(wèn)題.典型考題【典型例題】如圖，拋物線 y=ax2-2x+c(a w0療x軸，y軸分別交于點(diǎn) A, B, C三點(diǎn)

7、，已知點(diǎn)(-2,0), C(0,-8),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；如圖，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P,將AEB直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；y=x2 2x 8； D(1,9)； (2)P0±J =).將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，匚曹"。，解得：a=1, c= 8.拋物線的解析式為y=x2 - 2x 8. - y=(x 1)2 9,D(1 ,9).將y=0代入拋物線的解析式得：x2 2x 8=0 ,解得x=4或x= - 2, .B(4, 0). - y=(x 1)2 9,:

8、拋物線的對(duì)稱軸為x=1 ,E(1 , 0). 將AEBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在拋物線的對(duì)稱軸上，EP為/ BEF的角平分線. ./ BEP=45 .設(shè)直線EP的解析式為y= x+b,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：-1+b=0 ,解得b=1 , 直線EP的解析式為y= x+1 .將y= - x+1代入拋物線的解析式得：-x+1=x2 2x 8,解得：x=_ _或x=+ '.-a-a點(diǎn)P在第四象限，. x=*土包g .yJ/.p(*)=y27 S【變式訓(xùn)練】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),且與y軸交于(0,巨).求函數(shù)的解析式；若點(diǎn)(p,m)和點(diǎn)(q,n)都在該拋物線上，若

9、p>q>5,判斷m和n的大小.(1) y=7(x-3)2-2. (2) m>n.(1)由題意設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-3) 2-2,根據(jù)題意得9a-2= s解得a= t,所以函數(shù)解析式是 y= (x-3) 2-2.(2)因?yàn)閍=f>0,所以拋物線開(kāi)口向上，又因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸是直線 x=3.所以當(dāng)x>3時(shí),y隨x增大而增大，因?yàn)?p>q>5>3,所以m>n.【能力提升】已知拋物線y = «落- 3y1 + 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2).(1)求口.的值；(2)若點(diǎn)A (m, y1)、B (n, y2) (m<n<3)都在該

10、拋物線上，試比較 y1與y2的大小.(1 ) a=-1 ； ( 2)y1< y2.、:拋物線產(chǎn)=釀工- 3!y+ 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2), .一Z = 生產(chǎn)+ 2 ,解得a=-1 ；46、函數(shù)y = -(ac-3)3 4-1的對(duì)稱軸為x=3,l A (m, yi)、B (n, y2)(m<n<3)在對(duì)稱軸左側(cè)，又拋物線開(kāi)口向下，：對(duì)稱軸左側(cè)y隨X的增大而增大， m<n<3,Vi<V2.高中必備知識(shí)點(diǎn)3:分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)典型考題【典型例題】X 1 (x函數(shù) f (x)0 (xX 1 (x

11、0-函數(shù) f (x)0)0),則f ( f (1)的值是0)x 1, x> 00, x 0x 1, x<0.f (1) =11 = 0,f (f (1) = f (0) = 0.故答案為：0.【變式訓(xùn)練】若則就=-1= ffl) = 1 a = 2,故d.二一1,填一 1.【能力提升】函數(shù)如=貝獷加1.由題意得 fP) = /(5-4) = AS)=/P-4) = /(l) = 2：Ki-l = l故答案為：1.專題驗(yàn)收測(cè)試題1 .如圖1,在菱形ABCD中，/ A=120°,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD的長(zhǎng)度為x,PE與PC的長(zhǎng)度和為v,圖2是y關(guān)

12、于x的函數(shù)圖象，其中 H是圖象上的最低點(diǎn)，則 a+b的值為（）置I時(shí)A. 7 73B. 273 4C. 14 73D.住百C 在菱形 ABCD中，/ A=120°,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)， 易證 AEXBC, A、C關(guān)于BD對(duì)稱， .PA=PC,PC + PE= FA + PE, 當(dāng)A、P、E共線時(shí)，PE + PC的值最小，即 AE的長(zhǎng).觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn) P與B重合時(shí)，PE+PC = 6, .BE = CE=2, AB=BC = 4, 在 RtAAEB 中，BE= 2石， . PC + PE的最小值為 273 , ，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)a= 273, BC II AD ,AD PD =2,BE

13、 PB-BD= 45/3,，PD=2 4 芯述， 33.點(diǎn)H的橫坐標(biāo)b=晅,3a+b=2J3 逑 14Y3；故選 C. 332.如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)。為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) C不與點(diǎn)A, B重合)，AB=4 .設(shè)弦AC的長(zhǎng)為x, 9BC的面積為y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()B; AB=4 , AC=x ,1 BC= Jab2 ac2 Ji6 x2 ,1 1-2 SzABC= -BC?AC= -xx/16 x ,22此函數(shù)不是二次函數(shù)，也不是一次函數(shù)，排除 A、C,. AB為定值，當(dāng) OCLAB時(shí)，3BC面積最大，此時(shí)AC=2在，即x=2j3時(shí)，y最大，故排除

14、 D故選：B.3.記某商品銷售單價(jià)為 x元，商家銷售此種商品每月獲得的銷售利潤(rùn)為y元，且y是關(guān)于x的二次函數(shù).已知當(dāng)商家將此種商品銷售單價(jià)分別定為55元或75元時(shí)，他每月均可獲得銷售利潤(rùn) 1800元；當(dāng)商家將此種商品銷售單價(jià)定為80元時(shí)，他每月可獲得銷售利潤(rùn) 1550元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是()A . y =( x60)2+1825B.y=2 (x60)2+1850C. y =( x65)2+1900D.y=2 (x65)2+2000D設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y = ax2+bx+c ,.當(dāng) x=55, y= 1800,當(dāng) x=75, y= 1800,當(dāng) x=80 時(shí)，y = 1550,552

15、a 55b c 18002 75 a 75b c 1800,_ 2 80 a 80b c 1550解得 a= -2 , b= 260 , c= -6450 ,.y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式是 y= 2x2+260x 6450= 2 (x 65) 2+2000 ,故選：D.4.如圖所示，一段拋物線：y x x 4 0 x 4記為Ci ,它與x軸交于兩點(diǎn)O , A ；將Ci繞A旋轉(zhuǎn)180 °得到C2,交x軸于A；將C2繞A2旋車專180得到C3,交x軸于A3如此變換進(jìn)行下去，若點(diǎn) P 17,m在這種連續(xù)變換的圖象上，則m的值為()A. 2B. 3C.2D.3By = -x (x-4 ) (0

16、今)記為C1 ,它與x軸交于兩點(diǎn) O, Ai,令 y=0，即-x (x-4 ) =0,解得 xi=0,x2=4, ，點(diǎn) Ai (4, 0), OAi = 4,''' OA i = AiA2 = A2A3=A 3A 4,0A i = A i A2 = A 2A 3=A 3A 4 = 4, 點(diǎn)P (i7, m)在這種連續(xù)變換的圖象上，.x=i7和x= i時(shí)的函數(shù)值相等，m = -i x (i-4 ) = -i x (-3 ) =3,故選：B.5.如圖，等腰直角三角形 ABC, / BAC=90°, AB=AC = 4,以點(diǎn)A為中心的正方形 EFGH邊長(zhǎng)為x (x&

17、gt;0), EF/AB,正方形EFGH與等腰直角三角形 ABC重疊部分的面積為 y,則大致能反映 y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖 象為()Cq 3B當(dāng)0<x時(shí)，y = -x2,4當(dāng) 4< x*8 時(shí)，y = x 4 X 4-2-X- x (4 x) 2 = - x?+ 4x-8 , 2224當(dāng)x>8時(shí)，y = 8,故B選項(xiàng)的函數(shù)圖像符合，故選：B.6.如圖是王阿姨晚飯后步行的路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點(diǎn)的拋物線一部分.下列說(shuō)法不正確的是（） MA . 25min50min ,王阿姨步行的路程為800mB .線段CD的函數(shù)解析式為

18、s 32t 40025 t 50）C. 5min20min ,王阿姨步行速度由慢到快D.曲線段AB的函數(shù)解析式為s3（ t 20）2 1200（5 t 20）觀察圖象可知 5min20min ,王阿姨步行速度由快到慢，25min50min ,王阿姨步行的路程為2000-1200=800m ,故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)線段CD的解析式為s=mt+n ,將點(diǎn)（25, 1200）、（50, 2000）分別代入得1200 25m nm 32,解得：2000 50m nn 400所以線段CD的函數(shù)解析式為 s 32t 400(25 t 50),故B選項(xiàng)正確；由曲線段AB是以B為頂點(diǎn)的拋物線一部分，所以

19、設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-20) 2+1200 ,把(5, 525)代入得：525=a(5-20) 2+1200,解得：a=-3,所以曲線段 AB的函數(shù)解析式為 s 3t 20)2 1200(5 t 20)，故D選項(xiàng)正確，故選 C.本題考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用問(wèn)題，C項(xiàng)的圖象由陡變平，說(shuō)明速度是變慢的，所以C是錯(cuò)誤的.7. P是拋物線y = x24x+5上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PM，x軸，PN，y軸，垂足分別是 M, N,則PM + PN的最小值 是()A. 3B. 11C. 5D. 544B拋物線y=x2 -4x+5 , =16-20=-4<0 ,可知拋物線的值恒為正，設(shè) P(m, m2-4

20、m+5),貝ij PM=|m2 - 4m+5| , PN=|m|222,5、2 5當(dāng) m<0 時(shí)， PM+ PN=|m - 4m+5|+|m|= m - 4m+5-m= m -5m+ 5= (m ) 一,2 - 4此時(shí)m= 5不符合m<0 ；2當(dāng)m=0時(shí)，y=5, PM+ PM 的值是5;cc,3.211當(dāng) m>0 時(shí)，PM+ PN=|m 2 - 4m+ 5|+|m|=m 2 -4m+5+m=m 2-3m + 5= (m -) + ,24所以當(dāng)m=3時(shí)，PM+ PM的最小值為 ,2411綜上，PM+ PM的最小值是一4故答案為：B28.如圖，拋物線 y x 2x 3與x軸相父

21、于 A、B兩點(diǎn)，與y軸相父于點(diǎn) C,點(diǎn)D在拋物線上，且CD/AB . BD與y軸相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的直線FG平行于x軸，與拋物線交于 F , G兩點(diǎn)，則線段 FG的長(zhǎng)為()A. 1 忑B. 3C令 y 0,貝U y x,ax bx c的部分圖象如圖所示，其中直線 2x 3 0,解得x 3或x 1 ,A 3,0),B(1,0).令x 0,則y 3,貝 1 x2 2x 33，解得x 2或x 0,D( 2, 3).設(shè)直線BD的解析式為y kx b , 將B(1,0), D( 2, 3)代入解析式中得k b 02k b解得3直線bd解析式為y x 1.令x 0,則y 1,2則 x 2x 31，解得x

22、1 君或x 1 5F( 1 瓜 1),G( 1 百 1),FG ( 1 的 (1出)2石.故選：C.9.二次函數(shù)yx2是該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則下列結(jié)論中正確的是（）a. a 0b.當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而增大C,不等式ax2 bx c 0的解集是x 1或x5 d . 4a b 0DA.圖像開(kāi)口朝下，則 a 0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而減小，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.圖像對(duì)稱軸為x 2,則圖像與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為 1,0 ，則從圖像可看出不等式 ax2 bx c 0的解集是1 x 5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；22D.將 1,0代入二次函數(shù) y ax bx c中得a b c 0，將 5,0代入

23、二次函數(shù) y ax bx c中得25a 5b c 0，根據(jù)式可得 24a 6b 0 ,即4a b 0,故此選項(xiàng)正確，故選：D .10 .將拋物線y = x2 4x+1向左平移至頂點(diǎn)落在 y軸上，如圖所示，則兩條拋物線.直線y= - 3和x軸圍成的圖形 的面積S (圖中陰影部分)是()IA. 5B. 6C. 7D, 8B拋物線y=x2-4x+1=(x-2 )2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo) C(2.-3),向左平移至頂點(diǎn)落在y軸上，此時(shí)頂點(diǎn)B(0,-3),點(diǎn)A是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，連接 OC, AB,如圖，陰影部分的面積就是ABCO的面積，S=2X3=6;故選：B.731 C11.已知拋物線y ax2 bx

24、 c與x軸交于A 2,0 , b兩點(diǎn)，且 A，B兩點(diǎn)均在直線y x 2的下方,那么下列說(shuō)法正確的是(A.拋物線開(kāi)口一定向上B.拋物線的頂點(diǎn)不可能在第四象限C.拋物線與已知直線有兩個(gè)交點(diǎn)d.拋物線的對(duì)稱軸可能在y軸右側(cè)因?yàn)橹本€y x 2與x軸交于點(diǎn) 2,0，與y軸交于點(diǎn) 0,2，且拋物線y ax x 2時(shí)，ax kx b.其中正確的結(jié)論是( bx c與x軸交于A 2,0 , B兩點(diǎn)，且 a，B兩點(diǎn)均在直線y x 2的下方，由于點(diǎn) b在直線y x 2下方的位置不確A錯(cuò)誤；且當(dāng)拋物線開(kāi)口向B只能在 2,0的左側(cè)，故拋物線的對(duì)稱軸不可能在 y軸右側(cè)，且拋物線的頂點(diǎn)不可能在第四象限，故D錯(cuò)誤,B正確.

25、y故選:B.12.如圖，一次函數(shù) y kx b(k2 ,0)與拋物線y ax (a 0)交于A, B兩點(diǎn)，且點(diǎn) A的橫坐標(biāo)是 2,點(diǎn)B定，可能在。點(diǎn)的右側(cè)，也可能在 。點(diǎn)的左側(cè)，因此，拋物線的開(kāi)口不能確定，故 下時(shí)，與已知直線可能沒(méi)有交點(diǎn)，故 C錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A.B.C.拋物線yax2,利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,0 ,正確.2 ,的橫坐標(biāo)是3,則以下結(jié)論：拋物線y ax (a 0)的圖象的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn)； x 0時(shí)，一次函數(shù)2 ,y kx b(k 0)與拋物線y ax (a 0)的函數(shù)值都隨x的增大而增大； AB的長(zhǎng)度可以等于5；當(dāng)x的增大而增大，正確.D.在Rt ABD中

26、，由a、B橫坐標(biāo)由題圖可知，在 y軸右側(cè)，即當(dāng) x 0時(shí)，一次函數(shù)與拋物線的函數(shù)值都隨如解圖，過(guò)點(diǎn) A作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn) B作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)分別為 2, 3,可知AD 5,故AB 5,錯(cuò)誤.直線y kx b與y kx b關(guān)于y軸對(duì)稱，如解圖所示，可得出直線y kx b與拋物線交點(diǎn) E、F橫坐標(biāo)分別為3, 2,由解圖可知當(dāng)3 x 2時(shí)，ax2kx b ,即ax2 kx b,正確.綜上所述，正確的結(jié)論有.錯(cuò)因分析中等題.失分的原因是：沒(méi)有掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)13.定義岡表示不超過(guò)實(shí)數(shù) x的最大整數(shù)，如3.1 =3, 1.4=2, 9= 9,函數(shù)y =岡的圖象如圖所示,則

27、方程x = lx2的解為（）A.。或J3B.0或J3或J6C.J3或J6D.0或J6B1+ 1 2x 01 3結(jié)合圖象可得：x可能彳t為0或1或24 12-/口，由一x 0 ,得到x 03由1x2 1 ,得到x J3或x如（舍去）3由1x22 ,得到x 而或x 爬（舍去）3綜上，x 0或x <3或x J6故選：b.14.拋物線y= ax2+bx - 3與x軸交于 A, B兩點(diǎn), 與y軸交于點(diǎn)C,且OB = OC = 3OA,求拋物線的解析式A y = x2 2x 3 B. y=x2 2x+3 C. y= x2 2x 4A在拋物線 y= ax2+bx 3 中，當(dāng) x= 0 時(shí)，y= - 3

28、,點(diǎn) C (0, - 3) .OC = 3, .OB = OC=3OA, .OB = 3, OA=1, . A (1 , 0) , B (3, 0)把 A(- 1, 0), B (3, 0)代入拋物線 y=ax2+bx 3 得：D . y = x2 2x 5a b 3=0, 9a+3b 3 = 0,解得：a=1, b=2,:拋物線的解析式為 y = x2 2x 3,故選：A.15.若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn) M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)， 則把點(diǎn)M叫做 整點(diǎn)”.例如：P 10、Q 2, 2都是整點(diǎn)”，拋物線y mx2 6mx 9m 2m 0）與x軸交于AB兩點(diǎn)，若該拋物線在 AB之間的部分與線段 AB

29、所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，則m的取值范圍是（）a .1m11C.1m一2D由題意可得B.222y mx 6mx 9m 2 m x 32.函數(shù)的頂點(diǎn)是 3,2 點(diǎn)3,2 , 3,1 , 3,0三點(diǎn)必在該拋物線在 AB之間的部分與線段 AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界） .在此區(qū)域有7個(gè)整點(diǎn)必有點(diǎn) 2,0 , 4,0 , 2,1 , 4,1 當(dāng)點(diǎn)2,1在邊界上時(shí)，m 1_ 2_/y m x 32與x軸的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)1Xa綜上所述，1 m故答案為：D.1 25紙片上的C沿著此拋物線運(yùn),在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，n與m16.如圖，拋物線 y -x -x 2交x軸于點(diǎn)A, B,交y軸于點(diǎn)C,當(dāng)A ABC

30、 22動(dòng)時(shí)，則 JaBC紙片隨之也跟著水平移動(dòng)，設(shè)紙片上CB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（m, n的關(guān)系式是（）21 11m228C. n178平移前:.一、1 25-_將y=o代入y -x一 x 2中，得022解得：x1 1,x24由圖可知：點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）1 25將x=0代入yx x2中，得y=222點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,1此時(shí)點(diǎn)M可以向左平移 2個(gè)單位，再向上平行個(gè)單位得到點(diǎn) C平移后:的相對(duì)位置不變此時(shí)點(diǎn)M可以向左平移 2個(gè)單位，再向上平行1個(gè)單位得到點(diǎn)紙片上cb的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（m, n）,.，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m2,n+1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y整理得：n

31、1 2-m21 2-x29 m2x 2中，得n22m 22配方得：n17故選D.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 ya(x 1)2a(x 2)2 b1交于點(diǎn)a.過(guò)點(diǎn)a作y軸的垂線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)a右側(cè)），則線段BC的長(zhǎng)為86設(shè)拋物線y=a （x+1 ） 2+b的對(duì)稱軸與線段 BC交于點(diǎn)E,拋物線y=a （x 2） 2+b+1的對(duì)稱軸與線段 BC交于點(diǎn)F,如圖所示.由拋物線的對(duì)稱性，可知：BE=AE, CF=AF,拋物線y=a(x+1)2+b的對(duì)稱軸為直線x= - 1,拋物線y=a (x-2)2+b+1的對(duì)稱軸為直線x=2,BC= BE+AE+AF +

32、 CF = 2 (AE+AF) = 2X2(1) =6.故答案為：6.一一 218 .已知二次函數(shù) C ： y （x 2）2 （0 x 3）,點(diǎn)p在二次函數(shù) C的圖象上，點(diǎn) A為x軸正半軸上一點(diǎn),若tan AOP 1 ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (1, 1)或(2,2)或點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，tan AOP 1,直線op的解析式為 丫 = *或丫= x 0 x 3當(dāng)y = x時(shí),5 .1725 .172當(dāng)y= x時(shí),綜上可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 1）或（2,2)或517 517故答案為:一 一 5(1, 1)或(2, 2)或 5. 1725 ,17219 .已知二次函數(shù) y = x2 2x+3圖象如圖，

33、與x軸交于A, B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C,圖象頂點(diǎn)為D ,則直線CD的解析式為令 x=0,得 y=3, -C (0, 3),/ y =x2 2x+3 =( x+1 ) 2+4 頂點(diǎn) D (-1, 4),設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b (k*0),則b 3k b 4解得, 直線CD的解析式為：y = x+3 .故答案為：y = x+3.20.二次函數(shù)yx22x圖象x軸上方的部分沿 x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖1 .象與原圖象x軸下萬(wàn)的部分組成一個(gè)M ”形狀的新圖象，若直線y - x b與該新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為.一 90 b Ob 一16如

34、圖，1當(dāng)直線y x b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)時(shí)，b=l ,21 -當(dāng)直線y -x b經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)時(shí)，b=0,21 0Vb<1時(shí)，直線y x b與新圖形有兩個(gè)交點(diǎn),2 2翻折后的拋物線為 y x2 2x,yx2 2x由 1方程組有一組解，消去y得到：2x2+3x-2b=0,y x b29+16b=0,916,91b與新圖形有兩個(gè)交點(diǎn).1_ _一一 x b與新圖形有兩個(gè)交點(diǎn)2由圖象可知，b一時(shí)，直線y - x1629 .綜上所述0<b<1或b一時(shí)，直線y16故答案為0 b 1或b .1621 .如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1, 0)和B (3,

35、 2),不等式x2+bx+c>x+m的解集為x< 1 或 x >3數(shù)形結(jié)合知，二次函數(shù)比一次函數(shù)高的部分是 X < 1或x > 3.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線22Ci : y x 2和拋物線C2：y x 2x相交于點(diǎn) A、B （點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線C2: y2x 2x上AB段的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線父拋2物線Ci: y x 2于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN .設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)正萬(wàn)形的四個(gè)m的取值范圍是頂點(diǎn)分別落在四個(gè)不同象限時(shí),1174若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四個(gè)不同象限，則P點(diǎn)在第三象限，Q點(diǎn)在第二

36、象限，M點(diǎn)在第一象限，N點(diǎn)在第四象限,二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m , P是拋物線C2 : y2x 2x上AB段的一點(diǎn)2 P（m,m 2m） , m 0,由題意可知 Q點(diǎn)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，2Q（m, m 2）,若Q在Q點(diǎn)在第二象限，則m2 2 0，解得0 m 72 ,或0 m 72 （舍），222PQ m 2 m 2m 2m2m2,即QMPN PQ2 m2 2m 2,M、N的橫坐標(biāo)都為 m2m22m2m22,. M點(diǎn)在第一象限,N點(diǎn)在第四象限,2m20,當(dāng)2m20時(shí)，解得m11754、.萬(wàn)41.1740，故答案為:,1740.23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A

37、, B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ,將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) C .若拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，a的取值范圍是 a< -或 a>或 a=-1直線y=4x+4中，令 x=0代入直線 y=4x+4得y=4,令y=0代入直線 y=4x+4得x=-1 ,.A(-1, 0), B (0, 4),丁點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn) C,(5, 4)；將點(diǎn)A (-1, 0)代入拋物線y=ax2+bx-3a 中得 0=a-b-3a,即 b=-2a,:拋物線的對(duì)稱軸x=2a2a彳一=1 ;2a,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (-1, 0)且對(duì)稱軸 x

38、=1 ,由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線也一定過(guò)A的對(duì)稱點(diǎn)(3, 0), a>0時(shí)，如圖1 ,圖1將x=0代入拋物線得y=-3a , .拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn), C ，4 -3a < 4, a > ,3將x=5代入拋物線得y=12a ,12a>4,、1. . a4一；3.拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),-3a >4,當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上時(shí)，則頂點(diǎn)為（1,4）,如圖3,將點(diǎn)（1,4）代入拋物線得 4=a-2a-3a,解得a=-1 .綜上所述： a<-£或2>1或 a=-1 .33故答案為：a< 或a>或a=-1 .332

39、24.如圖，將二次函數(shù)y x m （其中m 0）的圖象在x軸下方的部分沿 x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，形成新的圖象記為yi ,另有一次函數(shù)y x 2的圖象記為y2,若y1與y2恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則 m的范圍是0 m Rm 4 422一次函數(shù)y xm （其中m 0）的圖象在x軸下萬(wàn)的部分沿 x軸翻折得到的拋物線解析式為：y x m,;直線y x 2,當(dāng) x=0 時(shí)，y=2 ,當(dāng) y=0 時(shí)，x=-2 ,直線y x 2與x軸交點(diǎn)為（-2,0）,與y軸的交點(diǎn)為（0,2）,如下圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,0）時(shí)，0=4-m,解得m=4,觀察圖象可知，當(dāng) m>4時(shí)，yi與y2恰有兩個(gè)交點(diǎn)，-y

40、X 27由 2 得X2 x 2 m 0，當(dāng) 18 4m 0時(shí)，解得：m ,y x m4觀察圖象可知，當(dāng) 0 m 7時(shí)，yi與y2恰有兩個(gè)交點(diǎn)，4故答案為：0 m 二或m 4.425.如圖，對(duì)稱軸為x = 1的拋物線y =-夫+加f+匯與再軸交于月、日兩點(diǎn)，與尸軸交于C點(diǎn)，其中4點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0) 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O.1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)良為夏軸上的一點(diǎn)，當(dāng) 甚MCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) 強(qiáng)的坐標(biāo)及八MCD的周長(zhǎng).(1) ¥=/ + % + %頂點(diǎn)見(jiàn)L4)； (2)溫與明，的周長(zhǎng)最小值三百五.f=1(1)根據(jù)題意得：A匚丁 一 ，解得：b=2, c=3, .拋物線的

41、解析式為 y- x2+2x+3,當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+2+3=4 ,11 一方 + f1= 0頂點(diǎn) D (1, 4)；(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=3, C (0, 3),.C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) C'(0, -3),連接CD交x軸于M,則AMCD的周長(zhǎng)最小，CM = CM,設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b ( k為)，k=7,y=7x - 3,當(dāng)y=0時(shí)，7x3=0,解得：x= M (；, 0),過(guò) D 作 DELy 軸于 E.C (0, 3), D (1, 4),DE=1 , CD=1 , C'E=7, .-.CD=,f2 , C'D=5，.叵，. MCD 的周長(zhǎng)最小值 =.

42、總+5 2 =6.泛.26.已知在同一平面直角坐標(biāo)系中有函數(shù)yi = ax2 2ax+b, y2=ax+b,其中 ab*O.(1)求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)函數(shù) yi的圖象的頂點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)為 M,若點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn) M在函數(shù)y1圖象上，求a, b滿足的關(guān)系式;(3)當(dāng)-1<x<1時(shí)，比較y1與y2的大小.(1)見(jiàn)解析；(2)b=a；(3)當(dāng) a>0 且1< x< 0時(shí)，ax(x 1)>0,y1 >y2；當(dāng)a>0 且 0< x< 1 時(shí)，ax1) <0, y1<y2；當(dāng) a< 0 且 1Vx

43、<0 時(shí)，ax(x1) <0, y1<y2;當(dāng) a< 0 且 0<x<1 時(shí)，ax(x1) >0,>y2.(1)證明：: y1 = ax2 2ax+b=a (x 1) 2 a+b,xy1:函數(shù)y1的頂點(diǎn)為(1, - a+b),把 x= 1 代入 y2= ax+b 得，y= a+b,:函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)函數(shù) y1的圖象的頂點(diǎn)；由題意可知am2amb 0?2am b 0?(2)設(shè)函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)M (m, 0),則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn) M' (- m, 0),由得m b, ab2代入得，b 0且abwq a解得b= a；(3)y1

44、= ax2 2ax+b, y2= ax+b,y1 y2= ax (x 1).<1<x< 1,當(dāng) 1Vx<0, x (x 1) >0.當(dāng) 0<x< 1, x (x 1) <0,當(dāng) x=0, x (x 1) = 0, y1 = y2 ；當(dāng) a> 0 且 1 < x< 0 時(shí)，ax (x 1) >0, yi >y2；當(dāng) a>0且 0<x<1 時(shí)，ax (x 1) <0, yi<y2；當(dāng) a< 0 且 1 <x< 0 時(shí)，ax (x 1) <0, y1<y2；當(dāng) a

45、< 0且 0Vx< 1 時(shí)，ax (x 1) > 0, y1 >y2.27.如圖，拋物線y = x2+m+ c與工軸交于#(-LU),所工。兩點(diǎn).(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)物的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)設(shè)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P,當(dāng)點(diǎn)F在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足5)心=8 ,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(1) y=x2 2x 3; (2)存在；M (1, - 2); (3) (1+2連，4)或(1 - 2,恒，4)或(1, - 4).(1) .拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于 A (

46、- 1, 0), B (3, 0)兩點(diǎn)，:方程x2+bx+c=0的兩根為x= - 1或x=3 ,1+3= b,1X3=c,b= 2, c= 3,:二次函數(shù)解析式是 y=x2 2x 3.(2) 點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱， 點(diǎn)M為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)， MA+MC的值最小,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t (kw。),則,解得:k=l 直線AC的解析式為y=x 3,;拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1 ,當(dāng) x=1 時(shí)，y= 2,.拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M (1, - 2)符合題意；(3)設(shè)P的縱坐標(biāo)為防|, - Sapab=8 , 二 AB?|yp|=8,.AB=3+1=4 , |ypl=4,yp=

47、7;4,把yp=4代入解析式得，4=x2 2x 3 ,解得，x=1±2I,把yp= 4代入解析式得，-4=x2 2x 3,解得，x=1 , 點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到(1+24) 或(1 - 2/G, 4)或(1 , - 4)時(shí)，滿足 SZPAB=8 .28.已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-bx+ - b2+b-5的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).4(1)求b的取值范圍；3(2)右b取滿足條件的年大整數(shù)值，當(dāng)mTCx<一時(shí)，函數(shù)y的取值也圍是 n<y<-2m,求m, n的值;21(3)若在自變量x的值滿足b<x<b+3勺情況下，又t應(yīng)函數(shù)y的最小值為 一，求此時(shí)二次

48、函數(shù)的解析式.43,15 o3、2 -(1) b 5 ； (2)m 1,n 一；(3)y (x )20或 y (x )2422(1)由題意知，b2 4ac 0212_即(b) 4 1 ( b b 5) 0 , 44b 20 0解得：b 5 ；(2)由題意，b=4,代入得： y x2 4x 3,對(duì)稱軸為直線x 2 . 2a又< a=1>0,函數(shù)圖象開(kāi)口向上，3. .當(dāng)m x 一時(shí)，y隨x的增大而減小， 2業(yè)3口5/3”，3c3.當(dāng) x=_時(shí)，y n()43一,2224當(dāng) x=m 時(shí)，y=6 2m m2 4m 3，解得：mi1,m2 3 (不合題意，舍去)；一，一，1 函數(shù)y在頂點(diǎn)處取

49、得取小值，有 b-5=,421人什一人,b= (不合題意，舍去)4當(dāng)b 3 0.5b ,即b 6時(shí)，取值范圍在對(duì)禾軸左側(cè)，y隨x的增大而減小,一口一 1八”當(dāng)x=b+3時(shí)，y年小值=,代入得4(b 3 )2 b 5 , 24即 b2 16b 15 0,解得：n 15,b21 (不合題意，舍去)15 c此時(shí)二次函數(shù)的解析式為：y (x )2 202當(dāng)b 0.5b,即b 0時(shí)，取值范圍在對(duì)稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,口 1八當(dāng)x=b時(shí)，y取小值=,代入得4b 2(b 2)14即 b2 4b-21 0，解得：bi 3,b27,3 2此時(shí)二次函數(shù)的解析式為：y (x -)2綜上所述，符合題意的二次函

50、數(shù)的解析式為:/15、(x萬(wàn))23 22 20 或 y (x )2 2229.如圖1,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于4, 0), B (1, 0)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B的直線y=kx+ ：分別與y軸(1)求直線和拋物線的表達(dá)式;(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)tt的值;為何值時(shí)，APDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的(3)如圖2,將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E, F兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,在直線EF上是否存在點(diǎn) N,使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M, N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.DE：0(1)拋物線解析式為:2 2 y= x32x8-,BD解析式為3y= 2x33