1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章 隨機變量的數(shù)字特征 4.2 方差方差4.2 4.2 方方 差差一、一、 概念的引入概念的引入實例實例 檢驗兩種品牌的燈泡的質(zhì)量檢驗兩種品牌的燈泡的質(zhì)量, , 從中分別隨機抽樣從中分別隨機抽樣5 5只只, ,測測得使用壽命如下得使用壽命如下: : A A牌牌: 2000 1500 1000 500 1000; : 2000 1500 1000 500 1000; B B牌牌: 1500 1500 1000 1000 1000;: 1500 1500 1000 1000 1000;( (單位單位: :小時小時), ), 試比較這兩種品牌的燈泡質(zhì)量的好壞試比較這兩種品牌的燈泡

2、質(zhì)量的好壞. .計算平均壽命分別為計算平均壽命分別為: A: A牌牌:1200, B:1200, B牌牌:1200.:1200.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望通過觀察通過觀察B B牌比牌比A A牌質(zhì)量穩(wěn)定。牌質(zhì)量穩(wěn)定。方差方差EXX-EXE( )=EX-EX=0衡量不出衡量不出X的離散程度的離散程度E | X-EX |計算不方便計算不方便EX-EX2DX=方差方差DX標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差二二. 方差方差1. 定義定義 設(shè)設(shè) 是隨機變量，期望是隨機變量，期望 存在，如果存在，如果 存在，則稱存在，則稱 為為 的方差，記作的方差，記作 或或var(X),var(X),即即2)(XEXE X)(XD)(XE2)(XEXE

3、 X)(XD2)(XEXE )(XDX而稱而稱 為為 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. .或均方差?；蚓讲睢Ｗⅲ鹤ⅲ?1.1.方差是用來衡量隨機變量與其平均值之間方差是用來衡量隨機變量與其平均值之間的差異程度的一個尺度，或者說是隨機變量圍繞其的差異程度的一個尺度，或者說是隨機變量圍繞其平均值波動的離散程度。平均值波動的離散程度。 2.2.方差是一個常數(shù)，不再是隨機的了。方差是一個常數(shù)，不再是隨機的了。2. 計算計算（1 1）用定義）用定義如果如果 是離散型隨機變量，是離散型隨機變量， X,)(kkpxXP 那么那么 12)()(kkkpXExXDX如果如果 是連續(xù)型隨機變量，那么是連續(xù)型隨機變量，那么 d

4、xxfXExXD)()()(2（2 2）用計算公式）用計算公式)()()(22XEXEXD （常用）例例1 1 設(shè)設(shè)X X是一離散型隨機變量，分布列為是一離散型隨機變量，分布列為X012P0.40.30.3求求D D（X X）。）。解：解：9 . 03 . 023 . 014 . 00)(XE3 . 0) 9 . 02 (3 . 0) 9 . 01 (4 . 0) 9 . 00 ()()(2222XEXEXD=0.69或用公式：或用公式：22)()()(XEXEXD5 . 13 . 023 . 014 . 00)(2222XE所以，所以，D(X)=0.69例例2 2其它021210)(xxxx

5、xfX，試求，試求 EX, DX.設(shè)3.常見離散型隨機變量的方差常見離散型隨機變量的方差3.常見連續(xù)型隨機變量的方差常見連續(xù)型隨機變量的方差三、方差的性質(zhì)三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù),則則D(C)=0; 3. 若若C是常數(shù)是常數(shù),則則D(CX)=C2 D(X);niiniiXDXD11)(可推廣為：若可推廣為：若X1,X2,Xn相互獨立相互獨立,則則niiiniiiXDCXCD121)(4.)(YXD)()(2)()(YEYXEXEYDXD若若 相互獨立，則相互獨立，則YX ,)()()(YDXDYXD 2. 若若C是常數(shù)是常數(shù),則則D(X+C)=D(X);)()(2XDabaXD

6、例例3 二項分布的方差二項分布的方差設(shè)設(shè)XB(n,p), 則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 若設(shè)若設(shè)次試驗失敗如第次試驗成功如第iiXi01i=1,2，n 故故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 則則 是是 n 次試驗中次試驗中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1= p- p2= p(1- p)由于由于 X1,X2,Xn 相互獨立相互獨立niiXDXD1)()(= n p(1- p)例例4 4 設(shè)設(shè)。求且已知1. )2)(1(),(XX-EPX例例5 5 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X和和Y

7、Y相互獨立，且方差分別為相互獨立，且方差分別為4 4和和2 2，則隨機變量，則隨機變量3X-2Y+13X-2Y+1的方差是的方差是 . .例例6 6 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X和和Y Y相互獨立，且相互獨立，且X X服從均值為服從均值為1 1、標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布，而的正態(tài)分布，而Y Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機變量求隨機變量Z=2X-Y+3Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù). .2例例7 7 設(shè)（設(shè)（X,Y)X,Y)的概率分布密度函數(shù)為的概率分布密度函數(shù)為其他 , 0,0 , 10 , 2),(xyxyxf求求E E（XYXY），），D D（XY)XY)。例

8、例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 存在數(shù)學(xué)期望存在數(shù)學(xué)期望 和方差和方差 ，試證明：對任意的試證明：對任意的 ，有，有)(XE)(XD02)()| )(| XDXEXP X此不等式稱為此不等式稱為切比雪夫不等式切比雪夫不等式其等價形式為：其等價形式為：2)(1| )(| XDXEXP 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，則事件小，則事件|X-E(X)|0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCov稱稱DYDXYXXY ),cov(注意：注意：為隨機變量為隨機變量X和和Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) ，記為，記為 ， ),(YX或或 。XY二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)2.2.性質(zhì)性

9、質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)3 3性質(zhì)性質(zhì)4 41XY1 XY , ab的充要條件是存在常數(shù)的充要條件是存在常數(shù) , , . 1)( baXYP使使XY0 XY 若若 與與 相互獨立，則相互獨立，則 . ., baXY 1 XY 若若則則0 a1XY0 a1 XY 注：注：的大小反映了的大小反映了 線性關(guān)系的強弱線性關(guān)系的強弱. .XYYX與與定義：定義：當(dāng)相關(guān)系數(shù)當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時，稱隨機變量時，稱隨機變量X X與與Y Y不相關(guān)。不相關(guān)。0),(YX0 XY 0 XY YX與與相關(guān)相關(guān)不相關(guān)不相關(guān)YX與與0 XY 正相關(guān)正相關(guān)YX與與0 XY 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)YX與與1( XY ，完全正相

10、關(guān)），完全正相關(guān)）1( XY ，完全負(fù)相關(guān)），完全負(fù)相關(guān)）注：注： 1. 1. 獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)未必獨立獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)未必獨立. .不相關(guān)的充要條件有：不相關(guān)的充要條件有：YX與與2.0) 1 (XY0),cov()2(YX)()()()3(YEXEXYEDYDXYXD)()4()()()5(YXDYXD二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)獨立獨立不相關(guān)不相關(guān)例例1 1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X和和Y Y的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 YX-10100.070.180.1510.080.320.20求求X X、Y Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。X X與與Y Y是否相關(guān)？是否是否相關(guān)？是否獨立

11、？獨立？例例2 2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X與與Y Y的相關(guān)系數(shù)為的相關(guān)系數(shù)為0.90.9，若，若Z=X-0.4,Z=X-0.4,則則Y Y與與Z Z的相關(guān)系數(shù)為？的相關(guān)系數(shù)為？例例3 3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X與與Y Y的相關(guān)系數(shù)為的相關(guān)系數(shù)為0.50.5，E(X)=E(Y)=0,E(X)=E(Y)=0, 2)()(22YEXE)(2YXE則.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設(shè)設(shè)分別服從分別服從已知隨機變量已知隨機變量.)2(.) 1 (的相關(guān)系數(shù)與求的數(shù)學(xué)期望和方差求ZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)2

12、3()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例4)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov(ZDXDZXXZ故)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 例例5 5 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為),(YX其它00 , 10),(xyxCxyyxfC求：求：(1) (1) 常數(shù)常數(shù) ；(2)(2)、Y Y的期望與方差；的期望與方差；

13、),cov(YXXY(3)(3) （4 4） 與與 是否相關(guān)，是否獨立是否相關(guān)，是否獨立. .XY二維正態(tài)分布結(jié)論整合二維正態(tài)分布結(jié)論整合. XY若若 服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布 , ,則則),(YX),(222121 N,),cov(21 YX1.1.2. 與與XY獨立的充要條件是獨立的充要條件是. 0 3.3.由由1 1和和2 2知，知， 與與XY獨立的充要條件是獨立的充要條件是 與與XY不相關(guān)不相關(guān). .例 設(shè) X B(100,0.6), Y=2X+3, 求Cov(X,Y), .XY4.4 矩和協(xié)方差矩陣矩和協(xié)方差矩陣2. 若若E(X-EX)k存在存在 注注: :一階原點矩和二階中

14、心矩分別是一階原點矩和二階中心矩分別是EX 和和DX.X 的的k階原點矩階原點矩， k=1,2,., X的的k 階中心矩階中心矩，k=1,2,.,1. E X k3.)(lkYXE設(shè)（設(shè)（X X，Y)Y)是二維隨機向量，是二維隨機向量，k,l為任意正整數(shù)，為任意正整數(shù)，X X和和Y Y的的k+l階混合原點矩階混合原點矩 lkYEYXEXE)()(4.X X和和Y Y的的k+l階混合中心矩階混合中心矩注：顯然協(xié)方差是注：顯然協(xié)方差是X X和和Y Y的（的（1+11+1）階混合中心距）階混合中心距（或稱二階混合中心距）（或稱二階混合中心距）2.2.協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣),(),(),(),(YYCovYXCovYXCovXXCov例例 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的協(xié)方差矩陣為）的協(xié)方差矩陣為9334C求求X X和和Y Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。 小結(jié)隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì) 方差的定義及其性質(zhì)方差的定義及其性質(zhì)協(xié)方差的定義及其性質(zhì)協(xié)方差的定義及其性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義及其性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義及