1、高中數學第二章平面向量2.5.1平面幾何中的向量方法課時訓練含解析新人教A版必修4【課時目標】經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力.知識梳理i.向量方法在幾何中的應用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a/b(bw。)？(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a,b,a±b?.求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos9=(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|=2.直線的方向

2、向量和法向量(1)直線y=kx+b的方向向量為,法向量為.(2)直線Ax+By+C=0的方向向量為,法向量為.作業設計一、選擇題1.在ABC3,已知A(4,1)、R7,5)、C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是()A.2事B.2/5C.3木D.2/52 .點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足OA-OB=OB-OC=OC-6A則點O是ABC的()A.三個內角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點3 .已知直線l1：3x+4y12=0,I2：7x+y28=0,則直線l1與12的夾角是()A.30°B.45°C.135°D

3、,150°4 .若。是ABCf在平面內一點，且滿足|OB-OC=IO跳OO20A,則ABM形大是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形5 .已知點N尊1),R0,0),C(V3,0),設/BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有BC=入CE其中入等于()A.2B.1C.-3D.-123,ABAC->ABAC1八,，一匚6 .已知非零向量ABfA。蔭足+BC0且=-,則ABC勺形狀是IABIACIABIAC2()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等邊)三角形D.等邊三角形題號123456答案二、填空題7.如圖，在ABC點O是BC的中點，過

4、點O的直線分別交直線ABAC于不同的兩點MN,若AB=mAMAC=nAN則班n的值為.8 .已知平面上三點ABC滿足|AB=3,|BC=4,|CA=5.則ABBBCtBdCavCavAb=9 .設平面上有四個互異的點ABC、D,已知(DMDC-2麗(AB-AC)=0,則ABd形狀"定是.10 .在直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)和點R3,4),若點C在/AOB勺平分線上且|Oc|=2,則OC=.三、解答題11 .在ABC,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求/A的平分線的方程.12 .P是正方形ABCD寸角線BD上一點，PFC時矩形.求證：PA=EF且PA!EFI能力

5、提升：13 .已知點QN,P在ABO在平面內，且|OA=|OB=|OC,N廿NBmNC=0,PA-PB=PB-咯P>P則點O,N,P依次是ABC()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心14.求證：ABCW三條高線交于一點.反思感悟1 .利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及到的向量的坐標.這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.2.在直線l:Ax+By+C=0(代+百金0)上任取兩點Pi(

6、xi,yi),B(x2,y2),則PP(入CR且入W0)也是直線l的方向向量.所以，一條直線的方向向量有無數多個，它們都共線.同理，與直線l:Ax+By+C=0(A2+B2w0)垂直的向量都叫直線l的法向量.一條直線的法向量也有無數多個.熟知以下結論，在解題時可以直接應用.丫;kx+b的方向向量v=(1,k),法向量為n=(k,-1).Ax+By+C=0(芥+甘金0)的方向向量v=(B,A),法向量n=(A,B).§2.5平面向量應用舉例2.5.1平面幾何中的向量方法答案知識梳理1. (1) a= X b xiy2-x2yi = 0a - bxix2+ yiy2= 0面鬲xix2+

7、yiy24x2+ y2 x2+ y2(4),x2+y22.(1)(1,k)(k,-1)(2)(B,-A)(A,B)作業設計_3-5_1. BBC中點為D2,6,AD=2,5,-'-IAD|=2V5._f2. DOAOB=OB-OC一-一一.(OA-OCOB=0.-Ob-CA=o.OBLAC同理OALBCOCLAR.O為垂心.3. B設li、l2的方向向量為vi,V2,則vi=(4,-3),V2=(1,-7), . |cos V1 , V2| =| Vi , V2|2521 Vi| - I V2| 5x 5 ：22 .l 1與12的夾角為45 .4. B I OB- OC=|CB = |

8、AB- AQ,|ObOc-20A=| AB+AC|,：. AB-AC=| Afe+AC,四邊形 ABDO矩形，且/ BAC= 90°.ABC直角三角形.5. C,一 一，一。 ，一。_ #| BC->->如圖所不，由題知/ ABC= 30 , / AEC= 60 , CE=拳 .怎!=3,BC= - 3CEAb Ac6. D 由-+ |AB | ACBC= 0,得角A的平分線垂直于 BC，AB= AC-AB AC , 1 , 一 而-= cos AB A。=二，又AB A。C 0| AB |AC2故ABE正三角形，選D.7. 2解析 :。是BC的中點，1 nr .AO=

9、2( AEBf AC =2AMf /ANBAC= 60°m mn> .MO= AO- AMh (萬一1)AMTAN _又MN= AN- AM MIN/ MO，存在實數入，使得MO=入MN即n2=入,化簡得m+n=2.8. 25解析ABC43,B=90,cosA=3,cosC=',55Ca- Ab= 5X3X3 一-=一 9.545=i，.AB-BC=0,BC-CA=4X5X.ABBOBC-CACAAB=25.9. 等腰三角形解析-.(Db+DC-2DA(AB-Ac)_.力，一.，一，一，一=(DB-DA+(DC-DA.(AB-AC=(超麗-(ab5-ac)=ab2-XC

10、2=1麗2-1的2=0,.|麗=|AC,ABB等腰三角形.10. d噌解析已知A(0,1),B(-3,4),設日0,5),D3,9),四邊形OBDE;菱形./AOB勺角平分線是菱形OBDE勺對角線OD設Qxi,yi),|Od=3W，2OG=OD31010 3、105 '52,一(xi,yi)=3J10X(-3,9)=O一近場.5'511.解Ab=(3,4),AC=(8,6),/A的平分線的一個方向向量為:AbAcI AB I AC35'4 3g' 515'.一/A的平分線過點A所求直線方程為-7.1.、一5(x-4)-5(y-1) = 0.整理得：7x+

11、y29=0.612.證明 以D為坐標原點,DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形邊長為1,|DP=入，則A(0,1),P手,手,E1，g，呼入,0，于是PA=乎入，1¥入，EF=考入T,乎入pa=yj*入-2+_當入2=a入+1,同理由=q1二取人+1,.|麗=|由，PA=EF函弄=當入號1+1乎入乎入=0,.PAiEf.-.palef13 .C如圖，:Nv幅心0,N為 ABC勺重心.- NB+N(C=NA依向量加法的平行四邊形法則，知|nA|=2|而,- .PA-Pb=Pb-PC,- (PA-PCPB=CAPB=0.同理AB.PC=0,BbPA=0,，點P為ABC勺垂心.由OA=OB=Oc,知點o為