1、關于函數的極限 (2)現在學習的是第一頁，共23頁函數的自變量的變化過程可分為兩種情況：函數的自變量的變化過程可分為兩種情況： （1）自變量自變量 無限接近有限值無限接近有限值 x,0 x;0 xx 表示為表示為 （2）自變量自變量 x的絕對值的絕對值 無限增大，無限增大， x.x表示為表示為 在自變量的某個變化過程中，在自變量的某個變化過程中， 若對應的函數值無限接近于若對應的函數值無限接近于 某個確定的常數，某個確定的常數， 那么，這個確定的常數就叫做這一變化過那么，這個確定的常數就叫做這一變化過 程中函數的極限。程中函數的極限。 函數極限的描述性定義。函數極限的描述性定義。 xyO0 x

2、A A A 0 x 0 x。Axfxx)(0時時，0)(,)2( ;211)(,2)1( xfxxxfx時時時時現在學習的是第二頁，共23頁 的的極極限限時時xfxx0. 1 .lim :000 00000 xxAxfAxfAxfxxAxfxxxxfxx 或或，記記作作有有極極限限時時成成立立，則則稱稱當當時時，恒恒有有，當當，存存在在如如果果，的的某某一一去去心心鄰鄰域域有有定定義義在在點點設設 有有否否極極限限無無關關。時時當當處處有有無無定定義義對對在在,00 xxxfxxf小小的的任任何何正正數數都都可可以以。比比不不是是唯唯一一的的，但但僅僅依依賴賴于于無無關關，與與正正數數 ,x

3、. 0 xxAxfAxf無無限限接接近近于于表表明明才才能能因因此此是是任任意意無無限限小小的的正正數數， 現在學習的是第三頁，共23頁幾何解釋：幾何解釋：xyO0 xA A A 0 x 0 x。 AxfAAxfxxx , 0, 0 00，即即時時，使使得得當當 Axfxx0limf(x)局部有界。局部有界。此式表明此式表明 f(x)在在 ,00 xU內既有上界，內既有上界，又有下界，即又有下界，即: : 現在學習的是第四頁，共23頁證證 AxfA 即即 . 0,xfA .0的的情情形形同同理理可可證證A2. 極限的局部保號性極限的局部保號性 .00 :00lim 0000 xfxfxUxxU

4、xAAAxfooxx或或，就就有有，某某一一去去心心鄰鄰域域的的，則則存存在在或或，而而且且如如果果恒有恒有時時當當對對, 0,0 xUxA , Axf,)(lim0的的定定義義由由Axfxx,A 取取正正數數, 0A設設現在學習的是第五頁，共23頁證證 , 0,0 xfx在在該該鄰鄰域域內內的的某某一一去去心心鄰鄰域域存存在在點點 .0的的假假設設矛矛盾盾這這與與xf. 0A故故可可得得下下面面的的結結論論：令令的的證證明明中中在在定定理理2,1A , 0A設設由定理由定理1 的的某某一一，則則存存在在點點，而而且且如如果果00lim0 xAAxfxx時時，就就有有，當當去去心心鄰鄰域域 ,

5、00 xUxxU 2 Axf ., 0 用用反反證證法法設設xf .00 :,lim,00 00AAAxfxfxfxxx或或則則并并且且或或的的某某一一去去心心鄰鄰域域內內如如果果在在比較定理比較定理1、2，注意，注意“”和和“”，為什么？，為什么？ 現在學習的是第六頁，共23頁3. 左、右極限，函數極限存在的充分必要條件左、右極限，函數極限存在的充分必要條件.000 xxxxx于于的的左左右右兩兩側側都都無無限限趨趨近近從從意意味味著著點點的的左左側側從從如如果果只只考考慮慮點點0 xx,0 x無無限限趨趨近近于于. 00 xx記記作作,0 x無無限限趨趨近近于于的的右右側側從從如如果果只只

6、考考慮慮點點0 xx. 00 xx記記作作 的的左左、右右極極限限問問題題。在在這這類類極極限限問問題題分分別別稱稱為為0 xxfAB)(xfy xOy0 x;)(00Axfxx時時，當當.)(00Bxfxx時時，當當!不不存存在在)(lim0 xfxx現在學習的是第七頁，共23頁可可表表示示為為：不不等等式式 00 xx0000,0 xxxxxxx 即即時時當當 0000,0 xxxxxxx即即時時當當及及, 0, 000時時當當xxx Axf恒恒有有 :,0記記作作左左極極限限有有時時則則稱稱Axfxx .lim0000Axfxfxx,成成立立, 0, 000時時當當 xxx :.,0記記

7、作作右右極極限限有有時時則則稱稱Axfxx .lim0000Axfxfxx Axf恒恒有有,成成立立定理定理3經常用于判斷極限不存在的情況。經常用于判斷極限不存在的情況。 AxfxfAxfxx00lim000現在學習的是第八頁，共23頁4. 時函數時函數 x)(xf的極限的極限 .義義大大于于某某一一個個正正數數時時有有定定當當設設xxf恒恒有有時時使使得得當當總總存存在在,0,0XxX Axf :時時的的極極限限，記記作作當當就就叫叫做做函函數數則則常常數數xxfA .limxAxfAxfx當當或或 ,Axf .0 來來刻刻劃劃用用 Axf.0 來來刻刻劃劃用用XXxx-描述性定義。描述性定

8、義。,時時無無限限增增大大自自變變量量的的絕絕對對值值xx 時時的的當當就就叫叫做做函函數數則則xxfA 無限接近無限接近函數值函數值xf ,AxfA于于確確定定的的數數值值.極極限限現在學習的是第九頁，共23頁 的的定定義義：當當xAxf 則則成成立立恒恒有有當當, 0, 0 AxfXxX .limxAxfAxfx或或 的的定定義義：當當xAxf .limxAxfAxfx或或 則則成成立立恒恒有有當當, 0, 0 AxfXxX 的的幾幾何何意意義義：AxfxlimOXXxy A AA現在學習的是第十頁，共23頁xey xOy. 0yx，的的水水平平漸漸近近線線。是是xeyy 0; 1yx，的

9、的水水平平漸漸近近線線。是是thxyy1. 1yx， ，若若cxfxxxlim的的水平漸近線水平漸近線。 xfycy是是則則直直線線的圖形的圖形-11xOythxy 現在學習的是第十一頁，共23頁 ：與與兩兩個個單單邊邊極極限限的的關關系系時時當當Axfx,. 5 AxfxfAxfxxxlimlimlim證證（必要性）（必要性）,)(limAxfx則則恒恒有有時時使使得得當當總總存存在在,0,0XxX Axf , Axf即即 Axfxlim當當,Xx 當當,Xx , Axf Axfxlim即即（充分性）（充分性）,)(lim)(limAxfxfxx則則 ,0,011成成立立恒恒有有當當 Axf

10、XxX , 022成成立立恒恒有有當當，對對于于上上面面的的 AxfXxX取取,max21XXX 則只要則只要,Xx Axf恒有恒有Axfx)(lim現在學習的是第十二頁，共23頁6. 數列極限與函數極限之間的關系數列極限與函數極限之間的關系 若若 )(limxfx存在，必有存在，必有 nnnanf lim)(lim存在。存在。 )(limlimnfannn反之，若反之，若 )(limxfx不存在，不存在， 一定不存在。一定不存在。 數列是以正整數集為定義域的函數，即數列是以正整數集為定義域的函數，即 )(nfan因此數列的極限因此數列的極限 )(limlimnfannn可以看成是函數可以看成

11、是函數 當當自變量取正整數自變量取正整數n，并趨于正無窮大時的極限。，并趨于正無窮大時的極限。 )(xf（1） （2）無論是數列極限還是函數極限，若存在，必唯一。無論是數列極限還是函數極限，若存在，必唯一。 （3）收斂數列的有界性是整體概念，即若收斂數列的有界性是整體概念，即若 nnalim 存在，則對存在，則對 ;,MaMNnn使使得得而對于函數而對于函數 xfxx0lim 存在，則只能推得函數在存在，則只能推得函數在 0 x的某個的某個 鄰域有界，即鄰域有界，即 .,0000MxfxUxMxU有有使使得得對對于于及及 現在學習的是第十三頁，共23頁 響響，處處無無定定義義對對極極限限并并無

12、無影影在在因因為為3xxf證證 323332932xxxx時時，當當321x 3213329 02xxx，要使，要使即即可可，只只要要 23 x，取取 2時時，恒恒有有：則則當當 30 x成立成立 3329 2xx3329lim 23xxx.3329lim 23xxx例例1 1 用定義證明用定義證明 用極限的定義證明用極限的定義證明 函數的極限，關鍵函數的極限，關鍵 是找到是找到 現在學習的是第十四頁，共23頁411 14xxx時時，當當4123xxx3212xxx，設設21 x32 2xx322xx.18,21時時當當x證證時時，等等于于多多少少，則則當當問問證證明明例例 1,411lim2

13、41xxxx .001. 04114xx，則有則有3x3212xxx411 4xx 0要要使使，對對 即可，即可，只要只要181 x，取取18, 2min :10時時，恒恒有有則則當當 x 4114xx411lim 41 xxx118x 難找，難找， 對不等式對不等式適當放大適當放大 現在學習的是第十五頁，共23頁001.0411 4xx即即,001. 0 取取,00006. 0 則當則當,00006. 010 x有有001.0411 4xx，18001. 018, 2min 用定義證明函數極限用定義證明函數極限 的步驟的步驟 取取 , 0 由不等式由不等式 , Axf經一系列地放大可得：經一

14、系列地放大可得： ,0 xxCAxf（其中（其中C為常數）為常數） 解不等式解不等式 ,0 xxC得得 ,0Cxx ,C 則當則當 00 xx時，總有時，總有 , Axf即即 Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0現在學習的是第十六頁，共23頁例例3 3 證明：當證明：當 0 0 x時，時， . lim0 xx0 xx 證證: 對于對于 ,0 由于由于 000001xxxxxxxxx要使要使 ,0 xx只要只要 ,100 xxx.00 xxx即即 為保證為保證 x有定義，用有定義，用 00020 xxxxx來限制。來限制。 取取 ,min00 xx 則當則當 0 xx時，時， .0 xx

15、所以所以 . lim0 xx0 xx 現在學習的是第十七頁，共23頁 1 2lim xxx證證明明,2 X取取恒恒有有則則當當,Xx .12 xx. 12limxxx.21的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是直直線線xxyyxyO1, 0 ,2 即即可可只只要要 x,212 xxx要要使使證證11212 xxx,2x例例4 現在學習的是第十八頁，共23頁用定義證明函數極限用定義證明函數極限 的步驟的步驟 取取 , 0 由不等式由不等式 , Axf經一系列地放大可得：經一系列地放大可得： , xCAxf（其中（其中C為常數）為常數） 解不等式解不等式 , xC得得 , Cx , CM則當則當

16、 Mx 時，總有時，總有 , Axf即即 Axfx)(limAxfx)(lim現在學習的是第十九頁，共23頁)00( f)(lim0 xfx. 0lim0 xx例例5 討論函數討論函數 . 01sin, 0, 0, 0,)(xxxxxxf0 x當當時，函數時，函數)(xf的極限的情況。的極限的情況。xOy1-1x而當而當從從的右邊逼近于的右邊逼近于時，函數值在時，函數值在-1與與1之間振蕩，即之間振蕩，即00)00( f不存在。不存在。由定理由定理3知：知： .不不存存在在xfx0lim現在學習的是第二十頁，共23頁為為什什么么？是是否否存存在在,lim 0 xxx xxfx00lim001lim00 xxx .0000ff.lim30不不存存在在知知：根根據據定定理理xxxxxx00lim11lim00 xxxfx00lim00 解：解：例例6 （記錄）記錄） 例例7 證明證明 xxsinlimx不存在。不存在。 證證 設設 ,sin)(xxxf取取 nxn及及 ,22 nyn當當 n時，時， ,nnyx而而 , 0sinlim)(lim nnxfnnn,22lim22sin22lim)(lim nnnyfnnnnxxsinlimx不存在。不存在。 （記錄）記錄）現在學習的是第二十一頁，共23頁極限不存在的幾種典型例子極限不存