1、v1.0可編輯可修改第一章集合與簡易邏輯2第二章函數5第三章數列13第四章三角函數18第五章平面向量j28第六章不等式33第七章立體幾何初步37第八章直線和圓的方程51二.直線與直線的位置關系52(一)平面內兩條直線的位置關系有三種：重合、平行、相交。521、當直線不平行于坐標軸時，直線與圓的位置關系可根據下表判定5211:y=k1X+b15211：Ax+B1y+C1=052平行52K=k2且bwb252AB1C1”52A2B2C2重合52K=k2且b1=b252相交52Kwk252A1B152A2b2垂直52Kk2=-152AA+BB=0522、當直線平行于坐標軸時可結合圖形進行考慮其位置關

2、系。53(二)點到直線的距離、直線與直線的距離53AxoByoCl221、點P(X0,y。到直線Ax+By+C=0的距離為：d=(AB0).53.A 直線 11 到 12 的角滿足：tan-k2-(k1k21)531 k1k2B22、直線11/12,且其方程分別為11：Ax+By+C=0,12：Ax+By+C=0,53，一入C1C2I,22c、則11與12的距離為：d=:(A2B20)53A2B2(三)兩條直線的交角公式53若直線11的斜率為匕,12的斜率為k2,則5311v1.0可編輯可修改（2）直線li與直線12所成的角（簡稱夾角）滿足：tanP2_J（k1k21）.53|1kik2說明：

3、（1）當11和12的斜率都不存在時，所成的角為00；（2）當11與12的斜率有一個存在時，可畫圖、觀察，根據另一條直線的斜率得出所求的角；（3）11到12的角不同于12到11的角2,它們滿足:1253（四）兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數。53三.線性規劃53第九章圓錐曲線方程56第十章導數及其應用63第H一章統計和概率65第十二章復數78第一章集合與簡易邏輯集合及其運算一.集合的概念、分類：二.集合的特征：確定性無序性互異性三.表小方法：列舉法描述法圖示法區間法四.兩種關系：從屬關系：對象、集合；包含關系：集合、£集合五.三種運算：交

4、集：ApBx|xA且xB并集：aJbx|xA或xB補集：CjAx|xU且xA六.運算性質:23v1.0可編輯可修改AA,A空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.若AB,則A°BA,aJbB.A（Ua）,A|J（A）U,Cu（uA）A.（Ua）P（Ub）Uj（aUb）,（Qa）U（Lb）L（ab）.集合aha2,a3,%的所有子集的個數為2n,所有真子集的個數為2n1,所有非空真子集的個數為2n2,所有二元子集（含有兩個元素的子集）的個數為C2.簡易邏輯一.邏輯聯結詞：1 .命題是可以判斷真假的語句的語句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯誤的為假命題.2 .邏輯聯結詞有“或

5、”、“且”、“非”.3 .不含有邏輯聯結詞的命題，叫做簡單命題，由簡單命題再加上一些邏輯聯結詞構成的命題叫復合命題.4 .真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二.四種命題：1 .原命題：若pJMq33v1.0可編輯可修改逆命題：若P則q,即交換原命題的條件和結論；否命題：若q則p,即同時否定原命題的條件和結論；逆否命題：若P則q,即交換原命題的條件和結論，并且同時否定.2 .四個命題的關系：原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命題為真，它的否命題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真.三.充分條件與必要條件1 .“若p則q”是真命題，記做pq,“若p則q”為假

6、命題，記做p書q,2 .若pq,則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件3 .若pq,且p牛q,則稱p是q的充分非必要條件；若p#q，且pq,則稱p是q的必要非充分條件；若pq,且pq,則稱p是q的充要條件；若p#q,且p$q,則稱p是q的既不充分也不必要條件.4 .若p的充分條件是q,則qp;若p的必要條件是q,則pq.#v1.0可編輯可修改第二章函數指數與對數運算55.分數指數幕與根式:如果xna,則稱x是a的n次方根，0的n次方根為0,若a0,則當n為奇數時，a的n次方根有1個，記做嗎；當n為偶數時，負數沒有n次方根，正數a的n次方根有2個，其中正的n次方根記做孤.負的n次方根記做nja1

7、.負數沒有偶次方根;2.兩個關系式：(na)na n為奇數| a | n為偶數3、正數的正分數指數幕的意義:man正數的負分數指數幕的意義:_1_ nam ,4、分數指數幕的運算性質:mm n m n a a aamm n mn(a ) a ;(a b)ma0 1 ,其中n均為有理數,a, b均為正整數二.對數及其運算1.定義：若abN(a0,且a1,N0),WJblogaN.2,兩個對數：(1)常用對數：a10,b10gl0N1gN;(2)自然對數：ae2.71828,blogeN1nN.v1.0可編輯可修改3.三條性質:1的對數是0,即lOgal0；底數的對數是1,即logaa1；負數和零

8、沒有對數.4.四條運算法則:(1) loga(MN) log a M log a N ;,M bgaNloga Mloga N ;5. log a M n n loga M ；其他運算性質:對數恒等式：alogabb；換底公式：log a blogca .logcb 'logab logbC logac; logablogb alogaYiM-loga M . n1；#logambnlogab.m函數的概念.映射：設A、B兩個集合，如果按照某中對應法則f ,對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應，這樣的對應就稱為從集合A到集合B的映射.函數：在某種變化過程中的

9、兩個變量x、y,對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，則稱y是x的函數，記做yf(x),其中x稱為自變量，x變化的范圍叫做函數的定義域，和x對應的y的值叫做函數值，函數值y的變化范圍叫做函數的值域.v1.0可編輯可修改三.函數yf(x)是由非空數集A到非空數集B的映射.四.函數的三要素：解析式；定義域；值域.函數的解析式一.根據對應法則的意義求函數的解析式；例如：已知f(jx1)x2M反，求函數f(x)的解析式.二.已知函數的解析式一般形式，求函數的解析式；例如：已知f(x)是一次函數，且ff(x)4x3,函數f(x)的解析式.三.由函數f(x)的圖

10、像受制約的條件，進而求f(x)的解析式.函數的定義域一.根據給出函數的解析式求定義域：(1)整式：xR分式：分母不等于0偶次根式：被開方數大于或等于0含0次幕、負指數幕：底數不等于0對數：底數大于0,且不等于1,真數大于0二.根據對應法則的意義求函數的定義域：例如：已知yf(x)定義域為2,5,求yf(3x2)定義域；已知yf(3x2)定義域為2,5,求yf(x)定義域；三.實際問題中，根據自變量的實際意義決定的定義域.函數的值域一.基本函數的值域問題：名稱解析式值域77v1.0可編輯可修改一次函數ykxbR二次函數2yaxbxc/U2cir4acb、a0時，,)4aU2ci,4acb,a。時

11、，(，一4a反比例函數kyxy|yR,且y0指數函數xyay|y0對數函數ylogaxR三角函數ysinxycosxy|1y1ytanxR.求函數值域(最值)的常用方法：函數的值域決定于函數的解析式和定義域，因此求函數值域的方法往往取決于函數解析式的結構特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法(代數換元與三角換元)、常數分離法、單調性法、不等式法、*反函數法、*判別式法、*幾何構造法和*導數法等.反函數.反函數：設函數yf(x)(xA)的值域是C,根據這個函數中x,y的關系，用y把x表示出，得到x(y).若對于C中的每一y值，通過x(y),都有唯一的一個x與之對應，那么，x(y)就表示y是自變

12、量，x是自變量y的函數，這樣的函數x(y)(yC)叫做函數yf(x)(xA)的反函數，記作xf1(y),習慣上改寫成yf1(x).函數f(x)存在反函數的條件是：x、y一對應.求函數f(x)的反函數的方法:#v1.0可編輯可修改求原函數的值域，即反函數的定義域反解，用y表示x,得xf1(y)交換x、y,得yf1(x)結論，表明定義域四.函數yf(x)與其反函數yf1(x)的關系：函數y"*)與丫f1(x)的定義域與值域互換.若yf(x)圖像上存在點(a,b),則yf1(x)的圖像上必有點(b,a),即若f(a)b,則f1(b)a.函數yf(x)與yf1(x)的圖像關于直線yx對稱.函

13、數的奇偶性：一.定義：對于函數f(x)定義域中的任意一個x,如果滿足f(x)f(x),則稱函數f(x)為奇函數；如果滿足f(x)f(x),則稱函數f(x)為偶函數.二.判斷函數f(x)奇偶性的步驟：1 .判斷函數f(x)的定義域是否關于原點對稱，如果對稱可進一步驗證，如果不對稱；2 .驗證f(x)與f(x)的關系，若滿足f(x)f(x),則為奇函數，若滿足f(x)f(x),則為偶函數，否則既不是奇函數，也不是偶函數.二.奇函數的圖象關于原點對稱、偶函數的圖象關于y軸對稱.三.已知f(x)、g(x)分別是定義在區間M、N(MN)上的奇(偶)函數，分別根據條件判斷下列函數的奇偶性.f(x)g(x)

14、f(x)1f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)99v1.0可編輯可修改奇奇奇奇奇偶偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶五.若奇函數f(x)的定義域包含0,則f(0)0.六.一次函數ykxb(k0)是奇函數的充要條件是b0;二次函數yax2bxc(a0)是偶函數的充要條件是b0.函數的周期性：一.定義：對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x),則f(x)為周期函數，T為這個函數的一個周期.2.如果函數f(x)所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.如果函數f(x)的最小正周期為T,則函數f(ax)的最

15、小正周期為.旦函數的單調性一.定義：一般的，對于給定區間上的函數f(x),如果對于屬于此區間上的任意兩個自變量的值xi,x2,當xix2時滿足：(I)f(xi)f(x2),則稱函數f(x)在該區間上是增函數；f(xi)f(x2),則稱函數f(x)在該區間上是減函數.二.判斷函數單調性的常用方法：1.定義法:#v1.0可編輯可修改(1)取值；作差、變形；判斷：定論：*2.導數法：(1)求函數f(x)的導數f'(x)；解不等式f'(x)0,所得x的范圍就是遞增區間；(3)解不等式f'(x)0,所得x的范圍就是遞減區間.3.復合函數的單調性：對于復合函數yfg(x),設ug(

16、x),則yf(u),可根據它們的單調性確定復合函數yfg(x),具體判斷如下表：yf(u)增增減減ug(x)增減增減yfg(x)增減減增4.奇函數在對稱區間上的單調性相反；偶函數在對稱區間上的單調性相同.函數的圖像一.基本函數的圖像.二.圖像變換：yf(x)yf(x)k將yf(x)圖像上每一點向上(k0)或向下(k0)平移|k|個單位，可得yf(x)k的圖像yf(x)yf(xh)將yf(x)圖像上每一點向左(h0)或向右(h0)平移|h|個單位，可得yf(xh)的圖像#v1.0可編輯可修改yf(x)yaf(x)Wyf(x)圖像上的每一點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸(a1)或壓縮(0a1)為原來的

17、a倍，可得yaf(x)的圖像yf(x)yf(ax)Wyf(x)圖像上的每一點縱橫坐標保持不變，橫坐標壓縮.一1(a1)或拉伸(0a1)為原來的，可得yf(ax)的圖像ayf(x)yf(x)關于y軸對稱yf(x)yf(x)關于x軸對稱yf(x)yf(|x|)將yf(x)位于y軸左側的圖像去掉，再將y軸右側的圖像沿y軸對稱到左側，可得yf(|x|)的圖像yf(x)y|f(x)|將yf(x)一位于x一軸下方的部分沿x一軸對稱到T方可得y|f(x)|的圖像三.函數圖像自身的對稱關系圖像特征f(x)f(x)關于y軸對稱#v1.0可編輯可修改f(x)f(x)關于原點對稱f(ax)f(xa)關于y軸對稱f(

18、ax)f(ax)關于直線xa對稱f(x)f(ax)關于直線x9軸對稱2f(ax)f(bx)關于直線x3對稱2f(x)f(xa)周期函數，周期為a四.兩個函數圖像的對稱關系圖像特征yf(x)與yf(x)關于y軸對稱yf(x)與yf(x)關于x軸對稱yf(x)與yf(x)關于原點對稱yf(x)與yf1(x)關于直線yx對稱yf(xa)與yf(ax)關于直線xa對稱yf(ax)與f(ax)關于y軸對稱第三章數列數列的基本概念1313v1.0可編輯可修改.數列是按照一定的順序排列的一列數，數列中的每一個數都叫做這個數列的項.如果數列an中的第n項an與項數n之間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式

19、就叫做這個數列的通項公事，它實質是定義在正整數集或其有限子集的函數解析式.三.數列的分類：按項的特點可分為遞增數列、遞減數列、常數列、搖擺數列按項數可分為有窮數列和無窮數列四.數列的前n項和：Sna1a2a3an1anSn與an的關系：ans n 1Sn Sn 1 n 2五.如果已知數列an的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an1（或前幾項）問的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.遞推公式也是給出數列的一種方法.1.1如：在數列an中，a11,an”11,其中an2an11即為數列an的遞推公式，根據數列的遞推公式可以求出數列中的每一項，同時可根據數列的

20、前幾項推斷出數列an的通項公式，至于猜測的合理性，可利用數學歸納法進行證明.如上述數列an,根據遞推公式可以得到：a23,a37,a415,24831,2n1as31,進一步可猜測an.162等差數列.定義：如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數，那#v1.0可編輯可修改么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示.二.通項公式：若已知a1、d,則ana1(n1)d;若已知am、d,則anam(nm)d三.前n項和公式：若已知ai,an,則Snann；若已知md,則Snnan(n1)d22注：前n項和公式&的推導使用的是倒序相加法的方法.在數列

21、an中，通項公式an,前n項和公式a均是關于項數n的函數，在等差數列an通項公式an是關于n的一次函數關系，前n項和公式&是關于n的沒有常數項的二次函數關系.在等差數列中包含&、d、n、烝、Sn這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量.4 .如果a、b、c成等差數列，則稱b為a與c的等差中項，且b25 .證明數列an是等差數列的方法：1 .利用定義證明：ananid(n2)2 .利用等差中項證明：b423 .利用通項公式證明：ananb4 .利用前n項和公式證明：Snan2bn六.性質：在等差數列an中，1 .若某幾項

22、的項數成等差數列，則對應的項也成等差數列，1515v1.0可編輯可修改即：若mn2k,則aman2ak.2 .若兩項的項數之和與另兩項的項數之和相等，則對應項的和也相等,即：若mnkl,則amanakal.3 .依次相鄰每k項的和仍成等差數列，即：Sk,S2kSk,S3k52k成等差數列.4 .an,an1,an2,，a2,ai仍成等差數列，其公差為d.三.等比數列.定義：如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的比都是同一個常數,那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用宇母q(q0)表示.通項公式:若已知a1、q,貝Uanaqn1;若已知am、q,貝Uanamqnm.前n

23、項和公式：當公比q1時，Snna1當公比q 1時，若已知aan、q,則&aanq1 q若已知a1、q、n ,則Sn闞(1 qn)1 q注：等比數列前n項和公式&的推導使用的是錯位相減的方法.在等比數列中包含aq、n、a。、Sn這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量.四.若a、b、c成等比數列，則稱b為a與c的等比中項，且a、b、c滿足#v1.0可編輯可修改1717關系式b、,ac.五.證明數列an是等比數列的方法：1 .利用定義證明：'q(n2)an12 .利用等比中項證明：b2ac3 .利用通項公式證明：a

24、naqn六.性質：在等比數列an中，1 .若某幾項的項數成等差數列，則對應的項成等比數列，即：若mn2k,則amanak22 .若兩項的項數之和與另兩項的項數之和相等，則對應項的積相等,即：若mnkl,則amanakal3 .若數列公比q1,則依次相鄰每k項的和仍成等比數列，即Sk,S2kSk,S3kS2k成等比數列。14 .an,an1,an2,，a2,a1仍成等比數列，其公比為一.數列求和1.常見數列的前n項和：(1)自然數數列：1,2,3,，n,奇數列：1,3,5,2n1,(3)偶數列：2,4,6,2n,自然數平方數列：12,22,32,，n2SnSnSnSnn(n1)2n(n1)n(n

25、1)(2n1)v1.0可編輯可修改2 .等差、等比數列：利用等差、等比數列的求和公式.3 .數列g滿足：Cnanbn,其中an、4為等差或者等比數列.方法：拆項，轉化成兩個等差或等比各項的和(差).4 .數列Cn滿足：Cnanbn,其中an是公差為d的等差數列；bn是公比為q的等比數列.方法：錯位相減.5 .若數列an滿足：an1，其中k、a、b均為常數.(kna)(knb)方法：裂項法，設an1p(-),其中p為可確(kna)(knb)knaknb定的參數.第四章三角函數一.角度與弧度制#v1.0可編輯可修改1 .弧度與角度的互化：180：2 .終邊相同角：與角有相同終邊的角的集合可以表示為

26、：|2k,kZ3 .特殊角的集合：各個象限的角的集合第一象限角：|2k-2k,kZ)2第二象限角：|-2k2k,kZ)2一，一，3第三象限角：|2k32k,kZ)3第四象限角：|2k22k,kZ)角的終邊在各個坐標軸上的角的集合終邊在x軸的角：|k,kZ)終邊在y軸的角：|-k,kZ)2終邊在坐標軸上的角：|k-,kZ)2終邊在第一三象限角平分線上：|k,kZ)43終邊在第二四象限角平分線上：|3k,kZ)44 .弧長公式和扇形面積公式設扇形的半徑為r,圓心角為，則1 1C弧長l|r,扇形的面積S一lr-|r2 2任意角三角函數的定義:.定義：以角頂點為原點O,始邊為X軸的非負半軸建立直角坐標

27、系。在角的終邊上任取不同于原點O的一點r (r 0),則 |PO| r b y2 ,則角個三角函數依次為：P(x, y),設P點與原點O的距離為siny rcosXrtanrrcscseccotyX2020.三角函數的定義域與值域:cos定義域值域sinR1,1cosR1,1tan1fk,kZR四.三角函數線正弦線、余弦線正切線v1.0可編輯可修改以角的終邊與單位圓的公共點 P作x軸的垂線pm X軸，垂足為M ,則sin MPcos OM過點A(1,0)作x 軸的垂線交的終邊 或終邊的延長線于T 點，則：tan AT同角三角函數基本關系式:倒數關系：sincsc1、cossec1、tancot

28、商數關系：tan.、cotc°Jcossin平方關系：sin2cos21正弦、余弦的誘導公式:2ksin(2k)sin;cos(2k)cos.sin()sin;cos()cossin()sin;cos()cos2sin(2)sin;cos(2)cossin()sin;cos()cos2sin(一2)cos;cos(一2)sin2sin(2)cos;cos、)sin3/3sin()cos;,3cos(一)sin2222121v1.0可編輯可修改3233sin()cos;cos()sin22誘導公式可簡單的概括為：“奇變偶不變，符號看象限”，其中“奇變偶不變”的含義為：當k為奇數時，k的

29、三角函數值為的余函數，當k為2偶數時，k2的三角函數值為的原函數；“符號看象限”的含義為在的三角函數前加上一個把看作銳角時原三角函數值的符號.兩角和與差的三角函數:如：sin cos 2 sin(cos2sin()4基本公式:sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantan,、tantantan()tan(),1tantan1tantan二.常見關系1.輔助角公式：asinxbcosxa2b2sin(x)2222sin ,3 cos 2sin();cosxV3sinx2sin(一)362.兩角和

30、與差的正切公式的變形：tantantan()1tantantantantan()1tantanv1.0可編輯可修改2323基本公式:sin22sincoscos22cos2sintan22tan1tan2.常見關系式:(sincos)21cos22sin2二倍角公式22cos112sin2sin2cos2(sincos)22cos222.sincos222coscos22三角函數的圖像:.正弦、余弦、正切函數的圖像:v1.0可編輯可修改2525三角函數的圖象變換:1. ysinx振幅變換yAsinx：將ysinx圖象上各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸（A1）或壓縮（0A1）為原來的A倍得到.2.

31、 ysinx周期變換ysinx：將ysinx圖象上各點縱坐標保持不變，橫一一，一，1，坐標壓縮（1）或拉伸（01）為原來的一倍得到.3. ysinx相位變換ysin（x）：將ysinx的圖象向右（0）或向左（0）平移|個單位得到.4. 函數yAsin（x）（A,0,A1）的圖象可以看作是由函數ysinx的圖象分別經過下面的兩種方法得到：（1） ysinx相位變換ysin（x）周期變換y sin( x )振幅變換y Asin( x )將y sinx的圖象向左（0）或向右（0）平移| |個單位，可得到橫坐標壓縮（1）或拉伸函數ysin（x）圖象；將得到圖象點的縱坐標保持不變,1.、一L（01）為原

32、來的2倍，得到函數ysin（x）圖象;將新圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸(A1)或壓縮(0A1)為原來的A倍，可得函數yAsin(x)圖象. y sin x周期變換y sin x相位變換y sin (x ) sin( x )振幅變換y Asin( x )(1)或拉伸將ysinx圖象點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮1.、(01)為原來的,倍，可以得到函數ysinx圖象;將得到的圖象向左(0)或向右(0)平移口個單位就得到函數ysin(x)圖象；將新的圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸(A1)或壓縮(0A1)為原來的A倍，可得函數yAsin(x)的圖象.形如yAsin(x)的函數圖像的畫法五點法，

33、即根據x分別一3取0、一、3-、2時對應的x與y的值描點作出yAsin(x)的22一個周期的圖像.三角函數的性質函數名稱正弦函數ysinx余弦函數ycosx正切函數ytanxv1.0可編輯可修改定義域RR1-k,kZ值域1,11,1R最值ymax1ymin1y1ymaxymin1圖象分布最小正周期22奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱軸xk一,kZ2xk,kZ對稱中心(k,0)(k二,0)2k(-,0)單調性增2k,2k-222k,2k(k5k-)減32k-,2k-222k,2k2三角形中的邊角關系.正弦定理:2626v1.0可編輯可修改在一個三角形中，各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的

34、直徑，即:sin A sin B sin C 2R2828余弦定理:三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即:2,22abc2bc cosA,22b a2c 2ac cosBb22abcosC.b2推論：cos A 一22c a2bc22. 2a c bcosB 2ac;cosC2. 22a b c2ab.相關結論:ABC中,角A、B、C所對的邊分別為ABCsin( A B)sin Ccos(A B)cosCtan(A B)tanC.A B sin 2C cos2A B cos2sinj tan2cotC2根據正弦定理：a2Rsin A,b 2RsinB,

35、 c 2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC三角形面積公式：三角形的面積等于三角形任意一邊與對應邊上的高的乘積的一半,口H-1.1.1,即：SABCah|bh2ch32221,. A 1.- bcsinA - acsin B三角形的面積等于三角形的任意兩邊與其夾角的正弦值乘積的一1半，即：SabcabsinC2第五章平面向量向量的基本概念1 .向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來表示.2 .向量的長度：向量aB的大小，也就是向量aB的長度（也稱為點的模），<記作iaB|.3 .零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0,零向量的方向是任意的.4 .單位向

36、量：長度等于1的向量叫做單位向量.5 .平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共線向量，若向量a、b平行,記作ab.6 .相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量的加法與減法：iiiii1 .兩個向量的和：已知向量a、b,平移向量b,使b的起點與a的終點重合，iiii那么以a的起點為起點，b的終點為終點的向量叫做向量a與向量b的和.求兩個向量和的運算叫做向量的加法.!2 .向量加法的三角形法則：根據向量和的定義，以第一個向量a的終點a為起點作第二個向量b,則以a的起點。為起點，以b的終點b為終點的向量OB就是a與b的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的三角形法則.v

37、1.0可編輯可修改3.a向量加法的平行四邊形法則:以同一點a為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形abcd則以a為起點的對角線ac就是a b,這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.4 .向量加法運算律：交換律：abba結合律:5 .相反向量：與向量a方向相反的向量叫做a的相反向量，記作零向量的相反向量仍是零向量6.兩個向量的差:加上b的相反向量叫做a與b的差，即:7,向量的減法：求兩個向量差的運算叫做向量的減法法則：如圖所示，已知向量從向量b的終點指向a的終點的向量.b,在平面內任取一a b,即! b表示2929實數與向量的積:1.實數與向量的積:實數 與向量a的積是個向量

38、，記作 a ,它的長度與方向規定如下:JTa4 a)/當0時，a的方向與a的方向相同;v1.0可編輯可修改當0時，a的方向與a的方向相反2 .實數與向量的積所滿足的運算律：設、為實數，那么:3i3i3 .向量共線的充要條件：Ii向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數，使得b4 .平面向量基本定理：1I如果el,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任,有且只有一對實數Ta2Te1Jf a使2平面向量的坐標運算:1 .平面向量的坐標：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于一個向量a,有且只有一對實數x、Ii稱(x, y)為向量a的坐標，記做a (

39、x, y) .a得 使2 .向量:的坐標與起點為原點的向量是對應的關系，即:點 A(x, y)3 .平面向量的坐標運算：設a (x，y。，b 偽，丫2), a b (xi x2,y y?); a b (x, x2，y1 y2); a (。%).Ri：若點A(Xi,yi),B(X2,y2),則言一(X2Xi，y2Yi)4.向量a(x/)與b8,y2)共線的充要條件是X2yiXiY20.平面向量的數量積及運算律：1 .兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，作OAa,OBb,則AOB(0：i80)叫ii做向量a與b的夾角.iiiiii,h44潤.44la當0，時，a與b同向；當i804時，a與b反向，如

40、果a與b的夾角是90%時，則稱a與b垂直，記作2 .兩個向量的數量積：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,則數量|a| |b| cos叫做a與b的數量積，記作a b,即:規定：零向量與任一向量的數量積為0,即oa0.3 .向量數量積的幾何意義：IIIbicos叫做向量b在a方向上的投影，其中當為銳角時，它是正值，當為鈍角時，它是負值，當90；時，它是0,當0；時，它是|b|.ab的幾何意義是：數量積ab等于a的長度1a1與b在a的方向上的投影Iibicos的乘積.4 .向量數量積的性質：IIII設a、b都是非零向量，是，與b的夾角，則：Saae|a|cos(3是與b方向相同的單位向量)當a與

41、b同向時,v1.0可編輯可修改5.向量的數量積的運算律:6.向量數量積的坐標運算：，V2),% xJranu 貝(X2, V2)垂直的充要條件是X1X2V1V20 .設a(Xi,Vi),bd若向量a(Xi,Vi),b若a（x,v）,則|a|商V2.設A（Xi,Vi）,B（X2,V2）,則|AB|4（X2Xi）2（V2Vi）2.線段的定比分點與平移1 .點P分PP2所成的比:設R,P2是直線l上的兩點，P是l上不同于R,P2的任一點，存在實數使pPPPL則叫做點P分PP；所成的比.2 .定比分點坐標公式:設耳(Xi,Vi),P2(X2,V2),若點P(x,V)分PP2所成的比為,則點P(x,v)

42、的3232v1.0可編輯可修改3333Xix一，1坐標滿足：X23.中點坐標公式:X若點P(x,y)為R(xi,yi),P2(X2,y2)的中點,則yX1X22yiy224.平移公式:Jxxh若點P(X,y)沿向量3(h,k)平移至點P'(x',y'),則yyk第六章不等式不等式的性質1 .兩個實數比較大小的依據：ab0abab0abab0ab2 .反對稱性：如果ab,那么ba；如果ab,則ba.3 .傳遞性：如果ab,且bc,那么ac.v1.0可編輯可修改4 .加法性質：如果ab,那么acbc.推論1：如果abc,那么acb.推論2：如果ab,cd,那么acbd.推論

43、3:如果ab,cd,那么adbc.5 .乘法性質：如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acbc.推論1：如果ab0,cd0,那么acbd.推論2:如果ab0,那么anbn(nN,且n1).一一11推論3:如果ab,ab0,那么一一.ab*推論4：如果ab0,cd0,那么b.dc6 .開方性質：如果ab0,那么EVb(nN,且n1).7 .a2b22ab(a,bR);ab2Vab(a,b0).注:當且僅當a b時取到等號;aba-b-;ab(ab)2.228 .絕對值不等式的性質：|a|b|ab|a|b|.不等式的解法:1.一元一次不等式:axbaxba0bx-abx-aa0b0b

44、0Rb0Rb0a0bxabxa000yax2bxcAd|jzlax2bxc0兩個不等的實根x1、x2兩個相等的實根bXx22a沒有實數根2axbxc0x|xX,或xx2x|x當2aRax2bxc0x|xX,或xx2RR2axbxc0x|x1xx22axbxc0x|x1xx2x|x2a3.高次不等式：穿線法：例如：f(x)(x3)(x1)2(1x)(x2)3(x5)0第1步：將f(x)的最高次項的系數化為正數，并分解為若干一次因式的乘積，即：(x3)(x1)2(x1)(x2)3(x5)03535v1.0可編輯可修改3636第2步：將方程f(x)0的根標在數軸上，并從右上方依次穿過各點畫曲線，且奇

45、穿過，偶回頭。第3步：根據曲線顯示的f(x)的值的符號的變化規律，寫出不等式的解集。x|3x54.分式不等式：分式化整式:1.f(x)g(x)f(x)g(x)0;這0g(x)f(x)g(x)02.f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)00.f(x)g(x)f(x)g(x)0g(x)03.f(x)g(x)f(x)mg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)mg(x)g(x)5.含絕對值的不等式:1.|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)，或f(x)g(x)2.|f(x)|g(x)|f(x)g(x)f(x)g(x)03.|xa|xb|(ab,m0)xa(a

46、x)(bx)maxb(xa)(bx)fxbm(xa)(xb)mv1.0可編輯可修改*AabPb*第七章立體幾何初步.空間直線與平面1.直線和平面的位置關系推理模式：a , b ,a / b a /5.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩3.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.線l叫做平面的垂線，平面a叫做直線l的垂面.交點叫做垂足.直線l與平面a垂直記作：l，a .3737(1)直線在平面內無數個公共點；(2)直線和平面相交有且只有一個公共點;(3)直線和平面平行沒布公共點二一用兩分法進行兩次分類.aa2.

47、線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為 a,ap| A, a/aa推理模式：a ，a , P| b a/b .4 .定義：如果一條直線l和一個平面a相交，并且和平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面a互相垂直.其中直abv1.0可編輯可修改條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.6 .直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那麼這兩條直線平行7 .點到平面的距離的定義：從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足問的距離叫做這個點到這個平面的距離.8 .直線

48、和平面的距離的定義：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.9 .三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.10 .三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.PO,0推理模式：PA。AaAO.a,aAP注意：三垂線指PA,POAO都垂直a內的直線a其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理.要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用.二.空間平面與平面沒有公共點一一兩平面平行1 .兩個平面的位置關系有兩種：I有一條公共直線兩平面相交2 .兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行a定理的模式：babP/a/b/推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.推論模