1、第十二章第十二章 數項級數數項級數1 級數的收斂性級數的收斂性一一 問題的提出問題的提出 有限個實數相加是實數，無限個實數相加會有限個實數相加是實數，無限個實數相加會是什么結果？是什么結果？一尺之棰，日取其半，萬世不竭。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。將每天取下的長度將每天取下的長度“加加”起來：起來：21221 321 n21 21221 321 n21 無限個數相加！無限個數相加！直觀上感覺結果（和）應該是直觀上感覺結果（和）應該是1。再如：再如： 111111如果如果 11 11 11 （ ） （ ）（ ）結果是結果是0。如果如果 1 1 1 1 1 1 1 （ ）（ ）（ ）結果是結果是

2、1。再看一個有趣的例子：再看一個有趣的例子： 654321)51()41()31()21()11(1 51413121111 5()14()13()12()11(11 6543211 654321？看來無限個數相加與有限個數相加不一樣！看來無限個數相加與有限個數相加不一樣！有必要研究無限個數相加的含義！有必要研究無限個數相加的含義！二、級數的概念二、級數的概念定義定義1 1( (級數級數) ) nnnuuuuu3211記著記著稱為數項級數或無窮級數，簡稱稱為數項級數或無窮級數，簡稱級數級數。通項通項部分和部分和sn構成一個數列，稱為構成一個數列，稱為部分和數列部分和數列。 niinnuuuus

3、121級數的前級數的前n項的和稱為項的和稱為部分和部分和，記著，記著,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 給定數列給定數列,:321uuuun nuuuu321定義定義2 2：( ( 級數的收斂與發散級數的收斂與發散):):如如果果級級數數 1nnu的的部部分分和和數數列列 ns 有有極極限限s, , 即即 ssnn lim, , 則則稱稱無無窮窮級級數數 1nnu收收斂斂, ,極極限限s s叫叫做做級級數數 1nnu的的和和. .并并寫寫成成 321uuus 如如果果 ns 沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數數 1nnu發發散散. . 即即 常常數數項

4、項級級數數收收斂斂( (發發散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 討論等比級數討論等比級數( (幾何級數幾何級數) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發散發散時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn 發散發散 aaaa級級數數變變為為不不存存在在nns lim 發散發散 綜上綜上 發散發散時時當當收斂收斂時時當當,1,10q

5、qaqnn請記憶請記憶!部分和奇偶子列收斂于不同的數，部分和奇偶子列收斂于不同的數，例例 2 2 判別無窮級數判別無窮級數 11232nnn的收斂性的收斂性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知級數為等比級數，已知級數為等比級數，,34 q公比公比, 1| q.原級數發散原級數發散例例 3 3 判別無窮級數判別無窮級數 )12()12(1531311nn 的收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211

6、(21 n,21 .21, 和為和為級數收斂級數收斂定理定理1:(Cauchy收斂準則收斂準則)有有收斂收斂, 0, 01 pNmNunn .|21 pmmmuuu證證收斂收斂收斂收斂1nnnsu |, 0, 0mpmsspNmN有有.|21 pmmmuuu即即推論推論:(級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件). 0lim1 nnnnuu 收斂收斂上述推論的逆命題不真上述推論的逆命題不真.?, 0lim但級數是否收斂但級數是否收斂有有 nnu n131211例如調和級數例如調和級數解解)0( |21 muuummmmmmmm 12111mmm212121 .21 故調和級數發散故調和級數發散.

7、請記憶！請記憶！的斂散性。的斂散性。判斷判斷例例 1152 4nnn, 052152lim nnn由于由于因而級數是發散的因而級數是發散的.的斂散性。的斂散性。判斷級數判斷級數例例 12sin 5nnnx解解解解|21pmmmuuu |2)sin(2)2sin(2)1sin(|21pmmmxpmxmxm |212121|21pmmm |212121|21pmmm 211211211 pm)211(2211pm m21 )( , 0 m故原級數收斂故原級數收斂.)2121211(21121 pm例例6 證明級數證明級數 收斂。收斂。 121nn證證|21pmmmuuu 222)(1)2(1)1(

8、1pmmm )(1(1)2)(1(1)1(1pmpmmmmm pmpmmmmm 1112111111pmm 11m1 )( , 0 m故級數收斂。故級數收斂。三、基本性質三、基本性質特別特別: : 收斂級數可以逐項相加與逐項相減收斂級數可以逐項相加與逐項相減. .思考思考: : 收斂收斂級數與發散級數級數與發散級數的的和的和的收斂性如何收斂性如何? ?必發必發散散證證,)(lim dcsdcsnnn 成立。成立。性質性質1性性質質 2 2 若若級級數數 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 證明證明 類似地可以證明在級數前面加上或改變有類

9、似地可以證明在級數前面加上或改變有限項不影響級數的斂散性限項不影響級數的斂散性.故級數收斂與否故級數收斂與否,與前面的有限項無關與前面的有限項無關.有有收斂收斂, 0, 01 pNmNunn .|21 pmmmuuu性性質質 3 3 收收斂斂級級數數加加括括弧弧后后所所成成的的級級數數仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. . 證明證明 )()()(32211111nnnnnuuuuuu,11ns .limlimssnnmm ,22ns ,33ns ,mnms ,的一個子列的一個子列是是故故nms 這說明這說明:收斂收斂級數滿足加法的結合律級數滿足加法的結合律.設設注意注意收斂級數去括弧后所成

10、的級數不一定收斂收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂. )11()11(例如例如 1111推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級級數數發發散散, ,則則原原來來級級數數也也發發散散. . 收斂收斂 發散發散例例8 8 判別收斂性：判別收斂性：； 81614121)1； 432214121312121211)2.6cos62cos6cos)3 n解解,1211 nn原原式式發發散散。 11nn 211 nn原原式式發發散散。6cos nan ,0原原式式發發散散。)211(1 nnn解解解解發發散散，收收斂斂，發發散散，四、小結四、小結1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數數收收斂斂; ;2 2. .當當0lim nnu, ,則則級級數數發發散散; ;常數項級數的基本概念常數項級數的基本概念基本審斂法：基本審斂法：3. C