1、2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定新課導入請同學們觀察圖片請同學們觀察圖片,說出旗桿與地面是什么位置關系？說出旗桿與地面是什么位置關系？請同學們觀察圖片請同學們觀察圖片,說出大橋橋柱與水面是說出大橋橋柱與水面是什么位置關系？什么位置關系？旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系？旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系？你能舉出一些類似的例子嗎？你能舉出一些類似的例子嗎？ 旗桿與地面、大橋橋柱與水面旗桿與地面、大橋橋柱與水面以直線和平面垂以直線和平面垂直的形象直的形象. .那么直線和平面垂直的定義究竟是什那么直線和平面垂直的定義究竟是什么？怎么樣判斷它們垂直？么？怎么樣判斷它

2、們垂直？（1）如圖，在陽光下觀察直立于地面旗桿如圖，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在及它在地面的影子地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關系是什么？關系是什么？（2）旗桿旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部與地面上任意一條不過旗桿底部B的直的直線線a的位置關系又是什么？的位置關系又是什么？ 觀察觀察CC1B1 ABCC1B1 AB可以觀察到，隨著時間的變化，盡管影子可以觀察到，隨著時間的變化，盡管影子BC的位置在的位置在移動，但是旗桿移動，但是旗桿AB所在直線始終與所在直線始終與BC所在直線垂直。所在直線垂直。也就是說，旗桿也就是說，旗桿AB所

3、在直線與地面內任意一條過點所在直線與地面內任意一條過點B的的直線垂直。事實上，旗桿直線垂直。事實上，旗桿AB所在直線與地面內任意一所在直線與地面內任意一條直線垂直條直線垂直。直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義: : 如果直線如果直線l 與平面與平面內的內的任意一條直線都垂直，我們任意一條直線都垂直，我們就說直線就說直線l 與平與平面面互相垂直，記作互相垂直，記作：l 。 Pl直線直線 l 叫做平面叫做平面的的垂線垂線, , 平面平面叫做直線叫做直線 l 的的垂面垂面, , 直線直線 l 與平與平面面的交點的交點P叫做叫做垂足垂足。lala都有直線和平面垂直的畫法直線和平面垂直的畫法 Pl

4、注：畫直線與水平平面垂直時，注：畫直線與水平平面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平要把直線畫成和表示平面的平行四邊形橫邊垂直行四邊形橫邊垂直。ABCDABCD在長方體在長方體ABCD- ABCD中，中，AA面面ABCD，AA面面ABCD，AB面面ADDA，AB面面BCCB，AD面面AABB，AD面面CDDC。探究探究如下圖，請同學們準備一塊三角形的紙片如下圖，請同學們準備一塊三角形的紙片。過過ABC的頂點的頂點A翻折紙片，得到折痕翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）與桌面接觸）. .（1）折痕折痕AD與桌面垂直嗎？與桌

5、面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？垂直？ABCDABCDABDC結論：結論：當且僅當折痕當且僅當折痕AD是是BC邊上的高時，邊上的高時，AD所在直所在直線與桌面所在平面線與桌面所在平面垂直。垂直。（1）如果一條直線垂直于平面內的一條直線，如果一條直線垂直于平面內的一條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？能否判斷這條直線和這個平面垂直？思考思考ba不能判定不能判定這條直線和這個平面垂直這條直線和這個平面垂直（2）如果一條直線垂直于平面內如果一條直線垂直于平面內的兩條垂直，的兩條垂直， 能否判斷這條直線和這個平面垂直？能否判斷這條直線和這個

6、平面垂直？babac如果兩條直線平行如果兩條直線平行不能判定不能判定如果兩條直線相交如果兩條直線相交能夠判定能夠判定（3）如果一條直線垂直于平面內的如果一條直線垂直于平面內的無數無數條直條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？ba也不能判定也不能判定這條直線和這個平面垂直這條直線和這個平面垂直直線和平面直線和平面垂直垂直的判定定理：的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。該直線與此平面垂直。符號表示：符號表示：lllabababAbalA圖形表圖形表示：示：簡述為：簡述為：線線垂

7、直，則線面垂直線線垂直，則線面垂直線不在多，重在相交線不在多，重在相交例一例一如圖，已知如圖，已知 ，求證：，求證： 。a / /b,abmnba根據直線與平面垂直的定義根據直線與平面垂直的定義知知am,an。又因為又因為b/a,所以所以bm,bn。又又m,n,m,n是兩條相交直線，是兩條相交直線，所以所以b。證明：在平面證明：在平面 內作內作兩條相交直線兩條相交直線m，n。因為直線因為直線a，如圖如圖，在正方體在正方體AC1中，求證：中，求證：(1)AC平面平面D1DB ;(2)D1B平面平面ACB1。例二例二C1BD1ACA1DB1證明：證明：(1)DD1面面ACDD1AC又又ACBD,A

8、C平面平面D1DB 。(2)的證明大家自己完成。的證明大家自己完成。如圖，已知如圖，已知OA、OB、OC兩兩垂直求證：兩兩垂直求證： （1） OA平面平面OBC;（2）求證：求證：OABC。BCOA分析分析：（1）要證要證OA平面平面OBC，必須在平面必須在平面OBC中找出兩條與中找出兩條與OA垂直的相交直線垂直的相交直線. .因為因為OA、OB、OC兩兩垂直兩兩垂直OAOB、OAOC,且且OBOC=O；（2）OA平面平面OBC，OA垂直平垂直平面內任意一條直線面內任意一條直線。例三例三直線和平面所成的角：直線和平面所成的角：如圖所示，一條直線如圖所示，一條直線PA和平面和平面相交，但不垂直，

9、相交，但不垂直，這這條直線叫這個平面的條直線叫這個平面的斜線斜線，斜線和平面的交點，斜線和平面的交點A叫做叫做斜斜足足。過斜線上斜足以外的一點過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線向平面引垂線PO ，過，過垂足垂足O和斜足和斜足A的直線的直線AO叫做斜線在這個平面上的叫做斜線在這個平面上的射影射影。 斜線和射影所成的銳角叫做斜線和射影所成的銳角叫做這條直線和平面所成的角這條直線和平面所成的角。PAO若直線垂直于平面，規定它們所成的角是若直線垂直于平面，規定它們所成的角是90的角，的角，為直角；若直線與平面平行或在直線內，規定它們所為直角；若直線與平面平行或在直線內，規定它們所成的角為成的角為0的

10、角。的角。注意：注意：p點為斜線上任意一點，點為斜線上任意一點，p點的不同不會影響直線與點的不同不會影響直線與平面所稱的角。平面所稱的角。PAO故直線與平面所稱的角的范圍是：故直線與平面所稱的角的范圍是：（0，），）2C1BD1ACA1DB1在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線中，直線B1D與平面與平面ABCD所成的角是多少？找出這個角，并計算其度數。所成的角是多少？找出這個角，并計算其度數。B1DB即為所求角，即為所求角，它的正弦為它的正弦為 。21課堂小結證明直線與平面證明直線與平面垂直垂直的方法：的方法：（1）利用定義）利用定義:（2）利用判定定理）利用判定定理: 線線線線

11、垂直垂直線面線面垂直垂直直線與平面直線與平面內每條直線都垂直內每條直線都垂直關鍵：線不在多關鍵：線不在多，相交則行相交則行。balAPAO 斜線和射影所成的銳角叫做斜線和射影所成的銳角叫做這條直線和這條直線和平面所成的角平面所成的角。范圍是：范圍是：（0，），）。2隨堂練習1. 判斷題：判斷題：FTT（ ）（ ）（ ）(1)ll(2)m,n,lm,lnl(3)l / /m,m / /n,ln。與與 相相交交 2.如圖，在如圖，在三棱錐三棱錐V-ABC中，中，VA=VC，AB=BC，求證求證VBAC。ABCV分析：分析： （1）要證線線垂直，首先要證線線垂直，首先證線面垂直即證明其中一條直證線面

12、垂直即證明其中一條直線垂直于經過另一條直線的的線垂直于經過另一條直線的的平面平面。 （2）ACVB所在的面，應所在的面，應該是哪一個面？給出該是哪一個面？給出VA=VC，AB=BC可以知道可以知道VAC與與BAC都是等腰三角形都是等腰三角形。D 3.如圖，直四棱柱如圖，直四棱柱 ABCD- ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形四邊形ABCD滿足什么條件時，滿足什么條件時， ACBD？ 結論：當四邊形結論：當四邊形ABCD的兩條對角線互的兩條對角線互相垂直時，相垂直時，ACBD。ADBBCCDA 4.有一根旗桿有一根旗桿PO高高4m，

13、它的頂端，它的頂端P掛有一掛有一條長條長5m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上) )A、B,如果這兩點和旗桿腳如果這兩點和旗桿腳O的距離都是的距離都是3m，那么旗，那么旗桿就和地面垂直桿就和地面垂直, ,為什么？為什么？PAOB解：如圖，旗桿解：如圖，旗桿，兩繩長，兩繩長，。因為，三點不共線，因為，三點不共線，所以所以 A，O，B三點確定平面三點確定平面。因此，旗桿因此，旗桿OP與地面垂直與地面垂直。又因為又因為222222PBOBPO,PAOAPO所以所以OBPOOA,PO又因為又因為O

14、OBOA所以所以PO ABCDOP 5.如圖，點如圖，點P是是平行四邊形平行四邊形ABCD所在平所在平面外一點，面外一點，O是對角線是對角線AC與與BD的交點，且的交點，且PA=PC，PB=PD。求證：求證：PO平面平面ABCD。分析分析： AO=CO，PA=PC， POAC。同理同理POBD，又又ACBD=O， PO平面平面ABCD。 6.在空間四邊形在空間四邊形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求證：對角線求證：對角線AC BD。ACBDACEACACEBDECEAEBDCEDCBCBDAEADABCEAEEBD ,平面平面又連接的中點取ABCDE分析分析：高考鏈接1.(2007 天津天津)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，CCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是是PC的中點。的中點。()證明證明CDAE；()證明證明PD平面平面ABE。【解析解析】()證明：在四棱錐證明：在四棱錐P-ABCD中，因中，因PA底底面面ABCD，CD 平面平面ABCD，故，