1、2010年廣州市高二數學競賽試題 2010.5.9考生注意：用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答，答案寫在答卷上； 不準使用計算器； 考試用時120分鐘，全卷滿分150分一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，滿分24分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 直線R與圓的交點個數是( )A. 0 B. 1 C. 2 D.無數個2. 今年春，我國西南部分地區遭受了罕見的旱災，蒼天無情人有情，某中學組織學生在社區開展 募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數是前一天的2倍，且人均捐款數比前一天多5元則截止第5天（包括第5天）捐款總數是( )

2、. A4800元 B8000元 C9600元 D11200元3. 函數R的最大值和最小值分別為 A. B. C. D. 4. 若點是圓內的動點,則函數的一個零點在 內, 另一個零點在內的概率為 A. B. C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，滿分36分5. 已知大于1的實數滿足, 則的最小值為 .6. 將一邊長為4的正方形紙片按照圖1中的虛線所示的方法剪開后 拼接為一正四棱錐,則該正四棱錐的體積為 .7. 設、都是單位向量，且0， 則的最大值為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 對于兩個正整數，定義某種運算“”如下，當都為正偶數或正奇數時， ；當中一個為正偶數，另

3、一個為正奇數時，則在此定義下， 集合NN中元素的個數是 . 9. 設是數列的前項和，若N，則_.10. 在Rt中,如果橢圓經過兩點,它的一個焦點為,另一個焦 點在上,則這個橢圓的離心率為 . 三、解答題：本大題共5小題，滿分90分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟11（本小題滿分15分） 在中,分別是內角的對邊,已知. (1) 求的值； （2）求的值. 12（本小題滿分15分） 如圖，已知二面角的平面角為, 在半平面內有一個半圓, 其直徑在上, 是這個半圓上任一點(除、外), 直線、與另一個半平面所成的 角分別為、. 試證明為定值.13. (本小題滿分20分） 如圖, 矩形中, , , 現

4、以矩形的邊為軸, 的中點為原點建立直角坐標系, 是軸上方一點, 使得、與線段分別交于點、, 且成等比數列. (1) 求動點的軌跡方程； (2) 求動點到直線距離 的最大值及取得最大值時點的坐標14（本小題滿分20分） 設，函數. (1)當時，求曲線在點處的切線方程； (2)當時，求函數的最小值.15（本小題滿分20分） 已知定義在上的函數滿足：，且對于任意實數， 總有成立. （1）求的值，并證明為偶函數； （2）若數列滿足，求數列的通項公式； （3）若對于任意非零實數，總有.設有理數滿足，判斷和 的大小關系，并證明你的結論. 2010年廣州市高二數學競賽試題參考答案與評分標準說明：1參考答案與

5、評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數 2對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：每小題6分，滿分24分.1C 2B 3D 4A二、填空題：每小題6分，滿分36分.5. 6. 7. 8.

6、 9. 10. 三、解答題：滿分90分11. （本小題滿分15分）解: (1) . , . ,. . (2) , . . , . 由 解得 . . 12. （本小題滿分15分）證明：過作，為垂足，在內，作，為垂足， 連接，則. ,.平面，平面，平面.平面，.是二面角的平面角. . . 在Rt中，. 在Rt和Rt中，. . 13. （本小題滿分20分）解：（1）設點的坐標為，過作交的延長線于，交的延長線于.在中, , 得，得.在中, , 得.同理可得. 成等比數列， . .化簡得. 動點的軌跡方程為.(2)由圖易知當與直線平行的直線與半橢圓相切于點時，點到直線距離的最大. 設與直線平行的直線方程

7、為，代入，得 ，由，解得，由，得.故點到直線距離的最大值為.把代入式，可解得點的坐標為.14. （本小題滿分20分）解:（1）當時，當時，令，得 所以切點為（1，2），切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：. （2）當時， .，恒成立. 在上為增函數. 故當時，. 當時，（） ()當即時，若時，所以在區間上為增函數.故當時，且此時. ()當，即時，若時，; 若時, 所以在區間上為減函數，在上為增函數， 故當時，且此時. ()當；即時，若時，,所以在區間1,上為減函數，故當時，. 綜上所述，當時，在和上的最小值都是, 所以在上的最小值為；當時，在時的最小值為，而， 所以在上的最小值為.當時，在時最小值為，在時的最小值為，而, 所以在上的最小值為.所以函數的最小值為 15.（本小題滿分20分）解:（1）令，又，. 令，得 ，即 對任意的實數總成立， 為偶函數. （2）令，得 ，. .